§ 2.7. Преобразования Лоренца как следствие инвариантности интервала между событиями.

В предыдущем параграфе было показано, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой координаты двух событий должны удовлетворять соотношению

Здесь для простоты принято, что одно из событий имеет координаты (0, 0, 0, 0), а в силу нашего соглашения о системах отсчета это означает, что и в другой системе отсчета оно имеет координаты (0, 0, 0, 0).

Сделаем еще один шаг для упрощения записи. Читатель, вероятно, уже обратил внимание на то, как часто встречается произведение скорости света и времени Введем новую едипицу времени — световой метр: время, за которое свет проходит

расстояние в 1 м. Очевидно, времени т. е. проходится за секунд.

Свет пройдет метров за время сек; отсюда ясно, что

Эта единица покажется не столь уже необычной, если вспомнить, что в астрономии расстояние измеряется по времени (и скорости света) — в световых годах.

Итак, если измерять время в световых метрах, выражение для инвариантного интервала между событиями станет совсем простым:

Проще всего найти преобразования, удовлетворяющие (2.21), так. Мы знаем (§ 2.5), что преобразования координат и времепи должны быть линейными. Запишем такие преобразования с неопределенными постоянными коэффициентами в виде

Подставим выражения (2.22) в левую часть (2.21) и сгруппируем коэффициенты при

Последнее звено и равенстве написано согласно (2.21); оно должно соблюдаться тождественно, т. е. при любых х и т. Но для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Этим соотношениям очень легко удовлетворить, положив коэффициенты а и равпыми гиперболическим функциям (их определение и осповные соотношения между ними см. Приложение I, § 9), а именно:

Тогда два первых равенства из (2.24) удовлетворяются автоматически, а из третьего, которое можно переписать в виде следует , чтобы удовлетворить ему, достаточно положить Таким образом, преобразование (2.22) примет вид

Параметр может зависеть лишь от относительной скорости V. Он называется параметром скорости и играет существенную роль и СТО (см. § 3.5). Для его определения используем первое равенство (2.25). Для начала отсчета О нужно считать и мы получаем

Но выражение, стоящее слева, в обычных единицах времени запишется так: поскольку для начала О просто равно скорости системы К относительно К. Итак, мы нашли связь параметра со скоростью У:

Отсюда нетрудно найти (см. Приложение I, § 9):

Окончательно для искомых преобразований получаем

Для обратных преобразований мы получим (проще всего поменять штрихованные величины на пештрихованные и наоборот, заменив В на —В):

Нетрудно обнаружить в птих замечательно симметричных формулах те же самые формулы преобразований Лоренца (2.16); для этого достаточно сделать замену (2.20).

Таким образом, мы получили вновь преобразования Лоренца, исходя из инвариантности интервала и однородности пространства и времени. В этом нет ничего удивительного, потому что инвариантность интервала — прямое следствие постулатов Эйнштейна.