§ 7.2. 4-волновой вектор. Эффект Доплера. Аберрация света.

Рассмотрим плоскую световую волну, наблюдаемую в системе отсчета К и характеризуемую 4-вектором выбираем систему К так, чтобы луч света распространялся в этой системе в плоскости и составлял угол с осью х. Выпишем компоненты 4-вектора:

Найдем компоненты 4-вектора к в системе К. По общим формулам (4.10а)

Поскольку в системе К луч также лежит в плоскости . Следовательно, 4-вектор к в системе К имеет компоненты к Из последней формулы (7.9) найдем

или

Следовательно, если в системе К частота света была равна , то в системе К она уже будет согласно (7.10) иной (ср. с форму

ламп (7.7)). Из первой формулы (7.9) вытекает, что

или, если принять во внимание (7.10),

С учетом формулы (7.10) из второй формулы (7.9) получим

Нетрудно с помощью (7.11) и (7.12) найти выражение для через угол

Обратите внимание на то, что (7.12) сразу же получается из (7.12), если заменить штрихованные величины на нештрихованные и наоборот, а знак скорости V изменить на противоположный. Полученные формулы позволяют дать количественное объяснение двум оптическим эффектам — эффекту Доплера и аберрации света. Эффект Доплера (он обнаруживается для волн любого характера) заключается в том, что при относительном движении источника и наблюдателя (приемника) частота (звука или света), определяемая наблюдателем, отличается от частоты, измеренной в системе отсчета, где источник покоится.

Пусть источник покоится в системе К. Тогда приборы, покоящиеся в этой системе, определят собственную частоту источника сдета .

Определяя частоту со в системе К, нам важнее знать угол а не Из формулы (7.11) следует, что

откуда , следовательно, (7.10) можно окончательно записать так:

Эта формула и описывает эффект Доплера. Наблюдатель в К обнаружит частоту излучения не совпадающую с собственной частотой источника Наблюдаемая частота зависит не только от относительной скорости источника и наблюдателя но и от угла под которым свет идет к наблюдателю.

В частности, если излучение принимается в направлении относительной скорости, то мы имеем так называемый продольный

эффект Доплера. Если К находится правее К, то источник удаляется от наблюдателя и свет движется в направлении, противоположном направлению оси х (рис. 7.1, а). Следовательно, Тогда из (7.13) для частоты и периода имеем

Наблюдатель, принимающий свет от удаляющегося источника, обнаруживает уменьшение частоты.

Рис. 7.1. Продольный эффект Доплера: а) наблюдатель и источник удаляются друг от друга; б) наблюдатель и источник сближаются, в) Поперечный эффект Доплера

Напротив, если К находится слева от К (рис. 7.1, б), то и источник приближается к наблюдателю:

Частота принимаемого света увеличивается по сравнению с собственной частотой . С точностью до членов две последние формулы можно переписать так (проще всего умножить числитель в знаменатель дроби под корнем на числитель):

Можно объединить обе формулы:

Таким образом, продольный эффект Доплера оказывается эффектом первого порядка относительно В. С точностью до второго порядка относительно В полученные формулы совпадают с классическими формулами, вытекающими из элементарных соображений (§ 3.3).

Если же свет наблюдается в направлении, перпендикулярном скорости источника (рис. 7.1, в), этот случай соответствует и называется поперечным эффектом Доплера — изменение частоты описывается уже формулой

и зависит уже от Если скорости движения источника нерелятивистские, разложение бинома дает

Этот эффект является эффектом второго порядка, поэтому его наблюдение гораздо труднее, чем наблюдение продольного эффекта. Неудивительно поэтому, что поперечный доплер-эффект был обнаружен лишь в 1938 г. (Айвс), причем релятивистская формула была полностью подтверждена. Еще раз напомним, что в классической теории никакого поперечного доплер-эффекта быть не должно (ср. § 3.3). Поперечный доплер-эффект возникает исключительно из-за относительности промежутков времепи между событиями.

Перепишем формулу (7.13) в виде, который был использован нами в § 6.15. Соберем справа величины, относящиеся к системе К:

Слева стоит собственная частота, справа — частота, наблюдаемая в системе отсчета, которая движется со скоростью V, причем направление распространения света определяется вектором к.

Формулы (7.11) и (7.12) совпадают с формулами, которые были выведены непосредственно из формул преобразования скоростей; поэтому они полностью описывают явление аберрации, о чем уже упоминалось в § 3.6.

В частности, из (7.11) и (7.12) вытекает формула для угла аберрации:

В заключение параграфа выведем полезную для дальнейшего формулу преобразования элементарного телесного угла, записанного в сферических координатах. Выберем полярную ось в

направлении относительного движения двух систем В системе К элемент телесного угла запишется в виде Поскольку координаты у и z остаются без изменения, не меняется и координата (проекция на плоскость, перпендикулярную направлению движения): Из формулы, выписанной перед (7.13), следует

откуда и получается нужная формула перехода:

поскольку в системе К элемент телесного угла равен