§ 3.5. Преобразование компонент скорости частицы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Из преобразований Галилея для координат и времени (1.2) было получено правило (1.4) преобразования скорости частицы при переходе от одной ИСО к другой: Это правило не удовлетворяет второму постулату Эйнштейна, поскольку скорость света в вакууме оказывается разной в различных системах отсчета. Из

преобразований Лоренца следуют формулы преобразования для скорости, которые удовлетворяют постулатам Эйпштейпа. К выводу этих формул мы и переходим.

Рассмотрим движение частицы с точки зрения двух ИСО — К и К. Скорости определяются обычным образом:

В системе К В системе К

Подразумевается, что между установлена связь (через преобразования Лоренца), так что независимой переменной можно считать, скажем, При изменении на получают приращения все переменные; запишем эти приращения в дифференциалах, дифференцируя преобразования Лоренца (см. (2.16)):

Разделив первые три равенства (3.25) на последнее почленно, получим

В каждом из полученных равенств делим числитель и знаменатель правых частей на . В итоге получим

Это и есть формулы релятивистского преобразования скоростей. По этим формулам, зная компоненты скорости в

системе К и скорость системы К относительно К (эта скорость равна —V), можно найти компоненты в системе К. Чтобы получить формулы обратного перехода, нужно изменить знак скорости V и поставить штрихи у величин, где их не было, а там, где они были, — убрать:

Тот же самый ответ получится, конечно, и непосредственно из формул (3.26). Из формул (3.26) и (3.27) видно, что равномерное движение в одной ИСО окажется равномерным и во всех других ИСО. Таким образом, равномерное прямолинейное движение является выделенным. Напротив, равноускоренное движение в некоторой ИСО, согласно релятивистской кинематике, вовсе не является равноускоренным в других ИСО (см. § 5.1).

В формулах (3.26) и (3.27) ось х выделена по сравнению с осями у и z. Это связано лишь с тем, что вдоль оси х направлена относительная скорость систем отсчета К и К. Если в этих формулах перейти к пределу т. е. положить формально с , мы возвращаемся к преобразованию (1.4) Галилея. Это означает, что для двух систем отсчета, относительная скорость которых мала по сравнению со скоростью света, преобразования Галилея достаточно точны, поэтому в повседневной жизни не приходится прибегать к релятивистским представлениям. Еще раз мы убедились, что отличие релятивистских представлений от классических связано с конечностью скорости света. Заметим, что формулы (3.26) и (3.27) естественно получаются основе четырехмерного подхода к теории относительности.

Рассмотрим движение по оси х. В этом случае в системе отсчета К компоненты скорости будут По формулам (3.26) мы получаем, что в системе К компоненты равны нулю. Следовательно, движение и в системе К происходит по оси . Поэтому согласно (3.26)

Если положить то из (3.28) следует с. Это соответствует второму постулату Эйшнтейна: скорость света в вакууме во всех ИСО одинакова.

Заметим при этом сразу же, что подставлять в не очень последовательно, поскольку материальные частицы, представляющие собой «сигнал», не могут двигаться со скоростью с,

а формула выведена для материальных частиц ). Однако в формуле (3.28) можно полагать рассматривая кванты света (фотоны) как релятивистские частицы (§ 7.6). Кроме того, существуют ультрарелятивистские частицы, скорость которых близка к скорости света. Так, например, скорость электронов в Ереванском ускорителе отличается от с в восьмом знаке.

В качестве еще одного примера использования формулы сложения скоростей (3.28) приведем объяснение результатов опыта Физо.

Рис. 3.7. Схема опыта Физо. Луч света от источника расщепляется полупрозрачной пластинкой на два пучка, один из которых идет в поде по течению» а другой — против. Френель, которого интересовал вопрос о том, как распространяется свет в движущейся среде, предполагал, что если скорость света в неподвижной воде и, скорость движения воды V, то скорость света для наблюдателя, относительно которого вода движется, равна где опак соответствует распространению света по течению» а знак распространению против течения; называется коэффициентом увлечения. Коэффициент увлечении искал физо, поставивший описываемый опыт. Из результатов опыта Физо следовало, что Теория относительности весьма естественно объясняет результат Физо (см. текст). Подробности опыта можно пайти в книгах [13]

В опыте сравнивалась скорость света в неподвижной относительно наблюдателя (лаборатории) воде и в воде, движущейся со скоростью V. Скорость света в неподвижной воде равна Затем (рис. 3.7) свет пропускали через движущуюся воду, а его скорость определялась в лабораторной системе отсчета по наблюдению интерференции двух пучков света — идущего по течению воды и против. Из результатов опыта Физо следовало, что к фазовой скорости света в неподвижной воде нужно было еще добавить скорость воды V, умноженную на где — показатель преломления воды. Таким образом, если фазовая скорость света в неподвижной воде то фазовая скорость, определенная в лабораторной системе, оказалась равной

Используя формулу (3.28), мы получим, что в лабораторной системе в силу закона преобразования скоростей

Пренебрегая в зпаменателе величиной малость которой определяется тем, что скорость воды нерелятивистская получим

В выражении (3.30) в том же приближении пренебрегаем членом и получаем результат Физо (3.29). Таким образом, формула преобразования скоростей Эйнштейна дает естественное объяснение результатов опыта Физо (ср. § 1.7).

Мы уже говорили о том, что важнейшим предположением современной физики является утверждение о невозможности передачи сигналов (взаимодействий) со скоростью большей, чем скорость света. Но с помощью движущегося тела, несомненно, можно передать сигнал (энергию, импульс), поэтому скорость тела не может превышать с. Релятивистская механика приводит к тому, что материальпое тело (т. е. тело, обладающее массой покоя) не может даже достичь этой скорости, а всегда имеет меньшую скорость. По это справедливо в определенной ИСО. Нельзя ли за счет выбора системы отсчета получить в другой ИСО скорость, превышающую с?

Если бы из классической механики следовало, что в заданной ИСО скорость тела никогда не превышает с, то только за счет выбора системы отсчета можно было бы получить скорость тела, превышающую с. Действительно, согласно формуле , где — скорость тела относительно относительная скорость систем отсчета К и К. Если скорости и V превышают то скорость тела в системе К будет больше с.

Но в СТО преобразование скоростей происходит, как мы видели, иначе. Из (3.26) и (3.27) видно, что скорости частицы и системы отсчета отнюдь не складываются по правилу сложения векторов. Более того, при сложении скоростей в СТО действует невероятное правило с

Из формул (3.26) или (3.27) следует, что если скорость частицы в К меньше с а скорость К относительно К также меньше то скорость частицы, определенная в К, всегда меньше с. Самое простое доказательство этого утверждения для случая одномерного движения проводится с помощью формулы (3.28). Составив выражение записываем цепочку

равенств:

Отсюда ясно, что

Но нельзя ли последовательными переходами от одной ИСО к другой прийти к относительной скорости систем отсчета, превышающей с? Собственно говоря, система отсчета — это система материальных тел, и для ответа мы могли бы воспользоваться только что полученной теоремой. Конечно, в СТО в любом случае нельзя получить относительную скорость систем отсчета, большую с. Но мы нолучим этот результат еще раз иным путем, который сам по себе поучителен.

Введем кроме системы К еще две системы отсчета К и Чему равна относительная скорость систем отсчета К и если известны относительные скорости систем К и К, с одной сторопы, и систем К и с другой? Пусть относительная скорость К к К равна V, а относительная скорость К и К" равпа Если ввести обозначения , соответственно, то

Подставим (3.33) и (3.32), чтобы найти непосредственную связь меладу координатами и временем в системах К и

Аналогично можно получить

Обозначим

Вычислим первые множители в выражениях (3.34) и (3.35):

Тогда (3.34) и (3.3)) можно записать в виде

Следовательно, дна последовательных преобразования Лоренца с относительными скоростями систем отсчета, равными V и эквивалентны одному преобразованию с относительной скоростью определенной согласно (3.36). Другими словами, относительные скорости систем отсчета также «складываются» по правилу (3.28). Но мы уже убедились, что в результате такого сложения получить скорость, большую чем скорость света, нельзя.

Формулу (3.36) легко получить с помощью комплексного вращения (см. § 2.8). С геометрической точки зрения переход от и затем от представляет собой последовательный поворот в плоскости на углы причем

Тангенс результирующего угла можпо найти по обычной формуле для тангенса суммы двух углов

или

а ото как раз в есть формула (3.36), если заменить их значениями. Оба последних соотношения показывают, что совокупность преобразований Лоренца обладает основным свойством группы (в смысле математической теории групп): два преобразования Лоренца дают снова нреобразование Лоренца (здесь существенно, однако, что относительная скорость всегда направлена по оси х).

Приведем полезную интерпретацию формулы (3.28). В § 2.7 мы ввели параметр скорости О, связанной с относительной скоростью систем отсчета соотношением Можно ввести

также параметр скорости частицы Тогда (3.28) перепишется в виде

последнее звено равенства записано на осповании формул Приложения I. § 9. Это — интересный результат. В классической теории складываются скорости (2.4), в релятивистской теории складываются параметры скоростей; последним обстоятельством мы воспользуемся в § 5.7.