§ 6.15. Потенциалы поля в движущейся проводящей среде.

Прежде чем перейти к уравнениям поля в движущейся проводящей среде, папомним основные сведения о распространении волн в покоящейся среде при наличии проводимости.

В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид

Здесь — плотность заряда и нлотность тока «сторонних» источников. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением системы (6.223) без «сторонних» источников, т. е. будем считать, что Решение системы (6.223) ищем в виде

где — постоянные амплитуды, по зависящие ни от координат, ни от времени. Мы, таким образом, ищем решение в виде плоской волны с волновым вектором и частотой

Подставляя выражения для нолей (6.224) в систему уравнений (6.223), получим, с учетом следующие, уже не дифференциальные, а алгебраические соотношения, связывающие между собой амплитуды полей:

При этом мы воспользовались следующими равенствами:

Систему (6.225) следует дополнить материальными соотношениями, устанавливающими связь между полями и индукциями. В простейшем случае

изотропной покоящейся среды мы примем следующие соотношения:

Мы будем предполагать, что величины не зависят от амплитуд ноля (что дает липейпую связь между нолями и индукциями соответственно). Однако могут, вообщо говоря, зависеть только от полей, но и от частоты и длины волпы . Если зависят только от частоты, говорят, что имеет место частотная дисперсия. Если же зависят от длины волны, то говорят, что среда обладает пространственной дисперсией.

Если материальные уравнения (6.226) подставить в систему (6.225), получим уравпепия, в которые входят только амплитуды полей

В дальнейшем мы будем предполагать, что не обращаются в пуль. Тогда из двух последних уравнений следует, что поля перпендикулярны волновому вектору к. Такие волны называют поперечными. Продольные волпы, возникающие, нанример, при (тогда, как нетрудно видеть, получается , мы здесь рассматривать но будем.

Умножим первое уравнение системы (6.227) векторно на волновой вектор к. Мы получим

Зпачение нодставим из второго уравнения системы (6.227), а двойное векторпое произведение перепишем с помощью известной формулы:

В последнем равенстве мы учли шжерочпость ноля т. е. соотношение результате этих преобразований получаем

Таким образом, амплитуда поперечной электромагнитной волны в покоящейся проводящей среде может быть отлична от нуля лишь в том случае, если выполняется равенство

Это условие называется дисперсионным соотношением. Нетрудно убедиться в том, что это же самое диснерсионпое соотношение (6.230) должно выполняться для того, чтобы и магнитный вектор На в понеречпой волне был отличеп от нуля. Для того чтобы это показать, достаточно умножить векторно на к второе уравнение системы (6.227) и использовать затем первое уравнепие этой системы.

Будем считать, что частота волпы — заданная величина. Предположим, далее, что поле зависит только от координаты и от времени. Тогда ноля Е и Н мы можем представить в виде

причем, как это следует из системы уравнений (6.227), мы можем считать, что вектор паправлен в положительном направлении оси х, а вектор — в положительном направлении оси у. Таким образом, три вектора образуют правую тройку векторов.

При фиксированной частоте дисперсионное уравнение (6.230) дает для полнового вектора к следующие значения:

Волновой вектор к в среде с проводимостью оказывается комплексной величиной. Для дальнейшего важно, что проводимость а всегда положительна. Это видно хотя бы из того, что джоулево тепло, которое выделяется в единице объема проводящей среды за единицу времени, равно Будем считать, что частота положительна. Тогда в выражении (6.232) мнимая часть подкоренного выражения положительна. Предполагая, что проницаемости также положительны, находим, что решение кг лежит в первой четверти плоскости комплексного переменного (т. е. у решения мнимая и действительная части положительны):

Второе решение отличается от первого только знаком:

и мы можем закисать оба решения с помощью одной формулы:

где к и к” - положительные величины. Величина есть вещественная часть волпового вектора к, а величина — его мнимая часть. Подстановка (6.235) в выражения (6.231) для полей дает

В этих формулах в показателях экспопепты пужпо брать либо одновременно все верхние, либо одновременно все нижние знаки (там, где имеются варианты или Мы, таким образом, получаем два решения для полей : одно, пропорциональное

а другое, пропорциональное

На первый взгляд кажется, что одно из них, (6.237), затухает с ростом z по показательному закону (множитель а второе, (6.238), растет по показательному закону (мпожитель . В действительности оба решения представляют собой затухающие волны. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим, например, выражение (6.238). Его можно рассматривать как волну вида

амплитуда которой равна т. е. экспоненциально растет с ростом Следует иметь в виду, что такое представление оправдано лишь в том случае, если мнимая часть к волнового вектора к мала в сравнении с действительной частью к, т. е. изменение амплитуды волны на расстояниях порядка ее длины невелико.

Фаза волны (6.239) определяется выражением, стоящим в показателе экспоненты:

Эта фаза постоянна при

т. е. плоскости постояпной фаяьг перемещаются вдоль оси со скоростью

Эта скорость называется фазовой скоростью волны и определяет направленно распространения волны. Знак минус в показывает, что волна (6.238) распространяется в отрицательном направлении оси если мы вместе с волной будем двигаться в отрицательном направлении оси то амплитуда волпы, пропорциональная множителю будет уменьшаться по экспоненциальному закону. Нетрудно видеть, что волна (6.237) распространяется в положительном направлении оси z с той же (по величине) фазовой скоростью. Амплитуда этой волны цронорциональна множителю , следовательно, также уменьшается в направлении распространения.

Таким образом, в проводящей среде существуют две волпы заданной частоты, которые распространяются с равными по величине фазовыми скоростями в противоположных направлениях. Амплитуды каждой из этих воли уменьшаются по экспоненциальному закону в направлении распространения.

Из уравнений Максвелла следует, что между амплитудами существует зависимость, которая выражается, нанример, первым уравнением системы Учитывая это уравнепие, можем закисать выражения для полей (0.231) в виде

Таким образом, для того чтобы определить свободпую плоскую электромагнитуную волну в проводящей среде, нужно задать, номпмо характеристик среды , ст. еще поляризацию поля, т. о., нанример, направление и величину амплитуды электрического поля 10.

Как видпо из решения дисперсионного уравнения (6.230), величина волнового вектора к комилекспа. Поскольку мы рассматриваем одномерный случай, когда поле зависит только от координаты и времени, мы можем считать, что волновой нектор к направлен по оси х:

где оба вектора направлены по оси Тогда, в силу третьего уравнения (6.227), вектор перпендикулярен оси Пусть этот вектор направлен по оси

Тогда

т. е. как видно из (6.243), магнитное поле направлено оси у.

Судом для простоты считать величину действительной. Тогда величина является комплексной, поскольку в выражение для входит комплексная величина к (6.232).

Представ им волновой вектор к в виде

где Тогда выражения (6.243) для полей можно переписать в виде

где мы взяли для простоты только верхние знаки в (6.243).

Из этих выражений видпо, что в проводящей среде волпы электрического и магнитного нолей сдвинуты по фазе на угол . В отсутствие проводимости и сдвиг по фазе пропадает.

Реальные физические ноля Е и Н не могут быть комплексными, и физический смысл имеют либо действительные, либо мпимые части выражений (6.249). Взяв, например, действительные части от этих выражений, получаем

Мнимые части выражений (6.249) также дают равноправные решения:

В заключение рассмотрим выражение (6.232) для волпового вектора к для случаев малой и большой проводимости среды. Запишем выражение (6.232), выбрав в нем для простоты знак плюс:

Если второе слагаемое в подкоренном выражении по абсолютной величине много меньше, чем первое (малая проводимость), то справедливо приближенное выражение

В этом случае

Как видно из этих формул, в случае малой проводимости расстояние на котором волна (6.250) затухает в раз, обратно пропорционально проводимости:

Если и в не зависят от частоты, то величина имеет одно и то же значение для волн всех частот.

В обратном предельном случае большой проводимости мы можем пренебречь первым слагаемым под корнем в (6.252) по сравнению со вторым. Это дает

15 этом случае действительная и мнимая части волнопого вектора к равны по величине. Расстояпие на котором волпа затухает в раз равно

Эта величина носит название глубины скин-слоя (от апглийского шкура); название обусловлено тем, что если плоская электромагнитная волна падает на хорошо проводящее тело (металл), то она быстро затухает, и поэтому иоле отлично от нуля только в узком слое вблизи поверхности, причем толщина (глубина) этого слоя по порядку величины равпа . Если иицне зависят от частоты, то глубипа скин-слоя обратно пропорциональна корню из частоты падающей волны.

В приведенных выше рассуждениях мы считали, что частота электромагнитной волны о есть величина задаппая, и из дисперсионного уравнения (6.230) находили волновой вектор. Мы могли бы поступить иначе, а именно задать длипу полны или отвечающий си действительный волновой вектор и затем из дисперсионного уравпепия искать частоту волны. Это дает выражение для частоты волпы через волновой вектор к и параметры среды

Мы не будем здесь подробно анализировать это выражение; отметим только, что оба корня при положительных значениях и а всегда имеют отрицательную мнимую часть, что соответствует затуханию волны во времени. Действительно, зависимость поля от времени имеет вид Величина о» определяется комплексным выражением (6.258), которое мы можем записать в виде где со — действительная часть частоты, а — мнимая часть. Если то легко видеть, что множитель будет затухать со временем но закону забудьте, что — отрицательная величина, а время изменяется только в положительном направлении!).

Рассмотрим теперь уравнения для потенциалов электромагнитного поля в движущейся проводящей среде. Как известно, в покоящейся однородной изотропной проводящей среде между током проводимости и электрическим полем В существует соотношение

При переходе к четырехмерным обозначениям мы должны считать, что компоненты тока образуют четырехмерный вектор, а электрическое поле выражается через элементы тензора второго ранга (см. (6.29)). Поэтому в релятивистской инвариантной записи величина о доляша выражаться через элементы некоторого тензора третьего ранга:

Нетрудно проверить, что для тензора третьего ранга можно принять следующее выражение:

Если это выражение подставить в соотношение (6.259), то в системе покоя среды получим Если же среда движется со скоростью V, то из (6.259) и (6.260) с учетом (6.29а) получаем

Это соотношение, в соответствии с формулой (6.81), эквивалентно следующим формулам:

Первое из этих соотношений имеет простой физический смысл — это закон Ома для движущегося проводника. Мпожитель при а в первом соотношении определяет электрическое поло в системе иокоя среды. Второе соотношение говорит о том, что если покоящийся проводник с током электрически нейтрален, то при его движении со скоростью V на нем появляется электрический заряд (см. § 6.1, где дано физическое истолкование этого явления).

В случае движущейся проводящей среды уравпение (6.60) следует записать в виде

где с определяется формулами (6.259), (6.230) и (6.261). С учетом (6.261) последнее равенство перепишется так:

Подставим в это уравнение значение из соотношения (6.200), где тензор определяется согласно (6.201). Тогда последнее уравнение стапет уравнением для компонент тензора Если теперь в полученном уравнении выразить через потенциалы цоля по формулам (6.199), мы получнм уравнение для потенциалов поля в движущейся проводящей среде:

При этом потенциалы удовлетворяют следующему дополнительному условию:

Это условие является обобщением условия (6.210) на случай среды с проводимостью.

Если в среде отсутствуют источники то мы цолучаем из (6.262) систему однородпых уравнений

Эта система определяет распространение свободных электромагнитных волп в движущейся среде, которая в системе покоя характеризуется диэлектрической проницаемостью магнитной проницаемостью и проводимостью а.

Рели в такой среде распространяется плоская электромагнитная волна вида (6.216), то соотношение между частотой и волновым вектором к, в этой волне, как следует из последнего уранепия, имеет вид

Это дисперсионное уравнение получается из предыдущего дифференциального уравпения, если учесть, что в применении к плоской волне вида (6.216) оператор градиента равносилен умножению на — , а оператор

дифференцирования по времени равносилен умножению на Если проводимость среды о обращается в нуль, то уравнение (6.263) переходит в уравнение (6.218).

Ил ураннения (0.263) мы можем, задав частоту электромагнитной волны и направление ее распространения, определить величину волнового вектора к (и том самым длину волны . И наоборот, задав величипу и направление волнового вектора к, мы можом определить частоту волны О). Если одну из величин к или О) считать заданной, то уравнение является квадратным уравнепием относительно другой из этих величин. Ото квадратное уравнение имеет комплексные коэффициенты, и поэтому его решения являются комплексными. Из вида волны (6.216) следует, что если частота ее комплексна, то волна уже не является монохроматической и либо нарастает, либо затухает во времени по экспоненциальному закону. При этом показатель затухавин (или парастания) равен мнимой части частоты о. Если мнимая часть частоты о положительна, то волпа затухает со временем, а если мнимая часть отрицательна, то волна нарастает во времени.

Если в уравнении (6.263) заданными является частота волны и направление ее распространения (угол между V и то мы получаем квадратное уравнение для абсолютной величины волнового вектора к. Решение этого уравнения также дает для к, пообще говоря, комплексные значения. Два комплексно сопряженных корня уравнепия (6.263) для этого случая соответствуют тому, что волна нарастает или затухает в пространстве по экспоненциальному закону. В дальнейшем мы ограпичимся случаем малого затухания, когда можно считать мнимую часть решения уравнения (6.263) для к малой по сравнению с вещественной частью. Для этого случая знак мнимой части к по определяет того, нарастает или затухает волна в пространстве. Действительно, пусть одно из решений уравнений (6.263) при заданных со и в равно к где к — действительная часть к, а — мнимая. Направление волнового вектора определяем едипичпым вектором так что

Направим ось z декартовой системы координат по вектору и. Тогда волна (6.216) запишется в виде

При малом затухании мы можем считать, что выражение (6.264) определяет волну с волновым вектором к и частотой со, причем амплитуда этой волны меняется по зкеиопенциальному закону Пусть к" есть положительная величина. Для того чтобы сделать какие-либо заключения о поведении волны, надо знать направление распространения волны, т. е. знак ее фазовой скорости. Фазовая скорость волны равна отношению Действительно, плоскость постояпной фазы полны (6.264) определяется равенством откуда Из последнего соотпошения видно, что плоскость ностоянной фазы перемещается со скоростью Если то волпа (6.264) распространяется в положительном направлении оси Тогда при волпа нарастает, а при затухает. Если же то волпа распространяется в отрицательном паправлепии оси Тогда при волна затухает в направлении своего распространения (хотя амплитуда ее и нарастает в положительном направлении оси Таким образом, для того чтобы решить вопрос о том, затухает или нарастает волна, мало знать закон изменения ее амплитуды в пространстве, нужно еще зпатк направление ее распространения.

Существует простой способ, позволяющий судить о том, затухает или нарастает волна в направлении своего распространения. Составим выражение Если это нроизведение положительно, то волна нарастает в

направлении своего распространения, в противном случае волна затухает. Нетрудно видеть, что выражение есть произведение фазовой скорости волны на декремент ватухапня волны в пространстве.

Рассмотрим теперь решение дисперсиоппого уравнения (6.263). Пусть волновой вектор волны ранеп по величипе к и составляет с вектором скорости среды V угол . В этом случае Дисперсионное уравнение (6.263) является кнадратпым уравпепием относительно частоты Решая его при малой проводимости а и отбрасывая все степени о выше первой, получаем

где

Как видно из этого выражения, в случае, когда в системе покоя среды т. е. при мнимая часть частоты в обоих решениях псегда положительна, какова бы ни была скорость движения среды V. А это ппачит, что при заданном волновом векторе к волна (6.216) всегда затухает во времени. Декремент затухания пропорциопалеп проводимости о.

Рассмотрим теперь случай, когда заданными величинами в волне (6.216) являются частота и направление распространения волны, определяемое углом Тогда из дисперсиоппого уравнения (6.263) можпо определить величину волнового вектора к, отвечающую заданным зпачениям . Решения этого уравнения имеют вид При малых а после небольших преобразований получаем

Здесь величина в принятых нами предположениях всегда положительна. С помощью выражений (6.266) можпо пайти формулы для произведений . Они имеют вид

Отсюда сразу видно, что при условии произведения при любой скорости движения среды всегда отрицательны. Это значит, что в движущейся проводящей среде волна (6.216) всегда затухает в направлении своего распространения. Единственная особенность движущейся среды заключается в том, что при скорости движения среды, удовлетворяющей условию или вещественная и мнимая части второго решепия одновременно меняют знак.

Потепциалы, получаемые как решепия уравнений (6.211) и (6.262), могут быть с успехом использованы для решения других задач (см. список литературы), но большинство из них выходит из круга тех вопросов, которые рассматриваются в этой книге.