V. Неинерциальные системы отсчета. СТО и переход к теории тяготения (ОТО).

Среди всех возможных систем отсчета инерциальные системы отсчета выделяются с помощью закопов динамики. Мы определили инерциальные системы как такие системы, в которых справедливы все три классических закона Ньютона. Третий закон Ньютона явпо подчеркивал, что силы — это результат взаимодействия тел. В неинерциальных системах отсчета сохранить все три закона уже невозможно. Если сохранить второй закон, то приходится вводить силы, не удовлетворяющие третьему закону, — силы инерции. На двух элементарных примерах мы напомним, как это делается.

Система отсчета в СТО — это твердое тело; самое общее движение твердого тела — комбинация поступательного движения и вращения. Произвольное движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной представляет собой сложение ускоренного поступательного движения и вращения (равномерного

или ускоренного). Равномерное поступательное движение оставляет нас в пределах инерциальных систем. Наши примеры относятся к ускоренному поступательному движению и равномерному вращению.

Пример 1. По наклонпой плоскости скатывается без трения тележка, масса которой равна М. На тележке на нитке подвешен тяжелый шарик массы т. Найти угол, который составляет нить с шариком с нормалью к наклонной плоскости (рис. Д.7) при установившемся двшкении.

Рис. Д.7. а) Тележка с подвешенным шариком скатывается с наклонной плоскости с постоянным ускорением а. При установившемся движении нить маятника несколько отклонена от нормали к наклонной плоскости. Складываясь, сила тяжести и натящепие нити дают равнодействующую, сообщающую шарику необходимое для движения вместе с тележкой ускорение а. Так рассуждает наблюдатель в инерциальной системе связанной с «неподвижной» наклонной плоскостью. В этой системе справедлив закон динамики Ньютона — ускорения вызываются только силами, б) Рассматриваются та же тележка в шарик, но с точки зрения системы К, связанной с ускоренно движущейся тележкой. Это уже ыеииерциальная система, и в ней нужно ввести силу инерции — та. Шарик покоится относительно тележки, поэтому сумма трех действующих на него сил — тяжести, натяжения пити, инерции — должна обращаться в нуль. Легко видеть, что угол отклонения иити от нормали к плоскости тележки получается одинаковым как при рассуждении а), так и при рассуждении б), что и должно быть.

а) Рассуждение с точки зрения инерциальной системы координат К (связанной с паклонной плоскостью). Тележка движется равноускоренно, с ускорением направленным параллельно наклонной плоскости. Если шарик покоится относительно тележки, то он тоже должен испытывать такое же ускорение. Но ускорение может возникать лишь за счет сил. А на шарик действуют только две силы — сила тяжести и натяжение нити. Чтобы они дали равнодействующую, параллельную наклонной плоскости, нужно, чтобы они были расположены под углом. Зная направление ускорения одной из сил (силы тяжести), легко найти графически направление и величину второй силы (натяжения нити).

б) Рассуждение с точки зреня неинерциальпой системы координат К (связанной с тележкой и шариком). В этой системе

шарик просто покоится. Значит, сумма всех действующих на шарик сил равна пулю. Но, кроме силы тяжести и натяжения нити, мы должны учесть также еще и силу инерции . Легко видеть, что мы приходим к тому же самому результату.

Пример 2. Шарик массы подвешенный на нитке, помещен на центробежной машине, вращающейся с постоянной угловой скоростью со (рис. Д.8). Шарик находится на расстоянии от оси вращения. Найти угол отклонения нити маятника от вертикали.

а) Рассуждение с точки зрения инерциальной системы координат К, связанной с «неподвижной» подставкой центробежной машины.

Рис. Д.8. а) Вместе с диском центробежной машины вращается шарик, подвешенный на нити к подвесу. При установившемся движении нить маятника несколько отклонена от вертикали в сторону от оси вращения. Складываясь, натяжение нити и сила тяжести дают равнодействующую, обеспечивающую необходимую для вращения шарика центростремительную силу, равную и направленную к оси вращения. Это рассуждение относится к наблюдателю в инерциальной системе К, находящемуся вне вращающегося диска. В этой системе справедлив второй закон Ньютона и центростремительное ускорение создается за счет сложения двух «настоящих» сил. б) Наблюдатель, расположенный на вращающемся диске, т. е. находящийся в неинерциальной системе К, будет описывать то же явление иначе. В системе К шарик покоится, значит, сумма всех действующих на него сил равна нулю. А действующих сил теперь уже три: натяжение нити, сила тяжести и сила инерции, равная Складываясь, они дают суммарную силу, равную нулю. Как из рассуждения а), так и из рассуждепия б) вытекает, что угол а имеет одно и то же значение.

Чтобы шарик мог двигаться вместе с нитью, он должен испытывать центростремительное ускорение Но оно может быть обеспечено лишь за счет отклонения нити от вертикали; тогда результирующая сил тяжести и натяжения нити при определенном отклонении нити от вертикали может обеспечить требуемое центростремительное ускорение.

б) Рассуждение с точки зрения неинерциальной системы координат К, связанной с вращающейся площадкой. В этой системе шарик покоится. Значит, равнодействующая всех сил, действующих на шарик, равна нулю. Кроме силы тяжести и натяжения нити, нужно ввести еще и центробежную силу инерции — Угол отклонепия нити от вертикали а в обоих случаях оказывается, конечно, одним и тем же.

Два приведенных примера показывают, как с помощью сил инерции можно сохрапить второй закон Ньютона и в неинерциальных системах координат.

Рассмотренные случаи не охватывают некоторые другие типы «сил инерции», но существенные особенности сил инерции уже видны на этих примерах. Силы инерции пропорциональны «инертной» массе тела; они либо остаются постоянными во всем пространстве (пример 1), либо неограниченно растут при неограниченном удалении от оси вращения (пример 2).

Уже Галилей знал, что все тела на Земле падают одинаково быстро, т. е. то, что сила тяготения сообщает всем телам одинаковое ускорение. Но тем же свойством обладают и силы инерции. Таким образом, материальные тела одинаково реагируют на силы инерции и силы тяготения. Из опыта известна еще одна особенность сил тяготения: от них нет защиты (от всех других сил, в принципе можно избавиться). Именно поэтому невозможна прямая опытпая проверка первого закона Ньютона на Земле или в околоземном пространстве. Ныотоп нрямо указывал, что для проверки этого закона нужно уйти туда, где полей тяготения нет; поэтому в гл. 1 подчеркивалось, что первый закон Ньютона — это предположение.

Теория тяготения Эйнштейна, возможно, зародилась тогда, когда у Эйпштейна возникла мысль о равноправии любых систем отсчета. Эта мысль кажется противоречащей всему тому, о чем шла речь в этой кпиге, в которой все время подчеркивалась особая роль инерциальных систем отсчета. Но не будем торопиться.

Если ни от тяготения, ни от инерции избавиться нельзя, можно попробовать считать инерцию и тяготение разными сторонами одного и того же явления. Тогда первый закоп Ньютона придется сформулировать уже по-новому. Первая часть ньютоновской формулировки останется без изменения: свободное движение тела — это такое движение, при котором на тело не действуют силы, причем тяготение мы исключаем из категории «сил». Рапыне, у Ньютона, свободное движение означало равномерное прямолинейное движение. Теперь, по Эйнштейну, свободное движение происходит но инерции и под действием сил тяготения. Тяготение теперь — это уже вовсе не сила. О действии сил говорят теперь лить тогда, когда движепие тела отклоняется от свободного движения, которое в ньютоновской схеме пазывалось свободпьш падением. По Эйнштейну, инерция и тяготение вместе обусловливают «свободное» движение, составляют его «фон».

Конечно, свободное движение в эйнштейновском смысле происходит отнюдь не по прямой линии. Однако прямая в евклидовой геометрии (на которую опирается ньютоповская механика) — это кратчайшая липия, соединяющая две заданные точки (или, как

еще говорят математики, геодезическая линия). Это обстоятельство нам придется припомнить несколько позже.

Вернемся к выводам, полученным в начале этого Дополнения. Переход к неинерциальным системам отсчета имитировал появление сил инерции, пропорциональных инертной массе тела. Если вспомнить, что тяжелая и инертная массы равны между собой (или пропорциональны), то из первого примера становится ясным, что переход к системе отсчета, движущейся поступательно, но с ускорением, имитирует появление однородного поля тяготения, величина которого равна — та. Из второго примера видно, что переход к равномерно вращающейся системе отсчета также приводит к появлению некоторого поля сил, пропорционального массе тела. В общем случае можно утверждать, что переход к неинерциальным системам отсчета имитирует некоторое гравитационное поле. Эти поля имеют некоторую особенность, отличающую их от «истинных» гравитационных полей: они не исчезают на бесконечности, по исчезают при переходе к инерциальным системам отсчета.

Мы видели, что переход от одной ИСО к другой оставлял неизменным квадрат интервала между событиями

Если совершить переход от инерциальной системы отсчета к неинерциальной, то вменяет свою общую форму. Действительно, рассмотрим два примера перехода от инерциальной системы к неинерциальпой.

Пример 1. Система координат К движется равноускоренно относительно К по прямой с ускорением а:

Если К — инерциальная система и

то в системе К:

или

Пример 2. Равномерно вращающаяся система координат (угловая скорость вращения ); из формул Приложения (П.1.10)

получаем

Нетрудно получить, что преобразуется к виду

Можно показать, что в обоих случаях никаким преобразованием времени нельзя привести к алгебраической сумме квадратов дифференциалов четырех координат.

Итак, в общем случае переход к неинерциальным системам меняет выражение для (инвариантного) интервала между событиями, причем так, что оно уже не сводится к «галилееву» виду Пусть метрика 4-пространства в общем случае записывается в виде

где зависят от всех четырех координат, а по индексам и к подразумевается суммирование. Отличие метрики 4-пространства от галилеевой в соответствии с идеями Эйнштейна, можно отнести за счет наличия тяготения. Таким образом, отличие от галилеевых значений отражает присутствие полей тяготения. Но поля тяготения связаны с наличием вещества. Таким образом, геометрические свойства пространства-времени (метрика) вовсе не являются его неизменными свойствами, а зависят от физических объектов, находящихся в этом пространстве-времени. Знание метрики прострапства-времени нозволяет ответить на основные вопросы, которые обычно интересуют физиков. Возникает вопрос: откуда можно найти эти Эйнштейн сумел написать систему (нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных, которым должны удовлетворять десять величин Эти величины зависят от распределения вещества и электромагнитного излучения. Уравнения Эйнштейна удалось решить лишь в нескольких частных случаях.

Подведем кратко итоги. Переход к неинерциальным системам отсчета вызывал появление метрических коэффициентов отличных от галилеевых, и имитировал появление некоторого поля сил, пропорционального массе. Поэтому можпо было думать, что эти значения и отражают наличие ноля сил, сходного с полем сил тяготения. По поводу «истинных» полей тяготения, сохраняющихся и при переходе к инерциальным системам отсчета, делается аналогичное предположение. Отсюда ясно, что если в инерциальной системе отсчета квадрат интервала определяется согласно то это значит, что поля тяготения отсутствуют.

Отличие полей, возникающих при переходе к неинерциальным системам отсчета, от истинных полей состоит в том, что соответствующие «истинным» полям, не могут быть приведены к галилееву виду никаким преобразованием времени и координат. С геометрической точки зрепия 4-пространство-время, включающее в себя поля тяготения, оказывается уже не плоским. Оно — кривое. Но здесь нам следует поставить точку и отослать читателя к специальной литературе (см., например, [31]).

Необходимо только отметить следующее. В земных условиях мы с успехом применяем СТО, т. е. пользуемся интервалом наряду с тем, что применяем ньютоновскую теорию тяготения, т. е. считаем тяготение силой. Теория тяготения Ньютона явно нерелятивистская, она представляет собой теорию дальнодействия. И при всем том — результаты отличные (например, расчет движения небесных тел). Но теория Эйпштейна предсказывает, что именно так и должно быть; конечно, в определенных условиях. Именно в «слабых» гравитационных полях (а в пределах Солнечной системы гравитационные поля слабые; здесь не место приводить точные критерии) уравнения тяготения Эйнштейна сводятся к уравнению тяготения Ньютона (уравнению Пуассона). Что касается скоростей небесных тел, то они всегда нерелятивистские.