§ 6.2. Преобразование 4-потенциала и 4-тока.

Уже одно то, что нам удалось построить 4-векторы Ф и позволяет сразу записать формулы преобразования компонент этих векторов. Мы запишем эти преобразования как в действительной, так и в комплексной форме (ср. (4.10 а, б)):

Остановимся подробнее на преобразованиях плотности тока. 4-ток образован плотностью тока и плотностью заряда. То, что ток и плотность заряда объединились в один 4-вектор, вполне естественно. Если говорить о системах отсчета, находящихся в относительном движении, то заряд может покоиться лишь в одной

(«собственной») системе отсчета. Во всех других ИСО заряд движется и с точки зрепия этих систем представляет собой уже не только заряд, но и ток. Мы видим, как прост переход от покоящегося заряда (электростатика) к движущемуся (ток), — это просто переход от собственной системы отсчета заряда к любой другой ИСО. Когда ток возникает при перемещении зарядов вместе с движущейся средой или телами, говорят о конвекционном токе. При переходе от собственной системы к произвольной ИСО речь как раз и идет о конвекционном токе.

В формулу входит плотность именно тех зарядов, скорость которых равна Иначе могут возникнуть недоразумения. В металлах, например, идет ток, хотя Действительно, в металлах суммарная плотность заряда, складывающаяся из плотностей зарядов ионов и свободных электронов, равна нулю: . Но ток, конечно, может идти, если есть регулярное движение электронов: — потому что скорость регулярного движения иолов равна нулю.

Из формул (0.15) мы сразу получим конвекционный ток при переходе от «собственной» системы заряда. Итак, пусть в системе К задана плотность заряда а тока нет Следовательно, в системе -плотность тока имеет компоненты Тогда согласно например, в системе К

В развернутой форме последнее уравнение (6.10) дает

Таким образом, мы приходим к закону преобразования плотности заряда при переходе от «собственной» системы, где заряды покоятся, к системе, относительно которой заряды движутся со скоростью V:

Из первого уравнения (6.16) получаем плотность тока

Ток, связанный с движепием заряженной среды или заряженного тела, как мы сказали, называется конвекционным током.

Смысл равенства (6.18) очень прост. Скорость заряда, покоящегося относительно системы К равна V (это скорость системы то же вытекает и из релятивистской формулы

преобразования скоростей (3.27)). Поэтому (6.18) представляет собой просто конвенционный ток. Что касается изменения плотности заряда (6.17), то оно связано с изменением объема (плотность — это заряд единицы объема). Так как объем преобразуется по закону

а речь идет об одном и том же физическом объеме, содержащем все тот же заряд то

Конечно, полный заряд в заданном объеме остается неизменным в любой системе отсчета:

Равенство (6.19) выражает инвариантность заряда, заключенного в данном объеме. С помощью (6.17) можно иначе представить 4-вектор Рассмотрим в системе К небольшой элемент объема движущейся заряженной среды. Тогда для сопутствующей этому элементу системы отсчета скорость элемента . В системе К плотность , следовательно,

Тогда скорость элемента среды. Итак,

Для получаем

4-вектор — времениподобный вектор; это обстоятельство отражает тот факт, что скорость заряда всегда меньше с.

Если в системе К имеется незаряженный проводник, по которому идет ток, т. е. в системе К

то в обнаруживается некоторая плотность заряда . В самом деле, согласно (6.15)

Первые три формулы (6.23) определяют значения тока в системе К, последняя определяет плотность заряда в системе К:

Следовательно, наблюдатель в К обнаружит плотность хотя в системе К плотность заряда равнялась нулю. Нетрудно дать геометрическую интерпретацию этого результата. Пусть провод ник покоится в системе К; иопы проводника неподвижны, а электроны перемещаются с некоторой средней скоростью . В системе К мировые липии ионов представляют собой прямые, параллельные оси , а мировые линии электронов — прямые, составляющие с осью некоторый угол

Рис. 6.1. Диаграмма Минковского, поясняющая появление плотности заряда в системе К у проводника с током, плотность заряда в котором в системе К равна нулю. В проводнике суммарная плотность заряда, обусловленная зарядами ионов и электронов, равна нулю. Ток создается движением электронов, ионы неподвижны. На рисунке мировые линии ионов изображены пунктирпыми прямыми, а мировые линии электронов — наклонными сплошными линиями. Кроме системы отсчета К (оси ) отмечена и система отсчета (оси ); проведена также масштабная гипербола, отмечающая единичные отрезки на исях Так как плотность заряда должна определяться во всех точках одновременно, то ее нужно определять для всех точек тела на оси х или х соответственно. Видно, что если единичный отрезок в системе К содержит равное число ионов и электронов, то единичный отрезок в Ксодержит больше ионов, чем электронов. Это и означает появление положительной плотности заряда в системе

На рис. 6.1 изображены системы отсчета мировые линии ионов (пунктир) и мировые линии электронов (тонкие сплошные прямые, наклоненные под углом к оси Поскольку металл в среднем нейтрален, то из каждого участка проводника должно выходить равное количество мировых линий ионов и электронов. Плотность заряда должна измеряться одновременно в каждой системе отсчета. В системе К опа определяется числом мировых линий ионов и электронов, пересекающих единицу длины в этой системе. Например, плотность заряда определяется числом мировых линий ионов (взятым со зпаком «+») и числом мировых линий электропов (взятым со знаком ), проходящих через О А. Масштабная гипербола отсекает на осях единичпые отрезки. К этим единичным отрезкам и нужно относить заряды. Но в системе К плотность заряда нужно подсчитывать одновременно для всего проводника. Одновременные события в К лежат на прямых, параллельных оси х, в частности на самой оси х. Однако из рис. 6.1 видно, что на единичном отрезке ОА положительных зарядов больше, чем отрицательных. Поэтому проводник окажется положительно заряжеппым в системе К, хотя в системе К он был нейтральпым. Конечпо. если взять замкнутый проводник с током, то и в системе К его суммарный заряд останется равным нулю, однако в системе К возникнет

электрический дипольный момент, которого в системе К не было (см. § 6.9 и рис. 6.4).