ПРИЛОЖЕНИЕ I

Здесь содержатся некоторые сведения из математики, необходимые для чтения этой книги.

§ 1. Симметричные обозначения, правила суммирования.

Когда в трехмерном пространстве вводят прямолинейную ортогональную (декартову) систему координат, то единичные векторы, направленные вдоль осей х, у, z, соответственнообозначаютчерез Положение любой точки пространства задается радиус-вектором компонентами которого являются координаты точки. Но все направления в пространстве равноправны, и поэтому целесообразно для координат и единичных векторов ввести симметричные обозначения и писать, например, вместо а вместо к Тогда радиус-вектор точки запишется в виде

где в последнем равенстве введено обозначение суммы и суммирование произведено по значениям а, от 1 до 3. Но знак суммы в последнем звене равенства можпо и не писать, если раз навсегда условиться, что по двум одинаковым греческим индексам, стоящим в одной части равепства, подразумевается суммирование от 1 до 3.

В специальной теории относительности вводится четырехмерное пространство с четырьмя координатами Тогда радиус-вектор и другие векторы будут иметь уже по четыре компоненты. Правило суммирования сохраняется и в этом случае, по суммирование ведется уже по латинским индексам, пробегающим все значепия от 1 до 4. Например,

Итак, правило сокращенного суммирования состоит в том, что по двум индексам, стоящим в одной части равенства, ведется суммирование, причем если индексы латинские — то от 1 до 4.

Вернемся к трехмерному случаю. Радиус-вектор, записанный раньше в виде можно записать сокращепно в виде , а произвольные - векторы а и — в виде

Здесь одно и то же равенство выписано несколько раз, чтобы показать, что индексы суммирования «немые», т. е. что суммирование можно вести по любой букве, не меняя результата.

В качестве примера использования сокращенной записи суммирования выведем формулу для скалярного произведения двух векторов а и Во-первых,

Здесь учтено, что правило суммирования относится к двум индексам; в выражении два суммирования; поэтому каждое из них ведется по своей букве. Во-вторых, единичные векторы взаимно ортогональны; поэтому каждый из векторов, умноженный на самого себя, дает единицу, а на любой другой — нуль. Поэтому

Удобно ввести особый символ — символ Кронекера, обладающий именно такими свойствами:

Этот символ отличен от нуля лишь при и поэтому любое суммирование с участием этого символа ведет к простому результату: . Действительно,

Теперь уже легко получить окончательный результат в (П.1.2):

т. е. обычную формулу скалярного произведения векторов.

Одинаковые индексы, по которым ведется суммирвапие, могут оказаться в числителе и знаменателе дроби. Правило суммирования при этом сохраняется. Запишем, например, выражения для градиента функции и дивергенции вектора а:

Если греческий (или латинский) индекс стоит один, то это значит, что он «свободный» и может принимать любое значение из трех (или четырех) возможных. Например, обозначает одну из координат вектора а именно или .