§ 6.3. Тензор электромагнитного поля.

В электродинамике напряженность электрического поля и магнитную индукцию В удобно выражать через векторный и скалярный потенциалы А и по формулам

Перепишем эти формулы, используя компоненты 4-потенциала, причем будем выписывать пока соотношения для комплексного 4-пространства:

Последние члены в равенствах (6.26) и (6.27) записаны на основании определения компонент 4-потенциала. Аналогично, используя компоненты Ф, можно записать и остальные компоненты векторов Е и В. Мы получим формулы, аналогичные (6.26) и (6.27), из которых следует, что все компоненты векторов и В можно выразить через некоторые комбинации производных от компонент

4-вектора Ф по четырехмерным координатам. Эти комбинации образуют антисимметричный 4-тензор второго ранга

Прежде чем обсуждать математические особенности и смысл выражения (6.28), мы должны остановиться на том, как выглядит этот же самый переход в случае действительного 4-пространства. Как мы указывали, в этом случае уже приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Тензор электромагнитного ноля (6.28) удобнее записать в ковариантиых компонентах. Тогда, если контранариантными компонентами вектора Ф были компоненты , то ковариантными компонентами

будут . Дифференцирование по контравариантным координатам приводит снова к коварнантным компонентам (см. Приложение I, § 8). Таким образом, (6.26) меняет только знак, а (0.27) запишется, если иметь в виду, что

Таким образом, в случае действительного 4-пространства мы вводим ковариантный антисимметричный 4-тензор второго ранга:

по внешнему виду совпадающий с (6.28). Смысл введения (6.28) или (6.28) очень примечателен. Два максвелловских вектора поля U и В в 4-пространстве могут быть выражены единым образом через некоторую комбинацию пространственно-временных производных от 4-вектора потенциала Ф. Для нас самым существенным является поведение величин при переходе от одной ИСО к другой. Но их преобразование находится совсем просто: величины образуют тензор, поскольку нетрудно убедиться в том (см. Приложение I, § 3), что производные от компонент 4-векторов по координатам преобразуются по правилу преобразования тензоров. Если индексам в (6.28) и (6.28) придать независимо все значения от 1 до 4 (и от 0 до 3 соответственно), мы получим 16 значений (четыре из которых равны пулю), выраженных через компоненты Е и В. Запишем эти компоненты в виде матриц:

Мы видим, что компоненты напряженности электрического поля и магнитной индукции являются компонентами одного 4-тензора электромагнитного поля. Как обычно, в обозначении первый индекс, указывает строку, а второй, —столбец матрицы

Часто для сокращения тензор (6.29а) записывают в виде а тензор (6.296) — в виде —

подразумевая при этом расположенно компонент векторов и В, принятое соответственно в (6.29а) и (6.296).

Результат, который мы получили, непохож на привычную трехмерную картину. В теории Максвелла говорят обычно о векторах поля. Действительно, векторы Е и В являются 3-векторами, пока речь идет лишь о преобразовании системы координат (т. е. о поворотах координатной системы). Как только мы переходим к системам отсчета, находящимся в относительном движении, картина резко меняется. В 4-пространство Е и В уже по векторы, даже не четырехмерпые. Хотя векторы Е и В выражаются через компоненты четырехмерного потенциала, но сами по себе трехмерные векторы Е и В нечем дополнить до 4-векторов. В 4-цро-странстве электромагнитное поле представляет собой единую величину, более сложную но своей математической природе, чем 4-вектор. Поля Е и В слились в один 4-тензор, который называется тензором электромагнитного поля.

Появление одного 4-тензора вместо двух трехмерных векторов, описывающих электромагнитное поле, имеет ясный физический смысл. Электрическое и магнитное ноля неразрывно связаны между собой, а «появление» или «исчезповение» одного из полей просто связано с выбором системы отсчета. Например, «чистое» электрическое поле, порождаемое зарядом, возникает в очень специальных условиях, когда заряд рассматривается в той системе, где он покоится. Однако в любой другой инерциальной системе этот заряд уже движется и, следовательно, образует электрический ток, который создает магнитное поле. С другой стороны, мы видели, что если по проводнику идет ток и проводник в некоторой системе отсчета представляется нейтральным, то в других инерциальных системах отсчета он представляется заряженным, и, следовательно, в этих системах появится электрическое поле.

Таким образом, достаточно, например, чтобы в системе К было лишь электрическое поле, чтобы в любой другой системе К появилось еще и магнитное. Если в системе К есть только магнитное поле, то в любой другой системе К появится и магнитное, и электрическое поля. Именно этот физический факт нельзя отразить в математическом анпарате, если ноля Е и В мы попытались бы сохранить как векторы. Мало того, что трехмерные векторы электромагнитного поля нечем дополнить до 4-векторов. Но, кроме того, если бы каждый из векторов Е и В входил в «свой» 4-вектор, то при преобразованиях Лоренца каждый из векторов в «новой» системе выражался бы через компоненты «своего» вектора в «старой». Тем самым, векторы Е и В оказались бы не связанными между собой. Опыт, однако, указывает на тесную связь между электрическим и магнитным полями, т. е. между векторами Е и В.

Два трехмерных вектора обладают шестью независимыми компонентами. Антисимметричный 4-тензор второго ранга как раз обладает шестью независимыми компонентами. Мы как раз и обнаружили в (6.29 а, б), что ноля Е и В составили антисимметричный 4-тензор — тензор электромагнитного поля. Поскольку любая компонента тензора в новой системе отсчета есть линейная комбинация всех компоыепт тензора в старой системе отсчета, то при переходе от одной системы отсчета к другой электрическое поле может появиться за счет того, что в другой системе было только магнитное поле, и наоборот. В известпом смысле электромагнитное поле является замкнутым образованием: если в какой-то инерциальной системе нет ни электрического, ни магнитного поля, то электромагнитное иоле не возникает ни в какой другой инерциальной системе. Преобразованием компонент электромагнитного поля мы займемся в следующем параграфе, а сейчас коротко остановимся на описании электромагнитного поля в веществе.

Для описания поля в веществе, кроме средних полей Е и В, необходимо ввести еще два вектора. В качестве этих векторов можно взять либо векторы электрической ипдукции и напряженности магнитного поля Н, либо вектор электрической поляризации Р и вектор намагничения М. Четыре последних вектора связаны между собой соотношениями

Векторы Н и D образуют свой особый тензор, компоненты которого принято обозначать буквой а сам тензор сокращенно обозначают . Этот тензор получается из (6.29а) заменой компонент на компоненты а компонент на компоненты Выпишем матрицу компонент этого тензора:

Наряду с тензором полезно ввести еще тензор электрического и магнитного моментов вещества, определение которого легко следует из (6.30):

Сокращенно его обозначают так: . В развернутой форме:

Уже сам факт возникновения тензоров (6.29), (6.31) и (6.33) указывает на тесную попарную связь величин и М, Р. Мы выписали здесь тензоры лишь для 4-комплексного пространства; соответствующие выражения для действительного 4-пространства читатель без труда напишет сам.