§ 5.1. 4-скорость и 4-ускорение.

Чтобы записывать соотношения между физическими величинами в пространстве-времени, мы должны построить нужные 4-векторы. Строя эти величины, мы имеем в виду, что в предельном случае малых скоростей преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, относительность промежутков времени и длип уже не имеет места и уравнения Ньютона соответствуют принципу относительности Галилея, если переход от одной ИСО к другой описывается преобразованиями Галилея. В описываемом предельном случае время и пространство уже не связаны друг с другом и мы можем пользоваться привычными трехмерными величинами. Поэтому, строя четырехмерные величины, мы всегда будем стремиться к тому, чтобы три их (пространственные) компоненты были сходны с соответствующими трехмерными величинами. В предельном случае малых скоростей три компоненты четырохмсрных величин должны переходить в обычные механические величины.

Построение 4-скорости и 4-ускорения мы будем вести по аналогии с построением соответствующих величин в трехмерном пространстве, где положение частицы задавалось трехмерным радиус-вектором а 3-скорость определялась как производная радиус-вектора по времени Определить 4-скорость как производную 4-радиус-вектора по времепи нельзя. Нам нужен 4-вектор скорости, а для этого 4-вектор приращения можно делить только на скаляр (инвариант преобразований Лоренца). Ни само время, ни его дифференциал скаляром не являются.

В качестве инвариаптной величины, зависящей от времени, можно взять интервал или собственное время частицы (ср. § 3.3). Мы еще раз введем понятие собственного времени, связав его с интервалом между событиями. Мы пользуемся тем обстоятельством, что движение частицы в 3-пространстве — это непрерывная последовательность событий, состоящих в том, что частица в данный момент занимает определенную точку пространства. Пусть в системе К координаты частицы за время изменились на а ее смещепие равно Рассмотрим мгновенно-сопутствующую частице инерциальную систему К (мгновенно-сопутствующий частице ИСО называется система, постоянная скорость которой V равна мгновенной скорости частицы). В системе за бесконечно малый промежуток времени координаты частицы не меняются: Имея в виду инвариантность интервала между событиями,

запишем

В системе промежуток это промежуток собственного времепи. В этой главе мы будем обозначать его через (обозначением , использованным в предыдущих главах, в этой главе мы не пользуемся). Из предыдущего равенства имеем

Мы пришли к уже известному нам (§ 3.3) результату, а заодно доказали инвариантность собственного времени . Выпишем нужные для дальнейшего формулы:

Мы видим, что собственное время частицы отсчитывается по часам мгновенно-сопутствующей ИСО. Но за конечный промежуток времени для частицы, движущейся с ускорением, мгиовенно-сопутствующие ИСО меняются. Конечное собственное время частицы определяется как суммарное время, отсчитанное многими ИСО. В принципе часы жестко связывать с частицей следует, поскольку всякое ускорение влияет на ход часов. Лишь в том случае, когда ускорение, испытываемое частицей, практически на ход часов не влияет, собственное время можно отсчитывать но часам, жестко связанным с частицей. Но отсчет «собственного времени» легко провести по времепи, отсчитываемому часами системы К (относительно которой частица движется), если известна зависимость скорости частицы от времени, т. е.

Из формул (5.1) и последней формулы видно, что координатное время (время, отсчитываемое всеми часами из К) является функцией собственного времени т. Из формулы видно, что на равных правах с собственным временем можно пользоваться интервалом причем все формулы будут отличаться на некоторые степени инвариантного множителя с.

Итак, введем 4-вектор скорости

Поскольку — инвариант, а — вектор, векторный характер V не вызывает сомпений. Раскроем трехмерный смысл первых

трех компонент (5.2) в обозначениях (4.7а):

где — компоненты обычной 3-скорости. Итак, три первые компоненты 4-скорости — это компоненты обычной 3-скорости, умноженные на множитель у, зависящий от абсолютной величины скорости частицы. Четвертую компоненту найдем отдельно:

В обозначениях (4.7) имеем

В духе записи можно написать

При т. e. при скоростях тела , множитель и тогда первые три компоненты 4-скорости и последние три компоненты (5.56) совпадают с обычной скоростью. Особый иптерес представляют четвертая компонента (5.5а) и нулевая . Они отличпы от нуля даже тогда, когда частица покоится (при Последний результат имеет ясный смысл. Время остановить нельзя, оно всегда течет. «Покой нам только снится», и в четырехмерном мире «покоя» (в том смысле, что быть не может. Что касается «скорости течения времепи», то она, разумеется, определяется выбором единиц времепи.

Можно записать компоненты 4-скорости еще и так:

Квадрат 4-вектора является инвариантом. Он находится по формулам (4.11а) и (4.116) соответственно:

Вычисление проще всего производится в собственной системе отсчета частицы, т. е. в системе отсчета, где опа покоится Тогда в (5.5а) останется лишь Следовательно,

квадрат 4-скорости в (5.7а) и (5.76) разного знака в силу различного определения интервала (см. гл. 4), но этот знак при выбранном определении уже не меняется, откуда следует, что всегда.

Как только скорость в 4-пространстве записана в виде 4-вектора, сразу же можно записать формулы преобразования ее компонент при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Пусть в системе К заданы составляющие 4-скорости Согласно формулам (4.10а) в системе К мы получим

но 4-скорости имеют составляющие подставляя которые в (5.8) получим

Из последнего равенства (5.9) следует, что

Подставляя это выражение в три первых равенства (5.9):

получим для компонепт скорости в К формулы, выведеппыгв в гл. 3 из преобразований Лоренца.

Заметим попутно, что если вместо формул перехода от К к К (5.8) мы используем формулы обратного перехода, то вместо (5.10) найдем

что позволяет получить значение выраженное через компоненты скорости в системе К. Из (5.10) следует формула полученная иным путем:

Из формулы (5.10) вытекает, что если частица покоится в то ; этот результат очевиден, потому что частица, неподвижная в К, движется относительно К со скоростью —V.

Тот же самый результат получится, если мы воспользуемся определением (5.66) и формулами преобразования (4.106). Мы

предоставим это сделать читателю. Наш результат очевиден — пространственные компоненты 4-скорости определяют преобразование привычной 3-скорости.

Теперь нам следуат определить 4-ускорение, которое мы также сразу построим как 4-лектор:

или же в компонентах:

Ниже мы выпишем несколько формул, касающихся ускорения, по нужных нам лишь для специальных вопросов, в обозначениях (4.7а). Компоненты четырехмерного ускорения можно выразить через компоненты трехмерных векторов и . Мы получаем

потому что, как легко проверить,

а . Четвертая компонента ускорения:

В случае равпомерного движепия все четыре компоненты ускорения обращаются в нуль. Б системе отсчета, в которой частица покоится,

т. е. три пространственные слагающие 4-ускорения совпадают с обычными трехмерпыми компонентами ускорения, а временная составляющая обращается в нуль. Из (5.16) видно, что

В силу инвариантности квадрата модуля 4-вектора (см. Приложение I, § 1) можно утверждать, что 4-вектор ускорения — пространственноподобный вектор (см. определение интервала

Выпитом компоненты 4-вектора ускорения в обозначениях (4.7а, б):

Энергию частицы мы ввели, несколько забегая вперед (см. формулу (5.32)). С помощью (5.15) и (5.17) нетрудно получить, что

Выпишем формулы преобразования 3-ускорения

— при переходе от одной ИСО к другой. Преобразования Галилея оставляли 3-ускорение частицы без изменения. Преобразования Лоренца меняют компоненты 3-ускорения. Проще всего формулы преобразования компонент 3-ускорения получаются так. Считая соответственно функциями и учитывая связь (2.16), получим из (3.26), вводя обозначения

и аналогично для Разделив левые и правые части этих равенств соответственно на левую и правую части равенства получим

Конечно, тот же самый результат получится и преобразованием -вектора ускорения Удобно записать его в системах — в виде

Из формул преобразования компонент 4-вектора

получим

С помощью (5.10) из этих соотношений найдется Из формул преобразования для получатся формулы преобразования для

В формулы преобразования компонент 3-ускорения входит скорость движения частицы. Но 3-ускорение возпикает лишь в том случае, когда скорость меняется. Следовательно, даже в том случае, когда в одной ИСО 3-ускорение постоянно, во всех остальных оно уже меняется со временем: в релятивистской механике равноускоренное движение в одной ИСО уясе не равноускоренное во всех остальных!