Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 8. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Законы КеплераИсследуем движение точки массы
с неподвижным центром силы; в случае гравитационного Анализируя график Во всех указанных случаях траектория, или, как часто говорят, орбита точки, определяется одной формулой. Действительно, подставляя (8.1) в (7.8), получим
(кликните для просмотра скана) (здесь знак «+» под радикалом соответствует случаю
запишем последний интеграл в виде
Затем в результате интегрирования получим
Опуская знак
где знак Уравнение (8.3) является уравнением кривой второго порядка, в фокусе которой находится начало координат; постоянная Из аналитической геометрии известно, что траектории вида (8.3) представляют собой гиперболу (при
в случае отталкивания Рассмотрим подробнее движение по эллиптической орбите, когда
С помощью известных из аналитической геометрии формул для полуосей эллипса
и формул (8.2) а и b можно выразить через постоянные
Отсюда видно, что большая полуось эллипса зависит от полной энергии и не зависит от значения момента. В частном случае круговой орбиты
Очевидно, что при движении по окружности постоянна не только полная энергия, но и потенциальная и кинетическая энергия точки. Закон движения точки по эллиптической траектории получим из интеграла (7.5). Учитывая, что
С помощью (8.6) убедимся, что
Сделав подстановку
найдем
Выбирая параметр
получим закон движения точки по эллиптической орбите в параметрическом виде
где
где
Отсюда, используя (8.7), получим
Таким образом, период обращения по эллипсу зависит только от полной энергии (или от величины большой полуоси) и не зависит от момента (и от величины малой полуоси). Уравнение орбиты (8.3), закон площадей (8.11) и соотношение периода и большой полуоси (8.12) являются математическим выражением трех законов Кеплера, установленных им эмпирически примерно в 1609-1619 гг. в результате обработки наблюдений над движением планет. В этих законах утверждалось, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (первый закон); секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна (второй закон); отношение квадратов периодов обращения планет к кубам больших полуосей их орбит постоянно и для всех планет одинаково (третий закон). Заметим, что применительно к движению планет третий закон Кеплера верен приближенно (см. стр. 122). Тем не менее открытие законов Кеплера имело очень большое значение. В частности на их основе Ньютоном был установлен закон всемирного тяготения: допуская, что движение тел в поле тяготения Земли также подчинено законам Кеплера, можно было на основании первого и второго законов утверждать, что величина ускорения тел вблизи поверхности Земли равна (см. пример 1.3)
где
Допуская, что постоянные С в последних двух выражениях имеют одинаковые значения, можно было найти следующую формулу для ускорения
Таким образом, ускорение тел вблизи поверхности Земли можно было вычислить как по данным наблюдений за Луной, так и по данным эксперимента, проведенного около земной поверхности. Совпадение этих двух результатов являлось одним из доказательств справедливости закона всемирного тяготения (2.15). На основе закона всемирного тяготения (2.15) и уравнения движения (3.4) была создана количественная теория движения небесных тел относительно гелиоцентрической системы отсчета. Совпадение наблюдений и выводов этой теории доказало инерциальность гелиоцентрической системы Коперника—Бруно и ее преимущественность над геоцентрической системой Птолемея, что явилось крупным шагом в победе материалистического воззрения на вопросы мироздания. В случае
В этом положении скорость точки максимальна, а по мере удаления точки от иентра силы ее скорость стремится к нулю, поскольку при Закон движения точки по параболе легко получить в параметрическом виде из (7.5):
(здесь начальное условие выбрано аналогично (8.9)). В случае движения по гиперболе под воздействием притягивающего центра имеем
Учитывая, что полуоси гиперболы связаны с параметром
с помощью (8.2) находим
Закон движения точки по гиперболе в случае
(здесь начальные условия также аналогичны (8.9)). Наконец, приведем формулы для случая движения точки по гиперболе под, действием отталкивающего центра
орбитой при этом будет правая ветвь гиперболы (см. рис. 8.1). Пример 8.1. Изменение орбиты космического корабля. Пусть в момент прекращения работы двигателя космический корабль массы энергию корабля в перигее, чтобы он перешел на орбиту приземления, изображенную на рисунке штриховой линией (изменением массы корабля в результате достаточно кратковременной работы двигателя можно пренебречь)? Учитывая лишь силу притяжения корабля Землей и принебрегая воздействием всех прочих тел, мы можем воспользоваться общим решением задачи о движении точки в центральном поле.
Рис. 8.2 Поместим начало системы координат в центр Земли, так как он является центром силы притяжения. Плоскость
Тогда потенциальная энергия корабля-спутника (см. (8.1)) принимает вид
Полная энергия и момент импульса спутника в начальный момент времени соответственно равны
С помощью этих выражений на основе (8.4) можно убедиться, что траекторией рассматриваемого тела будет
где Параметр и эксцентриситет орбиты, выраженные через начальные условия, находим, используя (8.2) и формулы (3) настоящего примера:
Наконец, согласно (8.12), период полного оборота спутника по эллипсу равен
Если орбита спутника известна, то его положение в любой момент времени определяется законом (8.10). Величину скорости как функцию
Направление же скорости можно определить, отыскивая с помощью интегралов момента и энергии величины
поскольку отношение этих функций дает Теперь найдем изменение кинетической энергии, при котором космический корабль перейдет на орбиту приземления. Так как в перигее радиальная составляющая скорости корабля равна нулю, а расстояние до центра силы минимально, то из формулы (8) найдем
Эту скорость нужно изменить так, чтобы корабль стал двигаться по эллипсу, касающемуся поверхности Земли. Большая полуось новой орбиты при этом будет равна
Учитывая, что
которой корабль должен обладать при движении по заданной орбите приземления (см. первое из соотношений (8.7)), и пользуясь сохранением полной энергии корабля, движущегося по новой орбите, получаем значение кинетической энергии корабля на орбите приземления в точке
Наконец, из формул (9) и (10) находим требуемое изменение кинетической энергии
где Пример 8.2. Движение по баллистической траектории. Пусть достаточно малое тело массы Этот пример является частным случаем примера 8.1, поэтому выбор системы координат и предыдущие результаты остаются в силе. В частности, в рассматриваемом примере тело будет двигаться по отрезку эллиптической орбиты, пересекающей поверхность Земли в точках вылета и падения. Максимальная высота подъема тела над поверхностью Земли равна
где
Рис. 8.3 Используя эти соотношения, получим
Угол
Зная
отсюда определим дальность полета
Время полета получим, используя решение (8.10). Учитывая, что в этом решении приняты начальные условия (8.9), момент
где
где
(см. формулу (5) примера 8.1).
|
1 |
Оглавление
|