§ 8. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера

Исследуем движение точки массы в центрально-симметричном поле вида

с неподвижным центром силы; в случае гравитационного создаваемого неподвижной массой постоянная , а в случае электростатического поля, создаваемого неподвижным зарядом ее, постоянная , где — заряд движущейся точки, (см. (2.15), (2.9) и

Анализируя график (рис. 8.1) и принимая во внимание неравенство (7.9), убедимся, что в случае притяжения и положительной полной энергии гргпчп. в случае движение точки также будет происходить в неограниченной области (т. е. будет инфинитным); в случае и отрицательной энергии движение происходит в ограниченной области (т. е. движение финитно); если то точка движется по окружности; наконец, в случае отталкивания всегда а полная энергия положительна

Во всех указанных случаях траектория, или, как часто говорят, орбита точки, определяется одной формулой. Действительно, подставляя (8.1) в (7.8), получим

(кликните для просмотра скана)

(здесь знак «+» под радикалом соответствует случаю знак «-» случаю ). Вводя вместо постоянных положительные (по определению) постоянные

запишем последний интеграл в виде

Затем в результате интегрирования получим

Опуская знак перед углом ввиду четности косинуса, найдем уравнение орбиты

где знак соответствует случаю притяжения а знак случаю отталкивания

Уравнение (8.3) является уравнением кривой второго порядка, в фокусе которой находится начало координат; постоянная называется параметром орбиты, а постоянная — ее эксцентриситетом. Значение с зависит от выбора направления полярной оси в плоскости орбиты. Если полярную ось направить на ближайшую к центру силы точку траектории (см. выбор осей на рис. 8.1), то

Из аналитической геометрии известно, что траектории вида (8.3) представляют собой гиперболу (при параболу (при эллипс или окружность Принимая во внимание (8.2), получим, что в заданном потенциальном поле в случае притяжения траекторией точки будет

в случае отталкивания точка может двигаться только по гиперболе

Рассмотрим подробнее движение по эллиптической орбите, когда Из уравнения (8.3) следует, что

С помощью известных из аналитической геометрии формул для полуосей эллипса

и формул (8.2) а и b можно выразить через постоянные

Отсюда видно, что большая полуось эллипса зависит от полной энергии и не зависит от значения момента.

В частном случае круговой орбиты имеем

Очевидно, что при движении по окружности постоянна не только полная энергия, но и потенциальная и кинетическая энергия точки.

Закон движения точки по эллиптической траектории получим из интеграла (7.5). Учитывая, что , а также используя формулы (8.7), запишем (7.5) в виде

С помощью (8.6) убедимся, что и сведем интеграл к следующему:

Сделав подстановку

найдем

Выбирая параметр так, чтобы с его увеличением время возрастало, и принимая начальные условия

получим закон движения точки по эллиптической орбите в параметрическом виде

где — период полного оборота точки по эллипсу. Значение этого периода легко получить с помощью интеграла площадей, записав его в виде (см. (5.8))

где — площадь, очерчиваемая радиусом-вектором точки за врехмя Интегрируя это выражение по полному периоду и учитывая, что площадь эллипса равна найдем

Отсюда, используя (8.7), получим

Таким образом, период обращения по эллипсу зависит только от полной энергии (или от величины большой полуоси) и не зависит от момента (и от величины малой полуоси).

Уравнение орбиты (8.3), закон площадей (8.11) и соотношение периода и большой полуоси (8.12) являются математическим выражением трех законов Кеплера, установленных им эмпирически примерно в 1609-1619 гг. в результате обработки наблюдений над движением планет. В этих законах утверждалось, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (первый закон);

секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна (второй закон);

отношение квадратов периодов обращения планет к кубам больших полуосей их орбит постоянно и для всех планет одинаково (третий закон).

Заметим, что применительно к движению планет третий закон Кеплера верен приближенно (см. стр. 122). Тем не менее открытие законов Кеплера имело очень большое значение. В частности

на их основе Ньютоном был установлен закон всемирного тяготения: допуская, что движение тел в поле тяготения Земли также подчинено законам Кеплера, можно было на основании первого и второго законов утверждать, что величина ускорения тел вблизи поверхности Земли равна (см. пример 1.3)

где — радиус Земли. Кроме того, из третьего закона Кеплера (см. (8.12)) следовало, что квадрат периода обращения Луны вокруг Земли прямо пропорционален кубу радиуса а лунной (приблизительно круговой) орбиты, т. е.

Допуская, что постоянные С в последних двух выражениях имеют одинаковые значения, можно было найти следующую формулу для ускорения

Таким образом, ускорение тел вблизи поверхности Земли можно было вычислить как по данным наблюдений за Луной, так и по данным эксперимента, проведенного около земной поверхности. Совпадение этих двух результатов являлось одним из доказательств справедливости закона всемирного тяготения (2.15).

На основе закона всемирного тяготения (2.15) и уравнения движения (3.4) была создана количественная теория движения небесных тел относительно гелиоцентрической системы отсчета. Совпадение наблюдений и выводов этой теории доказало инерциальность гелиоцентрической системы Коперника—Бруно и ее преимущественность над геоцентрической системой Птолемея, что явилось крупным шагом в победе материалистического воззрения на вопросы мироздания.

В случае точка движется по параболе (см. рис. 8.1). Минимальное расстояние, на котором она проходит вблизи центра силы, равно

В этом положении скорость точки максимальна, а по мере удаления точки от иентра силы ее скорость стремится к нулю, поскольку при потенциальная энергия становится исчезающе малой и по условию

Закон движения точки по параболе легко получить в параметрическом виде из (7.5):

(здесь начальное условие выбрано аналогично (8.9)).

В случае движения по гиперболе под воздействием притягивающего центра имеем Орбитой при этом будет левая ветвь гиперболы (см. рис. 8.1) с минимальным расстоянием до центра силы, равным

Учитывая, что полуоси гиперболы связаны с параметром и эксцентриситетом гиперболы соотношениями

с помощью (8.2) находим

Закон движения точки по гиперболе в случае получим (аналогично (8.10)). в виде

(здесь начальные условия также аналогичны (8.9)).

Наконец, приведем формулы для случая движения точки по гиперболе под, действием отталкивающего центра

орбитой при этом будет правая ветвь гиперболы (см. рис. 8.1).

Пример 8.1. Изменение орбиты космического корабля.

Пусть в момент прекращения работы двигателя космический корабль массы находился на расстоянии от центра Земли и имел скорость направленную под углом к радиусу-вектору корабля (рис. 8.2). Определить элементы орбиты корабля в плоскости его движения, пренебрегая сопротивлением атмосферы, если напряженность поля тяготения на поверхности Земли равна а радиус Земли равен Насколько нужно изменить кинетическую

энергию корабля в перигее, чтобы он перешел на орбиту приземления, изображенную на рисунке штриховой линией (изменением массы корабля в результате достаточно кратковременной работы двигателя можно пренебречь)?

Учитывая лишь силу притяжения корабля Землей и принебрегая воздействием всех прочих тел, мы можем воспользоваться общим решением задачи о движении точки в центральном поле.

Рис. 8.2

Поместим начало системы координат в центр Земли, так как он является центром силы притяжения. Плоскость совместим с плоскостью орбиты, сохраняющей свою ориентацию относительно гелиоцентрической системы отсчета, а ось направим на ближайшую к центру Земли точку орбиты — перигей. Выбранную систему можно считать инерциальной для достаточно больших интервалов времени. Выразим постоянные входящие в общее решение задачи о движении точки в центральном поле, через постоянные, заданные в условии примера. Полагая, в частности, в (2.15), что , а массы соответственно равны массе корабля и массе Земли найдем

Тогда потенциальная энергия корабля-спутника (см. (8.1)) принимает вид

Полная энергия и момент импульса спутника в начальный момент времени соответственно равны

С помощью этих выражений на основе (8.4) можно убедиться, что траекторией рассматриваемого тела будет

где — первая космическая скорость, вторая космическая скорость.

Параметр и эксцентриситет орбиты, выраженные через начальные условия, находим, используя (8.2) и формулы (3) настоящего примера:

помощью (8.6) и (8.17) получим выражения полуосей, справедливые как в случае эллипса, так и в случае гиперболы:

Наконец, согласно (8.12), период полного оборота спутника по эллипсу равен

Если орбита спутника известна, то его положение в любой момент времени определяется законом (8.10). Величину скорости как функцию легко найти из интеграла энергии

Направление же скорости можно определить, отыскивая с помощью интегралов момента и энергии величины как функции

поскольку отношение этих функций дает как функцию .

Теперь найдем изменение кинетической энергии, при котором космический корабль перейдет на орбиту приземления. Так как

в перигее радиальная составляющая скорости корабля равна нулю, а расстояние до центра силы минимально, то из формулы (8) найдем

Эту скорость нужно изменить так, чтобы корабль стал двигаться по эллипсу, касающемуся поверхности Земли. Большая полуось новой орбиты при этом будет равна

Учитывая, что определяет полную энергию

которой корабль должен обладать при движении по заданной орбите приземления (см. первое из соотношений (8.7)), и пользуясь сохранением полной энергии корабля, движущегося по новой орбите, получаем значение кинетической энергии корабля на орбите приземления в точке

Наконец, из формул (9) и (10) находим требуемое изменение кинетической энергии

где определены формулами (4) настоящего примера.

Пример 8.2. Движение по баллистической траектории.

Пусть достаточно малое тело массы запускается с поверхности Земли со скоростью Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить максимальную высоту, дальность и время полета тела (под дальностью будем понимать длину дуги большого круга, которая по поверхности Земли соединяет точки вылета и падения, — см. рис. 8.3).

Этот пример является частным случаем примера 8.1, поэтому выбор системы координат и предыдущие результаты остаются в силе. В частности, в рассматриваемом примере тело будет

двигаться по отрезку эллиптической орбиты, пересекающей поверхность Земли в точках вылета и падения.

Максимальная высота подъема тела над поверхностью Земли равна

где определяется одной из формул (8.5), а значения параметра и эксцентриситета орбиты находятся с помощью формулы (4) примера 8.1:

Рис. 8.3

Используя эти соотношения, получим

Угол между осью и направлением на точку вылета находится из уравнения орбиты (8.3), в котором полагается равным

Зная получим угол между направлениями на точки вылета и падения

отсюда определим дальность полета

Время полета получим, используя решение (8.10). Учитывая, что в этом решении приняты начальные условия (8.9), момент начала движения тела с поверхности Земли и соответствующее значение параметра определим так:

где формулу (6) примера 8.1). Момент прохождения апогея, т. е. наиболее удаленной от центра Земли точки эллиптической орбиты, будет равен . Учитывая, что время полета точки от места запуска до апогея равно времени полета от апогея до места падения, для полного времени полета находим

где

(см. формулу (5) примера 8.1).