Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 48. Интегральный инвариант Пуанкаре — КартанаКак неоднократно отмечалось, важную роль в теоретической механике играют общие теоремы о сохранении и инвариантности различных величин. Большое значение имеет инвариант Пуанкаре — Картана. Чтобы убедиться в существовании этого инварианта, воспользуемся так называемой полной вариацией действия (45.8), когда варьируются не только начальное и конечное положения системы, но и начальный и конечный моменты времени. Используя определение (45.1), для полной вариации действия найдем выражение (ср. с (45.10))
где
здесь Найдем соотношения между вариациями функций
Рис. 48.1
Рис. 48.2 Нетрудно видеть, что вариация начального положения
аналогично вариация конечного положения равна
(из выражений (48.3) и (48.4) следует, что полное варьирование, связанное с изменением как вида функции, так и ее аргумента, не коммутативно с операцией дифференцирования по времени). Наконец, используя определение функции Гамильтона (42.1), а также соотношения (48.3) и (48.4) для каждой координаты
где Теперь введем понятие о «расширенном» фазовом пространстве, по координатным осям которого «откладываются» величины систем с начальными состояниями
где значениям
Вычислим действие 5 на фазовой траектории, которая проходит через соответствующие определенному значению параметра а точки контуров
Интегрируя полную вариацию функции
поскольку
где в подынтегральные выражения подставлены функции (48.7) и (48.6) соответственно, а контурными интегралами обозначены интегралы по переменной а в пределах от 0 до Подчеркнем, что при выводе свойства (48.9) было использовано выражение вариации обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями величина интеграла
не зависит от выбора замкнутого контура, охватывающего данную трубку фазовых действительных траекторий в Справедливо и обратное утверждение: пусть движение системы подчиняется уравнениям вида
(в этом случае движение однозначно определяется по начальным условиям), а интеграл Пуанкаре—Картана является инвариантом относительно выбора замкнутого контура, охватывающего любую данную трубку действительных фазовых траекторий в пространстве С помощью дополнительного к системе (48.11) уравнения
(здесь у — произвольная функция от
Выберем из этого общего решения только те частные решения, которые соответствуют фазовым траекториям, проходящим через точки данного (произвольно выбранного) контура
Здесь определенному значению а соответствует определенная фазовая траектория (значениям Подставляя (48.14) в интеграл (48.10), запишем условие инвариантности этого интеграла в виде
где символом
Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру
и, следовательно,
Аналогично получим
Подставляя (48.18) и (48.19) в (48.16), найдем
а отсюда, используя вариацию
(следует иметь в виду, что от а зависят все аргументы функции Н, см. (48.14)). Это условие инвариантности интеграла Пуанкаре—Картана с учетом (48.11) и (48.12) принимает форму
Ввиду произвольности функции у, т. е. произвольности контура, охватывающего данную трубку действительных траекторий, подынтегральное выражение в (48.22) должно равняться нулю, а ввиду произвольного выбора, этих трубок (см. (48.14)) коэффициенты при всех
и, следовательно, уравнения (48.11) будут каноническими уравнениями Гамильтона. Таким образом, инвариантность интеграла Пуанкаре — Картана является необходимым и достаточным условием того, чтобы механическая система подчинялась каноническим уравнениям Гамильтона (42.15), т. е. была гамильтоновой системой. Если в равенстве (48.9) интегрирование произвести по контурам
контуры
взятый по контуру
Интеграл Пуанкаре является, как говорят, универсальным инвариантом, поскольку в вышеуказанном смысле он сохраняет постоянное значение для любой гамильтоновой системы. В заключение рассмотрим важную теорему об единственности интегрального инварианта Пуанкаре, согласно которой любой универсальный интегральный инвариант вида
отличается от интеграла Пуанкаре лишь постоянным множителем. Полагая для простоты
Здесь в подынтегральное выражение вместо
куда в свою очередь вместо начальных условий
где параметр а изменяется в пределах Заменяя порядок дифференцирования по времени и интегрирования по а, а также порядок дифференцирования по
Интегрируя здесь по частям второй и четвертый члены, найдем
Наконец, используя выражения полных производных и вариаций от А и В как функций
где
Поскольку контур интегрирования в (48.31) произволен, то подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом относительно переменных
Отсюда, используя уравнения Гамильтона (42.15), найдем
Это требование ввиду универсальности исходного инварианта должно удовлетворяться при любом Н. Поэтому все частные производные функции
Из этого условия вытекает существование такой функции
Интегрируя обе части этого равенства по замкнутому контуру, окончательно найдем, что исходный инвариант равен
где
|
1 |
Оглавление
|