§ 48. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

Как неоднократно отмечалось, важную роль в теоретической механике играют общие теоремы о сохранении и инвариантности различных величин. Большое значение имеет инвариант Пуанкаре — Картана.

Чтобы убедиться в существовании этого инварианта, воспользуемся так называемой полной вариацией действия (45.8), когда варьируются не только начальное и конечное положения системы, но и начальный и конечный моменты времени. Используя определение (45.1), для полной вариации действия найдем выражение (ср. с (45.10))

где — значение функции в момент — значение в момент — вариации конечного и начального моментов времени. Повторяя вычисления, данные на стр. 399—400, и учитывая, что между измененными положениями система движется по действительным траекториям в соответствии с уравнениями Гамильтона (42.15) или уравнениями Лагранжа (42.14), вместо (45.15) получим полную вариацию

здесь — импульсы в моменты времени соответственно, являются вариациями функций в моменты времени (еще раз подчеркнем, что эти вариации связаны только с изменением вида функций и в отличие от полных вариаций берутся при фиксированном времени

Найдем соотношения между вариациями функций и вариациями начального и конечного положений и

причем для простоты ограничимся случаем системы с одной степенью свободы (см. рис. 48.1, на котором изображены две «траектории» системы в пространстве одна из этих «траекторий» проходит через «точку» , а вторая — через

Рис. 48.1

Рис. 48.2

Нетрудно видеть, что вариация начального положения с точностью до бесконечно малых высшего порядка слагается из вариации взятой в момент времени и члена т. е.

аналогично вариация конечного положения равна

(из выражений (48.3) и (48.4) следует, что полное варьирование, связанное с изменением как вида функции, так и ее аргумента, не коммутативно с операцией дифференцирования по времени). Наконец, используя определение функции Гамильтона (42.1), а также соотношения (48.3) и (48.4) для каждой координаты из (48.2) найдем полную вариацию действия

где — значения гамильтониана Н в моменты времени соответственно.

Теперь введем понятие о «расширенном» фазовом пространстве, по координатным осям которого «откладываются» величины и выберем ансамбль механических

систем с начальными состояниями образующими в указанном пространстве некоторый замкнутый контур этот контур зададим с помощью функций

где значениям соответствует одна и та же «точка» контура (см. рис. 48.2, выполненный для случая Через каждую «точку» контура проходит единственная действительная «траектория» системы, а совокупность этих «траекторий» образует «трубку». Каждой образующей этой трубки соответствует определенное значение а (только одной образующей соответствуют значения ). Выберем на данной трубке замкнутый контур так, чтобы каждая образующая трубки проходила только через одну точку контура контур также можно задать с помощью функций

Вычислим действие 5 на фазовой траектории, которая проходит через соответствующие определенному значению параметра а точки контуров Ввиду (48.6) и (48.7) это значение действия зависит от параметра а:

Интегрируя полную вариацию функции , найдем

поскольку Используя (48.5), равенство (48.8) можно записать в виде

где в подынтегральные выражения подставлены функции (48.7) и (48.6) соответственно, а контурными интегралами обозначены интегралы по переменной а в пределах от 0 до

Подчеркнем, что при выводе свойства (48.9) было использовано выражение вариации справедливое для систем, движение которых подчинено уравнениям (42.14) или (42.15). Поэтому можно утверждать, что для механической системы с

обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями величина интеграла

не зависит от выбора замкнутого контура, охватывающего данную трубку фазовых действительных траекторий в -мерном пространстве (лишь бы каждая фазовая траектория данной трубки проходила только через одну точку контура). Интеграл (48.10) называется интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана (или основным интегральным инвариантом механики) (см. [12], гл. I; [23], гл. III).

Справедливо и обратное утверждение: пусть движение системы подчиняется уравнениям вида

(в этом случае движение однозначно определяется по начальным условиям), а интеграл Пуанкаре—Картана является инвариантом относительно выбора замкнутого контура, охватывающего любую данную трубку действительных фазовых траекторий в пространстве тогда уравнения (48.11) будут каноническими уравнениями Гамильтона с функцией Н, входящей в интеграл Пуанкаре—Картана.

С помощью дополнительного к системе (48.11) уравнения

(здесь у — произвольная функция от и введем вспомогательный параметр . Проинтегрировав систему уравнений (48.11) и (48.12), найдем ее общее решение

Выберем из этого общего решения только те частные решения, которые соответствуют фазовым траекториям, проходящим через точки данного (произвольно выбранного) контура Задавая контур уравнениями (48.6) и подставляя (48.6) в (48.13), найдем уравнения действительных траекторий, проходящих через точки контура

Здесь определенному значению а соответствует определенная фазовая траектория (значениям соответствует одна траектория), а определенному значению соответствует определенная точка каждой траектории и замкнутый контур, составленный из таких точек.

Подставляя (48.14) в интеграл (48.10), запишем условие инвариантности этого интеграла в виде

где символом обозначено бесконечно малое приращение, связанное с изменением а символом — приращение, связанное с изменением а. Поскольку параметры и а независимы, то операции и коммутативны. Используя это свойство, из (48.15) получим

Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру является интегралом по а в пределах от 0 до а значения подынтегральной функции при совпадают, найдем, что

и, следовательно,

Аналогично получим

Подставляя (48.18) и (48.19) в (48.16), найдем

а отсюда, используя вариацию получим

(следует иметь в виду, что от а зависят все аргументы функции Н, см. (48.14)). Это условие инвариантности интеграла Пуанкаре—Картана с учетом (48.11) и (48.12) принимает форму

Ввиду произвольности функции у, т. е. произвольности контура, охватывающего данную трубку действительных траекторий, подынтегральное выражение в (48.22) должно равняться нулю, а ввиду произвольного выбора, этих трубок (см. (48.14)) коэффициенты при всех также должны быть равны нулю, т. е.

и, следовательно, уравнения (48.11) будут каноническими уравнениями Гамильтона.

Таким образом, инвариантность интеграла Пуанкаре — Картана является необходимым и достаточным условием того, чтобы механическая система подчинялась каноническим уравнениям Гамильтона (42.15), т. е. была гамильтоновой системой.

Если в равенстве (48.9) интегрирование произвести по контурам все точки которых будут представлять состояния системы в фиксированные моменты времени соответственно, то вместо (48.9) получим

контуры можно задать с помощью функций (48.7) и (48.6) с фиксированными Интеграл

взятый по контуру точки которого представляют собой различные состояния системы в один и тот же момент времени называется интегралом Пуанкаре. Утверждение (48.24) удобнее интерпретировать в -мерном фазовом пространстве

в котором «точки» данного контура через интервал времени занимают соответствующее положение на контуре На основании (48.24) можно утверждать, что для механической системы с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями значение интеграла Пуанкаре, взятого по произвольному замкнутому контуру в пространстве с течением времени сохраняется.

Интеграл Пуанкаре является, как говорят, универсальным инвариантом, поскольку в вышеуказанном смысле он сохраняет постоянное значение для любой гамильтоновой системы.

В заключение рассмотрим важную теорему об единственности интегрального инварианта Пуанкаре, согласно которой любой универсальный интегральный инвариант вида

отличается от интеграла Пуанкаре лишь постоянным множителем. Полагая для простоты запишем условие сохранения в виде

Здесь в подынтегральное выражение вместо следует подставить решение канонических уравнений (42.15)

куда в свою очередь вместо начальных условий нужно подставить функции, определяющие произвольный замкнутый контур в момент времени , т. е. функции

где параметр а изменяется в пределах , а его значениям соответствует одна и та же точка контура .

Заменяя порядок дифференцирования по времени и интегрирования по а, а также порядок дифференцирования по , из (48.26) получим

Интегрируя здесь по частям второй и четвертый члены, найдем

Наконец, используя выражения полных производных и вариаций от А и В как функций получим условие сохранения в виде

где

Поскольку контур интегрирования в (48.31) произволен, то подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом относительно переменных и т. е.

Отсюда, используя уравнения Гамильтона (42.15), найдем

Это требование ввиду универсальности исходного инварианта должно удовлетворяться при любом Н. Поэтому все частные производные функции будут равны нулю, а сама функция будет равна постоянной: Таким образом,

Из этого условия вытекает существование такой функции вариация которой равна

Интегрируя обе части этого равенства по замкнутому контуру, окончательно найдем, что исходный инвариант равен

где — инвариант Пуанкаре.