§ 62. Магнитогидродинамика идеальной жидкости

Рассмотрим движение электропроводящей идеальной жидкости, на которую действует внешнее магнитное поле. Электрические токи, возникающие в такой жидкости, обусловливают механическое воздействие на жидкость со стороны магнитного поля и кроме того изменяют само магнитное поле. Для описания этих процессов следует использовать систему уравнений идеальной жидкости совместно с уравнениями Максвелла (см., например, [38]).

Ограничимся случаем, когда частота колебания напряженностей полей сравнительно мала, а электропроводность среды к весьма велика и постоянна, т. е. тем случаем, когда диэлектрическая постоянная среды). Тогда можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости Ввиду большой электропроводности можно также пренебречь конвекционным током, поскольку он связан с движением (вместе со средой) свободных объемных зарядов, которые рассасываются тем быстрее, чем выше электропроводность. Кроме того будем рассматривать среду с магнитной проницаемостью так как для всех проводящих жидкостей и газов Если все перечисленные допущения выполняются, то из уравнений Максвелла следует система

(здесь с — скорость света в вакууме).

Эту систему можно свести к уравнениям, содержащим только напряженность Н магнитного поля. Действительно, исключая из (62.1) с помощью (62.4) напряженность Е электрического поля получим

откуда с помощью (62.2) исключим Тогда найдем, что напряженность магнитного поля подчинена уравнению

которое следует решать совместно с (62.3). Наконец, имея в виду, что электропроводность среды весьма велика и, следовательно, члены пропорциональные весьма малы, получим исходные для рассматриваемого случая уравнения электромагнитного поля:

Эту систему следует решать совместно с уравнениями (56.3) — (56.6) для гидродинамических полей идеальной жидкости. Учитывая, что сила Лоренца действующая на ток со стороны магнитного поля, равна

(здесь использовано уравнение (62.2)), запишем уравнения в виде

где термодинамические уравнения состояния считаются известными (в уравнении (62.11) опущен член пропорциональный малой величине и равный выделяемому джоулеву теплу). Итак, уравнения (62.6), (62.7), (62.9) — (62.12) представляют собой систему уравнений магнитогидродинамики идеальной жидкости.

Теперь убедимся, что рассматриваемая бесконечнопроводящая среда обладает важным свойством, заключающимся в том, что поток магнитной напряженности через данный материальный контур не изменяется со временем и, следовательно, магнитные силовые линии «вморожены» в среду и движутся вместе с ней.

Действительно, из (62.4) видно, что в рассматриваемом случае ток проводимости создается напряженностью

Следовательно, электродвижущая сила, возникающая в данном замкнутом материальном контуре такой среды, будет равна интегралу

где интегрирование определяется аналогично интегрированию в (57.16). Согласно закону Фарадея электродвижущая сила определяется изменением потока магнитной индукции через поверхность, опирающуюся на проводящий контур, т. е.

где поток магнитной индукции поскольку Подставляя (62.13) в правую часть закона (62.14) и используя теорему Стокса, получим

Наконец, используя уравнение Максвелла (62.1), найдем, что

Отсюда сразу видно, что в бесконечно проводящей среде, где имеет место (62.6), поток магнитной напряженности через данный материальный контур сохраняется. Следовательно, силовые линии магнитного поля движутся вместе с находящимися на этих линиях частицами жидкости. Поэтому говорят, что силовые линии «приклеены» к жидкости или «вморожены» в нее.

Пример 62.1. Магнитогидродинамические волны в несжимаемой идеальной жидкости.

Несжимаемая идеальная жидкость плотности помещена во внешнее постоянное однородное магнитное поле напряженности Найти закон дисперсии магнитогидродинамических волн, соотношения между возмущениями магнитного поля, скорости и давления, а также независимые направления поляризации волн.

Поскольку плотность жидкости неизменна, уравнения магнитогидродинамики (62.6) — (62.12) существенно упрощаются и принимают вид

Линеаризуем эту систему, полагая, что

где

а также считая малой величиной. Тогда

Теперь преобразуем (5) и (6), используя формулы векторного анализа, справедливые для двух произвольных векторов:

Полагая здесь и учитывая уравнения (7), найдем, что

и тем самым вместо (5) и (6) придем к системе уравнений

которые следует решать совместно с условиями (7).

Будем искать решение системы (7), (10), (11) в виде плоских волн

с волновым вектором к и частотой со. Подставляя (12) в (7), (10) и (11), получим

Из (13) и (14) следует, что возмущение магнитного поля и скорость частиц среды перпендикулярны волновому вектору k, а коллинеарно Что касается соотношения (15), то умножая, его скалярно на к и используя (13), найдем

т. е. соотношение между возмущениями давления и магнитного поля. Затем, учитывая (16), из (14) и (15) получим систему

с характеристическим уравнением

Наконец, исключая из (14) частоту со с помощью (18), найдем два возможных соотношения между скоростью и возмущением магнитного поля

Полученное решение описывает поперечные плоские волны магнитной напряженности и скорости а также волну давления с законом дисперсии, вытекающим из (18):

Этот закон определяет групповую скорость (см. (60.33))

направленную вдоль т. е. по невозмущенным силовым линиям. Рассматриваемые волны называются магнитогидродинамическими волнами (или волнами Альфвена).

Теперь определим независимые направления поляризации магнитогидродинамических волн. Для этого направим ось вдоль заданного вектора к, а плоскость совместим с плоскостью, определяемой векторами к и Тогда условия (13) поперечности и сведутся к требованиям

а

(здесь — проекция волнового вектора на ось Таким образом, система (17) сводится к следующим двум системам уравнений

где - фазовая скорость волн Альфвена.

Из систем (23) и (24) ясно, что возмущения распространяются независимо от возмущений Ну и Следовательно, существуют два независимых направления поляризации: вдоль оси х и вдоль оси у, т. е. в плоскости векторов и к и перпендикулярно к ней.

При указанном выборе системы координат возмущение давления определяется формулой

Отсюда видно, что возмущение связано только с составляющими напряженностей вдоль одного из направлений поляризации, лежащего в плоскости векторов .