Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 62. Магнитогидродинамика идеальной жидкостиРассмотрим движение электропроводящей идеальной жидкости, на которую действует внешнее магнитное поле. Электрические токи, возникающие в такой жидкости, обусловливают механическое воздействие на жидкость со стороны магнитного поля и кроме того изменяют само магнитное поле. Для описания этих процессов следует использовать систему уравнений идеальной жидкости совместно с уравнениями Максвелла (см., например, [38]). Ограничимся случаем, когда частота
(здесь с — скорость света в вакууме). Эту систему можно свести к уравнениям, содержащим только напряженность Н магнитного поля. Действительно, исключая из (62.1) с помощью (62.4) напряженность Е электрического поля получим
откуда с помощью (62.2) исключим
которое следует решать совместно с (62.3). Наконец, имея в виду, что электропроводность среды весьма велика и, следовательно, члены пропорциональные
Эту систему следует решать совместно с уравнениями (56.3) — (56.6) для гидродинамических полей идеальной жидкости. Учитывая, что сила Лоренца
(здесь использовано уравнение (62.2)), запишем уравнения
где термодинамические уравнения состояния считаются известными (в уравнении (62.11) опущен член Теперь убедимся, что рассматриваемая бесконечнопроводящая среда обладает важным свойством, заключающимся в том, что поток магнитной напряженности через данный материальный контур не изменяется со временем и, следовательно, магнитные силовые линии «вморожены» в среду и движутся вместе с ней. Действительно, из (62.4) видно, что в рассматриваемом случае ток проводимости создается напряженностью
Следовательно, электродвижущая сила, возникающая в данном замкнутом материальном контуре такой среды, будет равна интегралу
где интегрирование определяется аналогично интегрированию в (57.16). Согласно закону Фарадея электродвижущая сила определяется изменением потока магнитной индукции через поверхность, опирающуюся на проводящий контур, т. е.
где поток магнитной индукции
Наконец, используя уравнение Максвелла (62.1), найдем, что
Отсюда сразу видно, что в бесконечно проводящей среде, где имеет место (62.6), поток магнитной напряженности через данный материальный контур сохраняется. Следовательно, силовые линии магнитного поля движутся вместе с находящимися на этих линиях частицами жидкости. Поэтому говорят, что силовые линии «приклеены» к жидкости или «вморожены» в нее. Пример 62.1. Магнитогидродинамические волны в несжимаемой идеальной жидкости. Несжимаемая идеальная жидкость плотности Поскольку плотность жидкости неизменна, уравнения магнитогидродинамики (62.6) — (62.12) существенно упрощаются и принимают вид
Линеаризуем эту систему, полагая, что
где
а также считая
Теперь преобразуем (5) и (6), используя формулы векторного анализа, справедливые для двух произвольных векторов:
Полагая здесь
и тем самым вместо (5) и (6) придем к системе уравнений
которые следует решать совместно с условиями (7). Будем искать решение системы (7), (10), (11) в виде плоских волн
с волновым вектором к и частотой со. Подставляя (12) в (7), (10) и (11), получим
Из (13) и (14) следует, что возмущение
т. е. соотношение между возмущениями давления и магнитного поля. Затем, учитывая (16), из (14) и (15) получим систему
с характеристическим уравнением
Наконец, исключая из (14) частоту со с помощью (18), найдем два возможных соотношения между скоростью и возмущением магнитного поля
Полученное решение описывает поперечные плоские волны магнитной напряженности
Этот закон определяет групповую скорость (см. (60.33))
направленную вдоль Теперь определим независимые направления поляризации магнитогидродинамических волн. Для этого направим ось
а
(здесь
где Из систем (23) и (24) ясно, что возмущения При указанном выборе системы координат возмущение давления определяется формулой
Отсюда видно, что возмущение
|
1 |
Оглавление
|