§ 66. Магнитогидродинамика вязкой жидкости

Рассмотрим уравнения движения вязкой проводящей жидкости, предполагая, что выполнены условия, сформулированные в начале § 62. Допустим также, что электропроводность жидкости достаточно велика, но конечна, а плотность жидкости постоянна. Тогда движение жидкости может быть описано уравнениями (62.5), (62.7), (64.6) и (64.7) (в последнем уравнении объемная сила в этом случае является силой Лоренца, равной (62.8)).

Преобразуем (62.5), используя соотношения (см. формулу (8) примера 62.1)

(здесь учтено, что . Тогда вместо (62.5) и (62.7) получим систему

Затем преобразуем силу Лоренца из уравнения (64.7) с помощью соотношения (см. формулу (9) примера 62.1)

В результате получим гидродинамические уравнения в виде

С помощью системы уравнений (66.1) — (66.4) можно описать лзменение гидродинамических полей и магнитного поля в несжимаемой вязкой достаточно проводящей жидкости.

Пример 66.1. Стационарное течение несжимаемой вязкой проводящей жидкости между параллельными плоскостями в однородном постоянном магнитном поле.

Пусть напряженность внешнего магнитного поля перпендикулярна неподвижным параллельным плоскостям, расстояние между которыми равно пусть также вдоль некоторого направления, параллельного плоскостям, задан постоянный перепад давления на единицу длины. Учитывая, что при стационарном течении скорость жидкости направлена вдоль перепада давления, выберем систему координат с осью х, направленной вдоль

скорости, и осью у — вдоль вектора (начало координат поместим посредине между плоскостями).

Очевидно, что скорость потока зависит только от координаты у и посередине потока больше, чем у стенок; это приводит к растяжению силовых линий в направлении движения и появлению составляющей напряженности магнитного поля. В соответствии с этими качественными соображениями будем искать решение в виде:

Используя (1), из уравнений (66.1) — (66.4) получим

Уравнение (4) сразу приводит к интегралу

который связывает давление и возмущение магнитного поля.

Теперь упростим (2) и (3), имея в виду форму решения (1) и постоянство градиента давления вдоль оси

где — перепад давления на единицу длины (вдоль течения).

Нетрудно проверить, что решением этой системы, удовлетворяющим граничным условиям

являются функции

где

Влияние магнитного поля на характер движения жидкости характеризуется значением параметра При (т. е. при небольших значениях напряженности магнитного поля) из формулы (6) получим предельный случай, который был рассмотрен в примере 64.2. Если же велико, т. е. то из (6) и (7) следует

Сопоставляя формулы (8) настоящего примера и (3) примера 64.2 при убедимся в том, что отношение максимальной скорости течения при включенном магнитном поле большой напряженности к максимальной скорости в отсутствие магнитного поля равно Таким образом, включение магнитного поля уменьшает максимальную скорость течения (в связи с этим и средняя скорость течения становится меньше).