Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ XIIIК статистической теории стационарного кристалла. Изучение ряда методов, изложенных в этой книге, показывает плодотворность метода усреднения в классической механике (см., например, теорему о вириале сил, а также метод Крылова — Боголюбова, который является по существу методом усреднения). Что касается основных уравнений механики сплошных сред, то (как было отмечено в § 52) их теоретическое обоснование можно осуществить лишь статистическим методом. Изложим кратко основы такого метода для случая равновесных систем и в качестве примера рассмотрим вопрос об определении, кристаллической структуры на основе статистико-механических представлений. Основой метода является закон сохранения фазового объема (43.12) и уравнение (44.17) для плотности вероятности (36, гл. 1]. В стационарном случае
где
гамильтониан изучаемой системы, состоящей из молекул — материальных точек с энергией взаимодействия взаимодействия
которое соответствует определению (44.16) плотности вероятности и означает, что изучаемая система наверняка находится в заданном фазовом пространстве Система (1) — (2) имеет решение, описывающее макроскопическую систему, находящуюся в равновесии с термостатом, т. е. с другой механической системой, имеющей значительно большее число степеней свободы по сравнению с изучаемой системой. Такое решение называется каноническим распределением Гиббса и имеет вид
где
Вычисляя интеграл от
где постоянная С определяется
(здесь Зная функцию
и следовательно,
причем также, как и Найдем уравнения для функций
где через
Поскольку интегрирование здесь ведется по координатам молекул, начиная с
где
Ввиду симметрии
Теперь, учитывая (11), (12) и определение
где Однако для макросистем число остается конечной величиной. С учетом сказанного из (13) приходим к уравнениям для функций распределения
Система (14) является системой «зацепляющихся» интегродифференциальных уравнений, поскольку уравнение
а также условиям ослабления корреляции
если все расстояния
Рис. 69.1 Известны некоторые приближенные решения «цепочки» (14), которые были получены с помощью разложения функций Пусть молекулы кристалла взаимодействуют по закону Леннарда — Джонса (см. рис. 69.1)
где Исходя из представления о кристалле, как о совокупности частиц, находящихся при
Отсюда очевидна возможность решения (14) с помощью разложения в ряд по параметру
Подстановка (19) в (14)-(16) приводит к уравнениям последовательных приближений, причем уравнение нулевого приближения при
где
В соответствии с качественным представлением о кристаллической структуре будем искать решение этой системы в виде суммы «произведений» дельта-функций Дирака
где
причем
если область интегрирования включает в себя точку особенности Итак, будем искать решение системы (20)-(23) в виде шестимерных
где
где
где
и поскольку Таким образом, функция
где Далее ограничимся изучением решетки, находящейся под равномерным давлением, и рассмотрим такие матрицы
где а — постоянная решетки. Для этих решеток объем
Итак, решением уравнения (20) с условием (22) является бинарная функция
где компоненты
Наконец, используя (23) и (32), получим унарную функцию
с постоянной решетки Бинарная функция (32) дает возможность получить в нулевом приближении термодинамические функции. Например, получим среднюю потенциальную энергию
В силу симметрии
Отсюда, имея в виду, что
Подставляя (32) в (36) и учитывая (24), получим среднюю потенциальную энергию в нулевом приближении
(здесь в качестве молекулы 1 может быть взята любая молекула). Сопоставляя значения соответственно равно 6, 8 и 12. Учитывая это, из (37) в расчете на одну молекулу получим для ПКР, ОЦКР и ГЦКР соответственно
где
Отсюда видно, что
|
1 |
Оглавление
|