§ 10. Законы изменения и сохранения кинетического момента системы

Умножая каждое из уравнений движения (3.5) векторно слева на — радиус-вектор соответствующей точки и учитывая (9.10), получим уравнение, определяющее изменение момента импульса -той точки,

где — момент внутренней силы, действующей на -тую точку, — момент внешней силы, действующей на -тую точку.

Суммируя (10.1) по всем точкам, находим

где кинетический момент системы, равный сумме моментов импульсов всех точек системы. Учтем далее, что силы взаимодействия между каждой парой точек согласно третьему закону Ньютона равны по величине, противоположны по направлению и расположены на прямой, соединяющей взаимодействующие точки. С этой целью запишем момент внутренних сил в виде суммы моментов сил по всем парам взаимодействующих точек

Каждый член последней суммы в силу (3.6) равняется нулю в любой системе отсчета (см. рис. 3.3), т. е.

так как вектор коллинеарен вектору

Учитывая (10.4) и (10.3), из (10.2) найдем, что производная кинетического момента системы по времени равна сумме моментов внешних сил, действующих на точки системы (закон изменения кинетического момента системы):

где

Из (10.5) вытекает (сравнение с (5.8)): если проекция суммы моментов внешних сил на некоторую неподвижную ось для любого момента времени равна нулю, то проекция кинетического момента системы на ту же ось сохраняется; например, если

то

Учитывая определение секторной скорости (1.11), интеграл (10.6) можно представить в виде интеграла площадей

из которого следует сохранение суммы произведений масс точек на площади, описываемые за любые одинаковые интервалы времени проекциями радиусов-векторов этих точек на плоскость (См. рис. 10.1, на котором изображены проекции площадей, описываемых радиусами-векторами двух точек за интервал времени если для системы двух точек , то сумма произведений масс точек на соответствующие площади сохранится и для любого другого интервала времени, равного .)

Рис. 10.1

В случае замкнутой системы все силы и поэтому

т. е. будет иметь место (см. (10.5)) закон сохранения кинетического момента замкнутой системы:

Таким образом, момент замкнутой системы не может изменяться под действием внутренних сил, поскольку они подчинены третьему закону Ньютона. Однако ориентация такой системы под действием внутренних сил может изменяться. Действительно, под воздействием внутренних сил может произойти перемещение некоторых точек системы и изменение их скоростей. При этом другие точки системы также переместятся и изменят скорости, т. е. произойдет переориентация системы. Вместе с тем момент всей системы останется неизменным.

В случае незамкнутых систем внутренние силы, вообще говоря, могут влиять на изменение кинетического момента, если сумма моментов внешних сил зависит от положений и скоростей точек системы (причина этого уже была выяснена при рассмотрении закона изменения импульса на стр. 100).

Пример 10.1. Изменение моментов импульсов точек замкнутых систем.

Рассмотрим две замкнутые системы, каждая из которых состоит из 3 взаимодействующих точек. Внутренними силами первой системы являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между взаимодействующими точками и произведению масс этих точек (коэффициент пропорциональности ). Точки второй системы взаимодействуют по закону всемирного тяготения. Сравним изменения моментов импульсов точек обеих систем.

Так как обе системы замкнутые, то их кинетические моменты сохраняются относительно любой инерциальной системы отсчета. Выбирая инерциальные системы с началами в центрах масс рассматриваемых механических систем, для каждой из них получим

Изменение момента импульса -той точки определяется моментом внутренних сил согласно уравнению (10.1)

где сила, с которой -тая точка действует на -тую точку. Для первой системы

где — вектор, направленный от -той точки к -той точке, — массы этих точек; для второй системы, согласно (2.15),

Используя (3), найдем момент сил, действующих на -тую точку первой системы:

Учитывая, что начало отсчета помещено в центр масс согласно (9.1) получаем

и, таким образом, для точек первой системы

Следовательно, сохраняется не только кинетический момент всей системы, но и момент импульса каждой точки:

Отсюда вытекает, что точки первой системы при любых начальных условиях движутся каждая в своей плоскости постоянной ориентации.

В системе гравитирующих точек момент сил, действующих на -тую точку, отличен от нуля:

Следовательно, моменты импульсов точек не сохраняются, а при произвольных начальных условиях изменяются как по величине, так и по направлению. Последнее означает, что движение гравитирующих масс при вообще говоря, неплоское. Например,

момент каждой планеты солнечной системы изменяется. Но поскольку масса Солнца значительно больше массы любой планеты, то воздействие планет друг на друга весьма мало по сравнению с воздействием Солнца на планеты. Поэтому в любой момент времени картину движения можно представить так: каждая планета движется по определенному эллипсу только под воздействием Солнца, а влияние всех прочих планет сводится к медленному изменению характеристик этого эллипса. Величины параметров, эксцентриситетов и наклонений орбит различных планет взаимосвязаны между собой, и эту взаимосвязь дает закон сохранения кинетического момента всей системы.