§ 64. Уравнение Навье—Стокса

Уравнения движения вязкой жидкости несколько упрощаются, если коэффициенты вязкости можно считать постоянными для данной жидкости величинами. Действительно, в этом случае (см. (63.4))

причем входящие сюда суммы вторых производных можно записать в форме

Таким образом, уравнения (63.5) приводят к уравнению Навье — Стокса:

Если жидкость можно считать несжимаемой, то в силу уравнения непрерывности , следовательно, тензор (см. (63.3)), а тензор напряжений (63.4) и диссипативная функция (63.10) преобразуются соответственно к виду

Поэтому системой уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости является следующая замкнутая относительно неизвестных и система

где удельная вязкость часто называют кинематическим коэффициентом вязкости, а первый коэффициент вязкости динамическим коэффициентом вязкости). Если система (64.6) — (64.7) решена, т. е. поля давления и скорости найдены, поле температуры может быть определено с помощью уравнений (63.12) и (63.13) совместно с (63.15) и (63.16).

Граничным условием к уравнениям движения вязкой жидкости является условие обращения в нуль скорости среды на неподвижной твердой поверхности

Это условие, связанное с представлением о молекулярном взаимодействии между молекулами среды и поверхности, подтверждается на опыте в довольно большом интервале плотностей и температур. Заметим, что на движущейся твердой поверхности скорость среды

должна равняться скорости соответствующего элемента поверхности:

(здесь — радиус-вектор элемента поверхности).

Часто приходится вычислять силу, действующую на неподвижную твердую поверхность со стороны жидкости. В связи с этим получим выражение для силы, действующей на элемент поверхности. Эта сила должна равняться потоку импульса через элемент Поэтому найдем тензор плотности потока импульса для вязкой жидкости. Для этого рассмотрим уравнение (55.17) с тензором напряжений (63.1) и представим это уравнение в виде (58.4). Тогда

Отсюда, учитывая граничное условие (64.8), найдем силу действующую со стороны вязкой жидкости на элемент неподвижной твердой поверхности:

(напомним, что орт направлен по нормали, внешней к поверхности твердого тела, т. е. внутрь жидкости).

Теперь рассмотрим вопрос о подобии стационарных течений несжимаемой вязкой жидкости в отсутствие заданных сил. Определим понятие подобия, для чего рассмотрим два различных стационарных потока. Если каждой точке пространства в случае одного потока можно поставить в соответствие точку пространства в случае другого потока с помощью преобразования

где постоянная одинакова для всех точек сравниваемых пространственных областей, и при этом окажется, что любая величина характеризующая первый поток и взятая в любой точке связана с соответствующей величиной характеризующей второй поток и взятой в точке соотношением

с постоянной то такие стационарные течения называются подобными, а постоянные называются коэффициентами подобия.

Чтобы выяснить интересующий нас критерий подобия, представим уравнение Навье—Стокса (64.7) в безразмерной форме. Для этого зададим постоянные величины, характеризующие течение несжимаемой вязкой жидкости, а именно: удельную вязкость

размер неоднородности и скорость потока (например, в случае обтекания шара I и будут соответственно равны радиусу шара и скорости потока на бесконечности). Тогда, вводя безразмерные функции и операторы

из (64.7) для стационарных течений при найдем

где

— число Рейнольдса (это единственная безразмерная комбинация размерных величин характеризующих течение). Из уравнения (64.15) следует закон подобия Рейнольдса, согласно которому два стационарных потока несжимаемой вязкой жидкости, обтекающие геометрически подобные тела в отсутствие заданных сил, являются подобными, если оба потока характеризуются одним и тем же числом Рейнольдса. Действительно, если числа и граничные условия для обоих течений одинаковы, то решениями уравнения (64.15) в этих двух случаях будут одни и те же функции вида

Отсюда с учетом (64.14) для скоростей и радиусов-векторов двух потоков, удовлетворяющих закону Рейнольдса, получим выражения

которые указывают на подобие течений.

Решение уравнения Навье—Стокса в виде (64.17) позволяет прийти и к другим практически важным заключениям. Например подставляя (64.17) в (64.11), учитывая (64.14) и интегрируя по поверхности тела, найдем, что сила, действующая на тело со стороны обтекающего его потока, должна иметь вид

где — «эффективная» площадь, пропорциональная квадрату характерного размера тела

В заключение отметим, что решения рассмотренных уравнений вязкой жидкости лишь формально могут существовать при любых числах . В действительности же только то решение описывает реальное течение, которое является устойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям. Согласно экспериментальным данным стационарное течение тела является устойчивым при малых числах Рейнольдса, а начиная с некоторого достаточно большого числа Рейнольдса такого обтекания не существует. В первом случае траектории частиц среды имеют достаточно гладкий характер, среда движется как бы слоями, т. е. имеет место слоистое или ламинарное течение. Во втором случае частицы движутся гбеспорядочно, происходят хаотические пульсации скорости, т. е. имеет место турбулентное движение. Поскольку мы, изучая основы механики сплошных сред, не будем рассматривать вопросы устойчивости и теорию турбулентности, все приведенные далее решения описывают лишь ламинарные течения.

Пример 64.1. Течение между параллельными плоскостями, движущимися относительно друг друга.

Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие внешних сил стационарно движется между двумя параллельными плоскостями, одна из которых покоится, а другая движется с постоянной скоростью находясь на заданном расстоянии от неподвижной плоскости. Найти поля давления и скорости.

Поместим начало координат на неподвижной плоскости, ось х направим вдоль скорости а ось у перпендикулярно плоскостям. Тогда ввиду условия задачи все поля могут зависеть только от у, т. е.

а скорость жидкости направлена вдоль х, т. е.

Таким образом, нужно определить две неизвестных функции вида .

Уравнение непрерывности

удовлетворяется, как видно, тождественно. Левая часть уравнения (64.7) ввиду (1) и (2) равна

а само уравнение преобразуется к виду

откуда

и, следовательно,

Используя условия «прилипания» жидкости к плоскостям (см. (64.8) и (64.9))

найдем поле скорости

Теперь подсчитаем силу действующую со стороны жидкости на единичную площадку неподвижной плоскости. Орт для такой площадки имеет компоненты 0, 1, 0. Следовательно, из (64.11) получим, что

С другой стороны, согласно (64.4) и (3)

Таким образом,

Аналогично для единичной площадки на движущейся плоскости найдем

Отметим, что рассмотренное ламинарное течение является вихревым течением, поскольку

Пример 64.2. Течение между параллельными неподвижными плоскостями при наличии перепада давления.

Рассмотрим стационарный поток несжимаемой вязкой жидкости между параллельными неподвижными плоскостями при наличии постоянного перепада давления.

Рис. 64.1

Выберем систему координат, как показано на рис. 64.1. В этой системе скорость потока будет иметь только одну составляющую . Тогда из уравнения непрерывности вытекает, что Учитывая сказанное, а также двумерность задачи, из уравнения (64.7) получим

Последнее из этих уравнений показывает, что может быть функцией только х. Поэтому первое из уравнений (1) сводится к двум уравнениям

интегрируя которые находим

Полагая, что давление на плоскостях имеет значения получим, что

где — перепад давления. Для определения используем граничные условия (64.8) при , таким образом, найдем поле скорости

Итак, давление падает по линейному закону в сторону течения, а скорость в любом поперечном сечении потока изменяется по

параболическому закону, достигая максимального значения посредине между граничными плоскостями (на рис. 64.1 изображен профиль скоростей в сечении х = 0).

Применяя формулу (64.11), аналогично предыдущему примеру найдем силу, с которой жидкость действует на единичную площадку плоскостей

Наконец, определим объем жидкости, протекающей за единицу времени через сечение, ограниченное плоскостями . Для этого, используя (3), вычислим интеграл

Отсюда видно, что протекающее количество жидкости пропорционально кубу расстояния между плоскими стенками, падению давления на единицу длины, и обратно пропорционально коэффициенту вязкости.

Пример 64.3. Течение Пуазейля.

Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие объемных сил течет по цилиндрической трубе кругового сечения радиуса . Полагая, что течение стационарно, а перепад давления на едини длины трубы задан, найдем поля давления и скорости, а также количество протекающей за единицу времени жидкости.

Выбирая начало координат на оси трубы и направляя ось вдоль этой оси, аналогично предыдущим двум примерам найдем, что (64.6) и (64.7) приводят к уравнениям

Ввиду того, что , а в силу симметрии течения второе из уравнений (1) распадается на два уравнения, которые запишем в цилиндрических координатах (используя соответствующее выражение для оператора Лапласа)

Следовательно,

Аналогично формуле (2) примера 64.2 найдем поле давления

где перепад давления на единицу длины. Требуя затем ограниченности скорости во всей области и используя граничное условие (64.8) при получим

Таким образом,

Отсюда нетрудно найти касательную силу, приложенную к единице поверхности трубы (см. формулы (10), (11) приложения к гл. XII)

а также секундный расход жидкости (формула Пуазейля)

Из этой формулы следует, что при ламинарном течении количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубки и падению давления на единицу длины и обратно пропорционально коэффициенту вязкости.

Пример 64.4. Формула Стокса.

Неподвижную сферу радиуса обтекает стационарный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности. Найти поле скорости и силу, с которой жидкость действует на сферу, если число Рейнольдса весьма мало.

Для стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости, уравнения движения имеют вид (см. (64.6) и (64.7))

Выберем начало координат в центре сферы и направим ось z по вектору Далее обратим внимание, что левая часть уравнения (2) и его последний член справа имеют порядок величины, соответственно равный .

Таким образом, отношение рассматриваемых членов по порядку величины равно числу Рейнольдса.

Следовательно, при

Поэтому вместо (2) в качестве исходного примем уравнение

с граничными условиями

Применяя операцию к обеим частям (3) и имея в виду, что исключим неизвестное и тем самым найдем

Теперь используем известное соотношение

и учтем (1). Тогда вместо (5) получим уравнение

которое следует решать совместно с (1). Учитывая граничные условия (4) на бесконечности

и азимутальную симметрию течения, будем искать решение системы (6), (1) в виде

где — неизвестные функции.

Сделаем в уравнении (6) подстановку т. е. подстановку

которая после использования (8) сводится к формулам

где

Далее, совершим подстановку используя формулы, аналогичные (9), и вычислим компоненты с помощью (10)

а также компоненты с помощью (12)

Таким образом, (6) сводится к уравнению т. е. к уравнению

Решая это уравнение с помощью подстановки убедимся в. том, что его единственным решением, обращающимся на бесконечности в нуль, является решение

а имея в виду (11), представим (15) в виде уравнения относительно и

Второе уравнение относительно этих функций получим, записывая (1) в сферических координатах (см. (7) приложения к гл. XII)

и подставляя сюда (8):

Нетрудно убедиться, что решением системы (16), (18) являются функции

если . При этом граничными условиями для функций являются условия (см. (4) и (7))

Используя (20), найдем постоянные интегрирования

и тем самым определим поле скорости (см. (8)):

Чтобы найти поле давления, представим (3) в виде

(здесь использованы (5), (1) и подстановка Имея в виду, что компоненты вектора в известны, из (23) получим уравнения

откуда

Силу, действующую на единицу поверхности сферы, получим из (64.11), учитывая, что в сферических координатах орт нормальный к поверхности сферы, имеет компоненты 1, 0, 0. Таким образом, плотность силы будет равна:

Подставляя сюда (25) и компоненты вязкого тензора (см. приложение к гл. XII)

с учетом (22) получим

Суммарная сила действующая на сферу со стороны потока ввиду симметрии потока направлена по Поэтому спроектируем слагаемые силы на направление и проинтегрируем полученное выражение по поверхности сферы:

В результате вычислений найдем, что

(здесь ) и, следовательно,

Формула (28), которая называется формулой Стокса, определяет силу, действующую со стороны потока жидкости на неподвижную сферу при малых числах Рейнольдса (эта сила равна силе сопротивления, действующей на сферу, движущуюся в жидкости с постоянной скоростью). Заметим, что вклад (26) нормальных слагающих сил в составляет третью часть, а две трети, от связаны с касательными напряжениями.