Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 64. Уравнение Навье—СтоксаУравнения движения вязкой жидкости несколько упрощаются, если коэффициенты вязкости можно считать постоянными для данной жидкости величинами. Действительно, в этом случае (см. (63.4))
причем входящие сюда суммы вторых производных можно записать в форме
Таким образом, уравнения (63.5) приводят к уравнению Навье — Стокса:
Если жидкость можно считать несжимаемой, то в силу уравнения непрерывности
Поэтому системой уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости является следующая замкнутая относительно неизвестных
где Граничным условием к уравнениям движения вязкой жидкости является условие обращения в нуль скорости среды на неподвижной твердой поверхности
Это условие, связанное с представлением о молекулярном взаимодействии между молекулами среды и поверхности, подтверждается на опыте в довольно большом интервале плотностей и температур. Заметим, что на движущейся твердой поверхности скорость среды должна равняться скорости
(здесь Часто приходится вычислять силу, действующую на неподвижную твердую поверхность со стороны жидкости. В связи с этим получим выражение для силы, действующей на элемент
Отсюда, учитывая граничное условие (64.8), найдем силу
(напомним, что орт Теперь рассмотрим вопрос о подобии стационарных течений несжимаемой вязкой жидкости в отсутствие заданных сил. Определим понятие подобия, для чего рассмотрим два различных стационарных потока. Если каждой точке
где постоянная
с постоянной Чтобы выяснить интересующий нас критерий подобия, представим уравнение Навье—Стокса (64.7) в безразмерной форме. Для этого зададим постоянные величины, характеризующие течение несжимаемой вязкой жидкости, а именно: удельную вязкость
из (64.7) для стационарных течений при
где
— число Рейнольдса (это единственная безразмерная комбинация размерных величин
Отсюда с учетом (64.14) для скоростей и радиусов-векторов двух потоков, удовлетворяющих закону Рейнольдса, получим выражения
которые указывают на подобие течений. Решение уравнения Навье—Стокса в виде (64.17) позволяет прийти и к другим практически важным заключениям. Например подставляя (64.17) в (64.11), учитывая (64.14) и интегрируя по поверхности тела, найдем, что сила, действующая на тело со стороны обтекающего его потока, должна иметь вид
где В заключение отметим, что решения рассмотренных уравнений вязкой жидкости лишь формально могут существовать при любых числах Пример 64.1. Течение между параллельными плоскостями, движущимися относительно друг друга. Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие внешних сил стационарно движется между двумя параллельными плоскостями, одна из которых покоится, а другая движется с постоянной скоростью Поместим начало координат на неподвижной плоскости, ось х направим вдоль скорости
а скорость жидкости
Таким образом, нужно определить две неизвестных функции вида Уравнение непрерывности
удовлетворяется, как видно, тождественно. Левая часть уравнения (64.7) ввиду (1) и (2) равна
а само уравнение преобразуется к виду
откуда
и, следовательно,
Используя условия «прилипания» жидкости к плоскостям (см. (64.8) и (64.9))
найдем поле скорости
Теперь подсчитаем силу
С другой стороны, согласно (64.4) и (3)
Таким образом,
Аналогично для единичной площадки на движущейся плоскости найдем
Отметим, что рассмотренное ламинарное течение является вихревым течением, поскольку
Пример 64.2. Течение между параллельными неподвижными плоскостями при наличии перепада давления. Рассмотрим стационарный поток несжимаемой вязкой жидкости между параллельными неподвижными плоскостями при наличии постоянного перепада давления.
Рис. 64.1 Выберем систему координат, как показано на рис. 64.1. В этой системе скорость потока будет иметь только одну составляющую
Последнее из этих уравнений показывает, что
интегрируя которые находим
Полагая, что давление на плоскостях
где
Итак, давление падает по линейному закону в сторону течения, а скорость в любом поперечном сечении потока изменяется по параболическому закону, достигая максимального значения Применяя формулу (64.11), аналогично предыдущему примеру найдем силу, с которой жидкость действует на единичную площадку плоскостей
Наконец, определим объем
Отсюда видно, что протекающее количество жидкости пропорционально кубу расстояния между плоскими стенками, падению давления на единицу длины, и обратно пропорционально коэффициенту вязкости. Пример 64.3. Течение Пуазейля. Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие объемных сил течет по цилиндрической трубе кругового сечения радиуса Выбирая начало координат на оси трубы и направляя ось
Ввиду того, что
Следовательно,
Аналогично формуле (2) примера 64.2 найдем поле давления
где
Таким образом,
Отсюда нетрудно найти касательную силу, приложенную к единице поверхности трубы (см. формулы (10), (11) приложения к гл. XII)
а также секундный расход жидкости (формула Пуазейля)
Из этой формулы следует, что при ламинарном течении количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубки и падению давления на единицу длины и обратно пропорционально коэффициенту вязкости. Пример 64.4. Формула Стокса. Неподвижную сферу радиуса Для стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости, уравнения движения имеют вид (см. (64.6) и (64.7))
Выберем начало координат в центре сферы и направим ось z по вектору Таким образом, отношение рассматриваемых членов по порядку величины равно числу Рейнольдса. Следовательно, при
Поэтому вместо (2) в качестве исходного примем уравнение
с граничными условиями
Применяя операцию
Теперь используем известное соотношение
и учтем (1). Тогда вместо (5) получим уравнение
которое следует решать совместно с (1). Учитывая граничные условия (4) на бесконечности
и азимутальную симметрию течения, будем искать решение системы (6), (1) в виде
где Сделаем в уравнении (6) подстановку
которая после использования (8) сводится к формулам
где
Далее, совершим подстановку
а также компоненты
Таким образом, (6) сводится к уравнению
Решая это уравнение с помощью подстановки
а имея в виду (11), представим (15) в виде уравнения относительно и
Второе уравнение относительно этих функций получим, записывая (1) в сферических координатах (см. (7) приложения к гл. XII)
и подставляя сюда (8):
Нетрудно убедиться, что решением системы (16), (18) являются функции
если
Используя (20), найдем постоянные интегрирования
и тем самым определим поле скорости (см. (8)):
Чтобы найти поле давления, представим (3) в виде
(здесь использованы (5), (1) и подстановка
откуда
Силу, действующую на единицу поверхности сферы, получим из (64.11), учитывая, что в сферических координатах орт
Подставляя сюда (25) и компоненты вязкого тензора (см. приложение к гл. XII)
с учетом (22) получим
Суммарная сила
В результате вычислений найдем, что
(здесь
Формула (28), которая называется формулой Стокса, определяет силу, действующую со стороны потока жидкости на неподвижную сферу при малых числах Рейнольдса (эта сила равна силе сопротивления, действующей на сферу, движущуюся в жидкости с постоянной скоростью). Заметим, что вклад (26) нормальных слагающих сил в
|
1 |
Оглавление
|