§ 46. Метод разделения переменных

В ряде случаев гамильтониан системы обладает свойствами, которые приводят к разделению переменных в уравнении Гамильтона—Якоби.

Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, гамильтониан которой явно от времени не зависит (см. 42.21)), а уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид

Этому уравнению удовлетворяет полный интеграл

линейно зависящий от времени; здесь роль -той неаддитнвной постоянной играет постоянная обобщенной энергии , а «укороченное» действие удовлетворяет уравнению

В последнем нетрудно убедиться, подставляя (46.2) в (46.1) и имея в виду, что

Если полный интеграл уравнения (46.3) известен, то, применяя теорему Якоби, можно получить решение канонических уравнений. Действительно, учитывая последние равенств (46.4), а также равенства

согласно (45.24), найдем

Поскольку явно от времени не зависит, то «поле импульсов» (46.6, а) стационарно, интегралов определяют

совокупность «траекторий» системы в пространстве конфигураций, а последний интеграл (46.6, в) определяет закон движения системы.

При наличии циклических координат также имеет место разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби. В самом деле, если независимых координат являются циклическими, то уравнение (45.20) принимает вид

а его решение будет линейным относительно всех циклических координат:

Подставляя (46.8) в (46.7) и учитывая, что

(из последних равенств следует постоянство импульсов, соответствующих циклическим координатам), получим уравнение для функции V

Зная полный интеграл этого уравнения и используя теорему Якоби, можно найти решение канонических уравнений.

Наконец, рассмотрим такой случай разделяющихся переменных, когда функция Гамильтона имеет форму

где каждая из функций зависит только от соответствующей одной пары канонических переменных Тогда решение уравнения Гамильтона—Якоби будет иметь вид

где — аддитивная часть действия, зависящая только от

координаты и постоянных а. Подставляя (46.12) в уравнение Гамильтона—Якоби, соответствующее гамильтониану (46.11), и используя очевидные равенства

найдем уравнение для функций

Если (46.12) является решением исходного уравнения, то уравнение (46.14) должно обращаться в тождество при любых значениях координат Это возможно только в том случае, когда все функции будут постоянными, так как при изменении данной координаты изменяется лишь функция Таким образом, уравнение (46.14) распадается на систему уравнений:

из которых последних уравнений являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если полный интеграл V уравнения (46.15) и решения уравнений (46.16) могут быть найдены, то, используя (46.13) и теорему Якоби, получим решение исходного уравнения в виде

Рассматриваемый случай разделяющихся переменных включает в себя, в частности, случай циклических координат. Действительно, если в (46.11) положить то система (46.16) примет вид

и, таким образом, полный интеграл (46.12) совпадет с интегралом (46.8).

Заметим, что в методе разделения переменных, как и в методе циклических координат, очень большую роль играет выбор переменных. Например, в задаче двух тел полярные координаты допускают разделение, а декартовы не допускают. Может также случиться, что в одной и той же задаче несколько систем переменных допускают разделение, а может случиться, что разделение переменных вообще провести нельзя, как, например, в задаче трех тел.

Пример 46.1. Движение заряда в поле электрического диполя. Как известно [36, стр. 51; 35, стр. 68], потенциальная энергия заряда в поле неподвижного электрического диполя с моментом а равна

Найти общее решение уравнения движения заряда [14, гл. III].

Гамильтониан заряда в сферических координатах с началом в диполе и полярной осью, направленной по вектору а, имеет вид (см. (42.4))

Поскольку полная энергия заряда сохраняется, то «укороченное» действие зависящее от координат подчиняется уравнению (см. (46.3))

Замечая, что является циклической координатой, а и в разделяются, полный интеграл последнего уравнения будем искать в виде (см. (46.12))

В результате уравнение для «укороченного» действия распадается на обыкновенные дифференциальные уравнения

решения которых легко записать в квадратурах. Таким образом, находим полный интеграл исходного уравнения

с помощью которого нетрудно получить вторые интегралы (см. (46.6))

Первые два из этих интегралов определяют траекторию заряда, а третий легко берется и представляет собой закон движения заряда:

Производя в (3) замену констант

и учитывая, что получим формулу (4) примера 28.1. Следовательно, проекция точки на сферу постоянного радиуса (с центром в диполе) будет описывать траекторию, совпадающую с траекторией подобранного соответствующим образом сферического маятника.

Первые интегралы Якоби (см. (46.6, а)) представляют собой обобщенные импульсы заряда как функции координат:

(здесь вместо постоянной введена равная ей константа и для определенности выбран заряд Из соотношений (7) и

(8) вытекают неравенства, определяющие области изменения координат :

а на основании интеграла (9) можно заключить, что при заряд вращается вокруг полярной оси все время в одном направлении (знак совпадает со знаком если же то заряд либо совершает плоское движение либо движется вдоль полярной оси

Рассмотрим различные частные случаи.

Пусть, например, тогда (см. и имеют место неравенства (см. (10))

т. е. траектория финитна. Если при этом то из (11) вытекает, что заряд будет двигаться в секторе меридиональной плоскости с углом раствора где

Если же то траектория заряда будет расположена между двумя конусами; соответственно 0 будет изменяться в пределах

определяются из уравнения . В рассматриваемом случае полной отрицательной энергии время движения заряда от до равно (см. (5)).

Пусть тогда из интеграла (7) вытекает, что 0; следовательно, заряд движется по сфере конечного радиуса Если при этом то из неравенства (11) видно, что 0 изменяется от 0 до , т. е. заряд описывает полукруг в некоторой меридиональной плоскости. Если же то движение заряда будет аналогично соответствующему движению сферического маятника.

Отметим специальный подбор начальных условий, при котором заряд совершает равномерное движение по окружности, перпендикулярной полярной оси, что соответствует тому случаю движения сферического маятника, когда

(см. пример 28.1). Используя связь констант (6) и условие (5) примера 28.1, найдем соотношение

с другой стороны, согласно (10)

Таким образом, получим

причем из последнего выражения нетрудно найти

Из этих результатов видно, что все круговые траектории лежат на одном и том же конусе, раствор которого не зависит ни от заряда и его массы, ни от момента диполя, а момент импульса заряда относительно оси диполя не зависит от расстояния заряда до диполя.

В случае движение инфинитно и будет происходить между конусами, растворы которых определяются соотношением (11), при этом будет линейно зависеть от времени.

В случае движение инфинитно как при так и при причем, если то

т. е. заряд не может упасть на диполь.

Пример 46.2. Обобщенно консервативная система с одной степенью свободы.

Рассмотрим задачу о точке, движущейся по гладкому вращающемуся стержню (см. пример 28.3), и ее решение методом Гамильтона—Якоби.

По известной функции Лагранжа определим гамильтониан точки

(здесь ), а затем получим уравнение Гамильтона — Якоби (см. (46.1))

Так как функция Я явно от времени не зависит и, следовательно, обобщенная энергия сохраняется то полный интеграл этого уравнения имеет вид (см. (46.2))

а «укороченное действие подчиняется уравнению (см. (46.3))

Достаточно привести решение этого обыкновенного дифференциального уравнения в квадратуре

чтобы, используя теорему Якоби в форме (46.6), получить импульс как функцию положения точки:

и закон движения точки в форме

Вид этого закона будет несколько различным в зависимости от знака величины

который в свою очередь зависит от соотношения постоянных (см. пример 28.3 и рис. 28.4).