§ 13. Упругое рассеяние частиц

Если в начальный момент времени две частицы находятся достаточно далеко друг от друга, а их начальные скорости направлены так, что с течением времени происходит сближение частиц, в результате взаимодействия они могут снова удалиться на достаточно большое расстояние друг от друга, причем их скорости как по величине, так и по направлению изменятся. В этом случае говорят, что произошло рассеяние частиц. Если в результате взаимодействия при расстояние между частицами стремится к нулю или остается ограниченным, то говорят, что произошел захват частиц. Рассеяние и захват частиц зависят от характера взаимодействия между частицами, в связи с чем изучение таких процессов играет большую роль в физике.

Рассмотрим задачу о рассеянии двух частиц, в которой считаются известными массы частиц и потенциальная энергия их взаимодействия как функция расстояния между ними, а внешними силами можно пренебречь. До рассеяния, т. е. при частицы считаются бесконечно удаленными друг от друга; они обладают скоростями, соответственно равными

где — скорости обеих точек в момент времени Практически состояние «до рассеяния» характеризуется таким конечным расстоянием между частицами, на котором энергией их взаимодействия можно пренебречь. Скорости, рассматриваемые к (13.1), являются скоростями частиц относительно некоторой инерциальной системы отсчета, которую в теории рассеяния обычно называют лабораторной системой или -системой. В задаче считается известной ориентация плоскости движения частиц относительно системы которую в теории рассеяния часто называют -системой. Также считается известным прицельное расстояние т. е. расстояние между асимптотами траекторий частиц относительно по которым частицы движутся до рассеяния; прицельное расстояние можно также определить как минимальное расстояние, на котором частицы пролетели бы друг от друга в отсутствие взаимодействия (см. рис. 13.1, где

в качестве траектории -точки изображена ветвь гиперболы, соответствующая случаю отталкивания — сравните с рис. 8.1, а траектории действительных точек изображены для

Рис. 13.1

Если скорости частиц до рассеяния заданы, то ориентация плоскости движения относительно определяется одним скалярным параметром. Действительно, по этим скоростям можно определить их разность: вектор

который лежит в плоскости движения частиц относительно (см. (12.9)). Поэтому ориентацию этой плоскости всегда можно задать единичным вектором перпендикулярным к плоскости и, следовательно, перпендикулярным к (рис. 13.2). Но направление если задан, определяется одним скалярным параметром, например углом между и единичным вектором лежащим в плоскости и перпендикулярным к

Итак, в задаче о рассеянии двух частиц будем считать известными массы этих частиц потенциальную энергию их взаимодействия скорости до рассеяния

Рис. 13.2

относительно лабораторной системы отсчета, угол определяющий ориентацию плоскости движения относительно системы центра масс, а также прицельное расстояние которое характеризует относительное расположение точек до рассеяния в системе центра масс. По этим данным требуется определить скорости обеих частиц после рассеяния, т. е. при

Устремляя t к в соотношениях (12.9) и (12.20), справедливых для любого момента времени, и используя сохранение скорости центра масс частиц (см. (12.2)), получим

где — скорости точек после рассеяния относительно системы скорость центра масс. Как видно, в (13.4) и (13.5) входит один неизвестный вектор — разность скоростей точек после рассеяния. Величину этого вектора можно найти, используя закон сохранения энергии относительно системы Действительно, (11.22) с учетом второй из формул (12.16) приводит к интегралу

где — значения потенциальной энергии взаимодействия частиц до и после рассеяния. Эти значения равны между собой, т. е.

поскольку как до рассеяния, так и после него частицы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. Таким образом, из (13.6) и (13.7) вытекает, что величина разности скоростей частиц после рассеяния и до него одна и та же:

По существу этот вывод основан на предположении о том, что внутренняя энергия частиц в процессе рассеяния остается неизменной (такое рассеяние называется упругим).

Учитывая (13.8), неизвестный вектор можно представить в виде

где т. е. является известной величиной, а — единичный вектор, направленный по вектору или по вектору что видно из (13.4). Орт Пвот легко определить, используя решение задачи двух тел. Действительно, вычисляя последний из интегралов (12.18) в пределах от до получим — угол между асимптотой траектории и апсидой (см., например, рис. 13.1):

где определяется из уравнения

Интеграл (13.10) определяет угол как функцию и приведенной массы (при заданной потенциальной энергии . В свою очередь постоянные могут быть выражены через известные величины, т. е. через — величину разности скоростей точек до рассеяния и — прицельное расстояние. Например, используя последнюю из формул (12.16) и полагая потенциальную энергию на бесконечности равной нулю, получим

Величину кинетического момента относительно системы центра масс можно записать в виде (см. (12.16))

откуда, учитывая, что

(см. рис. 13.1), найдем

Соотношения (13.11), (13.13) и решение (13.10) дают возможность найти угол как функцию заданных величин и тем самым определить углы отклонения скоростей первой и второй частиц в системе центра масс. Эти углы равны между собой, так как в указанной системе импульс двух частиц всегда равен нулю,

и, следовательно, скорости обеих частиц в любой момент времени направлены в противоположные стороны. Таким образом, угол между векторами равен углу между Назовем этот угол углом рассеяния в системе центра масс и обозначим его . Между углами существует соотношение, которое для центрально-симметричного взаимодействия принимает весьма простой вид. Действительно, в этом случае движение частиц относительно их центра масс происходит в плоскости, а траектории частиц симметричны относительно апсид (см. стр. 82), поэтому

Соотношения (13.4) и (13.5) с учетом (13.9) — (13.14) приводят к решению задачи о рассеянии двух частиц. Запишем это решение в виде

где а единичный вектор определен углами один из этих углов задает ориентацию плоскости движения относительно системы центра масс при заданных векторах , а угол является углом рассеяния частиц в системе центра масс; зависимость угла от величин и характера взаимодействия определяется интегралом

где является корнем уравнения

Итак, формулы (13.16) и (13.17) представляют собой решение задачи об упругом рассеянии двух частиц. Эта задача является частным случаем задачи двух тел, когда интересуются лишь скоростями частиц, после рассеяния. Поэтому в задаче о рассеянии требуется меньшая информация относительно начальных условий по сравнению с задачей двух тел. Подчеркнем еще одну особенность задачи о рассеянии. Так как решение в виде (13.16)

получено на основе лишь законов сохранения, то скорости после рассеяния являются одними и теми же функциями скоростей до рассеяния и углов при любом центральном взаимодействии частиц. С другой стороны, как функции скоростей угла и прицельного расстояния будут различными для разных взаимодействий, так как зависимость от определяется видом потенциальной энергии.

Только в одном случае угол отклонения в системе центра масс имеет определенное значение при любой потенциальной энергии взаимодействия Это случай лобового удара, когда

и, следовательно, вектор направлен противоположно вектору

Подставляя (13.20) в (13.16), получим решение задачи о рассеянии для случая лобого удара

Расчет общего случая становится более наглядным, если использовать графическое изображение решения (13.16), т. е. так называемую диаграмму скоростей. Прежде всего построим эту диаграмму в системе Скорости после рассеяния известны из решения (13.15), а скорости до рассеяния получим устремив в

Используя (13.22) и (13.15), получим диаграмму скоростей в системе (рис. 13.3, а). В этой системе особенно просто выглядит диаграмма импульсов. Умножая скорости точек (см. (13.15) и (13.22)) на соответствующие массы, получим выражения для импульсов точек относительно (рис. 13.3, б)

Из диаграммы видно, что упругое рассеяние двух частиц относительно системы их центра масс сводится к повороту

скоростей и импульсов частиц на один и тот же угол рассеяния при этом величины скоростей (и импульсов) сохраняются.

Рис. 13.3

Диаграмма скоростей относительно лабораторной системы отсчета соответствует решению (13.16) (рис. 13.4). Заметим, что в общем случае плоскость, образуемая на диаграмме скоростей векторами не совпадает с плоскостью, образуемой векторами и

Однако эти плоскости пересекаются и конец вектора скорости центра масс лежит на этой линии пересечения. Плоскость, в которой лежат скорости точек, определенные относительно системы не совпадает, вообще говоря, ни с плоскостью векторов ни с плоскостью векторов

Рис. 13.4

В заключение этого параграфа рассмотрим захват частиц, точнее, рассмотрим падение частиц друг на друга, когда при Исследование этого случая можно провести с помощью условий (7.9) и (7.11). Действительно, заменяя в этих формулах на приведенную массу и учитывая (13.11) и (13.13), получим неравенство, определяющее область изменения в задаче двух тел:

а также условие падения частиц

Для сил отталкивания условие, падения не удовлетворяется ни при каких . В случае преобладания быстро убывающих сил притяжения (при падение становится возможным хотя бы для некоторых прицельных расстояний. Если известны потенциальная энергия взаимодействия частиц, их массы и скорости до захвата (т. е. при ), то можно, воспользовавшись соотношениями (13.24) и (13.25), определить, при каких нрицельных расстояниях произойдет захват.

Пример 13.1. Рассеяние двух частиц, одна из которых до рассеяния покоится.

Частица с массой до рассеяния покоится, т. е. а вторая частица движется со скоростью относительно -системы. Определить абсолютные величины и направления скоростей обеих частиц пбсле рассеяния относительно -системы как функции угла рассеяния в системе центра масс.

Из условия видно, что скорость центра масс и разность скоростей частиц до рассеяния соответственно равны

Отсюда с помощью (13.22) получим скорости точек до рассеяния в системе

а используя (13.15) и (13.16), найдем скорости частиц после рассеяния

В рассматриваемом примере движение является плоским как относительно системы так и относительно -системы, причем плоскости движения в обеих системах совпадают друг с другом. Благодаря этому одну из координатных плоскостей -системы можно совместить с плоскостью движения. Тогда вектор лежащий в этой плоскости, будет определяться одним параметром,

а именно углом рассеяния . Заметим также, что в системе величина скорости первой точки после рассеяния равна величине скорости центра масс, а отношение всегда равно обратному отношению масс точек.

Диаграмма скоростей для данного примера, приведена на рис. 13.5. Здесь — углы рассеяния первой и второй частиц в -системе; они отсчитываются от направления скорости второй частицы до рассеяния. Пользуясь этой диаграммой, решением (3) и тригонометрическими соотношениями, найдем

Рис. 13.5

Рассмотрим решение (4) при различных соотношениях между массами частиц, считая для определенности, что между частицами действуют силы отталкивания. Тогда может изменяться от О до ; причем соответствует бесконечно далеким пролетам частиц, а — лобовому удару.

Пусть, например, тогпч, т. е. масса частицы, покоящейся до рассеяния, больше массы налетающей частицы (рис. 13.6, а). В этом случае с изменением от 0 до угол изменяется также от 0 до , т. е. налетающая частица может быть рассеяна по любому направлению. Соответственно частица, покоящаяся до рассеяния, может быть рассеяна под углом от до Угол разлета для любых будет больше а в случае лобового

удара скорости частиц после рассеяния и взаимно противоположны. Весьма простой вид принимает решение (4), если

Рис. 13.6

В случае равенства масс налетающей и покоящейся частиц из решения (4) получим (рис. 13.6,б)

Здесь угол разлета для любого равен , а в случае лобового удара происходит «обмен» скоростей.

Пусть теперь т. е. масса налетающей частицы больше, чем масса покоящейся до рассеяния частицы (рис. 13.6, в).

Из диаграммы скоростей видно, что угол разлета для любого меньше, чем а в результате лобового удара скорости частиц направлены одинаково. Наиболее интересной особенностью рассматриваемого случая является то, что данному углу соответствуют определенные значения а данному углу соответствуют два значения Иначе говоря, функции являются однозначными функциями, а функции — двузначными. Это необходимо иметь в виду, так как экспериментально измеряется именно угол , а ему соответствуют два возможных значения . С этой особенностью связано и то, что угол отклонения налетающей частицы изменяется в пределах от 0 до некоторого максимального значения (рис. 13.6, г), определяемого формулой

Пользуясь последней из формул (4), найдем, что

В решении этого уравнения следует выбрать знак перед радикалом, для чего рассмотрим предельные случаи далекого пролета и лобового удара. Например, если то из диаграммы, представленной на рис. 13.6, а, в пределе получим

К этим предельным значениям приводит решение уравнения (8) с положительным знаком перед радикалом:

Если то из диаграммы, представленной на рис. 13.6, в, можно увидеть, что

т. е. решение уравнения (8) будет содержать оба знака:

Первая ветвь этой функции, соответствующая положительному знаку перед радикалом, дает значения лежащие в пределах до (при этом изменяется от 0 до ). Вторая

ветвь соответствует значениям лежащим в пределах от до (при этом изменяется от 0 до

Пример 13.2. Рассеяние двух частиц, стрости которых до рассеяния равны по величине и противоположны по направлению.

Пусть скорости обеих частиц до рассеяния относительно -системы соответственно равны

Определить абсолютные величины и направления скоростей частиц в лабораторной системе как функции угла .

Согласно условию задачи скорость центра масс частиц, разность их скоростей и скорости частиц относительно системы до рассеяния соответственно равны (см. (13.22))

Отсюда с помощью (13.16) находим

Поскольку скорости и согласно (1) коллинеарны скорости центра масс, постольку движение является плоским не только в системе центра масс, но и в -системе. Это дает возможность построить плоскую диаграмму скоростей (рис. 13.7). При построении диаграммы мы учли, что между величинами скоростей имеет место соотношение

и что (см. (1)).

Из решения (2) и диаграммы скоростей получим интересующие нас функции:

Проанализируем это решение. Пусть, например, тогда из (1) и (2) следует

Таким образом, скорость центра масс по величине больше, чем скорость первой частицы в системе , но меньше скорости второй частицы в той же системе. Поэтому функция будет двузначной, функция — однозначной, а будет изменяться в пределах от 0 до (рис. 13.7, а). Угол максимального отклонения первой частицы определяется формулой

В предельных случаях далекого пролета и лобового удара согласно диаграмме (рис. 13.7, а) имеем:

Используя эти предельные значения, а также третью и четвертую функции из формул (3), получим выражения:

В случае общее решение (3) приводит к более простым формулам для первой частицы

Если же (рис. 13.7, б), то

Рис. 13.7

Поэтому как так и изменяются от 0 до , причем в предельных случаях

В соответствии с этим из решения (3) аналогично предыдущему получим однозначную функцию которую запишем в виде

(меняя здесь индексы 1 и 2 местами, найдем функцию

Наконец, если то скорость центра масс равна нулю и, следовательно, с помощью формулы (2) найдем (рис. 13.7, в)

Соответственно из формулы (3) получим

В этом случае решение принимает очень простой вид, так как -система и система центра масс совпадают.

Пример 13.3. Рассеяние двух частиц с электростатическим взаимодействием.

Предполагая, что одна из частиц до рассеяния покоится а вторая налетает на нее с заданной скоростью относительно -системы, а также считая известными прицельное расстояние и ориентацию плоскости, в которой движутся частицы, определить абсолютные величины и направления скоростей обеих частиц как функции

Часть этой задачи уже решена в примере 13.1. Действительно, формулы (4) этого примера дают интересующие нас величины как функции и — угла рассеяния в -системе:

Теперь нужно найти угол как функцию скорости и прицельного расстояния Эта зависимость определяется интегралом (13.17)

в котором потенциальная энергия подставлена в виде (8.1), а — постоянная, характеризующая взаимодействие, величина относительной скорости частиц до рассеяния, определяется из уравнения

(см. (13.18)). Вычисляя этот интеграл, для угла отклонения в -системе получаем выражение

В случае сил притяжения угол отклонения , а для сил отталкивания этот угол положителен и функция (2) принимает вид

В соответствии с условием данного примера в формулах (2) и (3) нужно положить

Совокупность формул (4) примера 13.1 и формул (2), (3) настоящего примера дает решение поставленной задачи. Запишем его в общем виде

Ввиду громоздкости этого решения приведем более простой частный случай. Пусть, например, массы налетающей и покоящейся до рассеяния частиц равны, тогда, учитывая формулу (6) примера 13.1, получаем

Если скорости частиц до рассеяния равны по величине и противоположны по направлению, т. е.

то как функции будут заданы совокупностью формул (3) примера 13.2 и формул (2), (3) и (6) настоящего

примера. В частном случае при для первой частицы получим (см. формулу (9) примера 13.2)

Пример 13.4. Рассеяние двух однородных абсолютно упругих шариков.

Потенциальная энергия взаимодействия двух указанных частиц с массами и имеет вид

где сумма радиусов первой и второй частиц-«шариков». Предполагая, что в одном случае вторая частица налетает на первую, покоящуюся до рассеяния, а во втором — обе частицы движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью, определить абсолютные величины и направления скоростей обеих частиц после рассеяния как функции их скоростей до рассеяния и прицельного расстояния.

Пользуясь (13.17) и (13.18), можно определить угол отклонения Однако ввиду обращения в бесконечность удобнее определить с помощью графика «эффективной» потенциальной энергии и траекторий частиц в -системе. Действительно, подставляя значения из (13.11) и (13.13) в выражение получим

Формулы (1) и (2) дают возможность построить график (рис. 13.8, а), из которого видно, что

В первом случае происходит столкновение шариков, во втором — нет. Для обоих случаев траектории геометрических центров шариков относительно -системы изображены на рис. 13.8, б и 13.8, в (эти рисунки соответствуют соотношениям и

(кликните для просмотра скана)

Отсюда, учитывая соотношение (13.14), найдем

Следовательно, угол не зависит от разности скоростей и от масс частиц. Он зависит лишь от отношения константы взаимодействия а и прицельного расстояния что связано с особенностью взаимодействия абсолютно упругих шариков. Заметим, что (5) можно получить интегрированием (13.17), определяя из формулы (3); при этом следует учесть, что потенциальная энергия в пределах интегрирования от до равна нулю.

Если скорости обеих частиц до рассеяния относительно -системы задать так же, как в примерах 13.1 и 13.2, то решение задачи о рассеянии частиц-«шариков» в первом случае определится совокупностью формул (4) примера 13.1 и формулы (5) настоящего примера, а во втором случае — совокупностью формул (3) примера 13.2 и той же формулы (5).

Приведем решение в простейших случаях. Пусть

тогда, используя формулы (5), (6) примера 13.1 и считая найдем

Решение в случае — найдем, используя, например, формулы (9) примера 13.2. Тогда для первой частицы получим