Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 45. Уравнение Гамильтона — ЯкобиНаряду с уравнениями движения Лагранжа и Гамильтона, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, существует уравнение в частных производных, описывающее движение механической системы в поле обобщенно-потенциальных сил при наличии голономных идеальных связей. Этому уравнению, называемому уравнением Г амнльтона — Якоби, подчиняется функция действия
с помощью которой оказывается возможным находить решение канонических уравнений Гамильтона. Прежде чем убедиться в этом, покажем, как по известному решению канонических уравнений определяется функция действия, и изучим ее основные свойства. Пусть известны все независимые интегралы канонических уравнений (42.15) или их решение:
Дифференцируя (45.2) по времени, получим обобщенные скорости в виде
Подставляя (45.2) и (45.4) в (45.1), найдем действие S как функцню начальных условий и времени:
Можно найти действие как функцию координат и времени,
и выражая начальные импульсы
а подставляя эти функции в (45.5), найдем
Пользуясь (45.7) и (45.3), можно найти обобщенные импульсы как функции координат и времени, начального положения и начального момента
Покажем, что толе импульсов», определяемое функциями (45.9), потенциально, а его потенциалом является функция действия (45.8). С этой целью найдем вариацию действия при фиксированных моментах времени
Используя коммутативность операций дифференцирования по времени и варьирования при фиксированном времени, т. е. используя равенства
часть членов (45.10) можно будет представить в виде
Тогда вместо (45.10) получим
Учитывая, что между измененными начальным и конечным положениями система движется по действительной траектории в соответствии с уравнениями движения (42.15) (или (42.14)), приравняем нулю выражения в фигурных скобках и тем самым найдем, что
Переходя в (45.14) к каноническим импульсам (см. (28.1)), окончательно найдем
откуда следует, что
где Найдем функцию действия и определяемые ею импульсы для твердого тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции. Лагранжиан такого тела равен кинетической энергии
Используя это решение, получим действие в виде (45.5)
а затем в виде (45.8)
откуда следует, что
Итак, зная решение канонических уравнений, можно найти функцию действия и с ее помощью записать решение в форме (45.16). Более интересной и практически важной задачей является отыскание функции действия в том случае, когда решение канонических уравнений заранее не известно. Для выполнения этой задачи следует прежде всего найти уравнение, которому должна удовлетворять функция действия. Учитывая, что, с одной стороны, согласно (45.1)
а, с другой стороны,
найдем, что функция 5 как функция координат и времени подчинена уравнению
Это уравнение с помощью определения (42.1) и соотношений (45.16) можно представить в виде
где Рассмотрим полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, т. е. такое решение этого уравнения
которое зависит от
Из определения (45.21) и (45.22) видно, что функция действия (45.8) является полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби. В самом деле, эта функция удовлетворяет уравнению (45.20), а ввиду допущения (45.6) и соотношений (45.16) обладает свойством
(поскольку к функции S всегда можно прибавить произвольную постоянную, то некоторая комбинация из Большое практическое значение имеет обратное утверждение, основанное на теореме Якоби, которая дает возможность по известному полному интегралу уравнения Гамильтона — Якоби находить независимые интегралы канонических уравнений (42.15). Согласно этой теореме, если некоторая функция
где координаты системы как функции времени и Для доказательства теоремы Якоби нужно убедиться в том, что решение (45.24) тождественно удовлетворяет каноническим уравнениям Гамильтона (42.15). С этой целью будем исходить из очевидного тождества
дифференцируя которое можно получить ряд новых тождеств. Например, дифференцируя (45.25) по всем а, получим
а вычисляя полную производную по времени от каждого из интегралов (45.24,6), найдем
Системы (45.26) и (45.27) являются системами неоднородных линеиных уравнении относительно величин - и
что означает тождественное удовлетворение первой группы канонических уравнений (42.15). Дифференцируя тождество (45.25) по всем
первую из которых с помощью (45.28) можно записать в виде
Сравнивая между собой (45.29) и (45.30), убеждаемся в том, что вторая группа уравнений (42.15) также тождественно удовлетворяется:
Таким образом, теорема доказана. Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона—Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (45.24). Например, составим уравнения Гамильтона—Якоби для свободной точки в потенциальном поле в декартовых, цилиндрических и сферических координатах (см. (42.2) - (42.4)):
и рассмотрим решение уравнения Гамильтона—Якоби для свободной точки, движущейся относительно инерциальной системы в отсутствие силовых полей. В этом простейшем случае все переменные в уравнении Гамильтона—Якоби
разделяются, а его полный интеграл имеет вид
Определяя с помощью подстановки этого выражения в уравнение Гамильтона—Якоби связь между постоянными (число независимых неаддитивных постоянных должно равняться числу независимых переменных), найдем полный интеграл
Отсюда на основании (45.24, а) убеждаемся, что все обобщенные импульсы сохраняются:
я приравнивая производные — произвольным постоянным
Наконец, используя начальные условия и переобозначая постоянные, получим решение канонических уравнений
В заключение подчеркнем, что физические допущения, лежащие в основе канонических уравнений (42.15) и уравнения Гамильтона—Якоби (45.20), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона—Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. § 46). Кроме того, при рассмотрении уравнения Гамильтона—Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений.
|
1 |
Оглавление
|