§ 45. Уравнение Гамильтона — Якоби

Наряду с уравнениями движения Лагранжа и Гамильтона, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, существует уравнение в частных производных, описывающее движение механической системы в поле обобщенно-потенциальных сил при наличии голономных идеальных связей. Этому уравнению, называемому уравнением Г амнльтона — Якоби, подчиняется функция действия

с помощью которой оказывается возможным находить решение канонических уравнений Гамильтона. Прежде чем убедиться в этом, покажем, как по известному решению канонических уравнений определяется функция действия, и изучим ее основные свойства.

Пусть известны все независимые интегралы канонических уравнений (42.15) или их решение:

Дифференцируя (45.2) по времени, получим обобщенные скорости в виде

Подставляя (45.2) и (45.4) в (45.1), найдем действие S как функцню начальных условий и времени:

Можно найти действие как функцию координат и времени, также начального положения и начального момента времени. Действительно, предполагая, что

и выражая начальные импульсы с помощью (45.2) через , получим

а подставляя эти функции в (45.5), найдем

Пользуясь (45.7) и (45.3), можно найти обобщенные импульсы как функции координат и времени, начального положения и начального момента

Покажем, что толе импульсов», определяемое функциями (45.9), потенциально, а его потенциалом является функция действия (45.8). С этой целью найдем вариацию действия при фиксированных моментах времени (эту вариацию удобно сначала записать в виде вариации от интеграла (45.1)):

Используя коммутативность операций дифференцирования по времени и варьирования при фиксированном времени, т. е. используя равенства

часть членов (45.10) можно будет представить в виде

Тогда вместо (45.10) получим

Учитывая, что между измененными начальным и конечным положениями система движется по действительной траектории в соответствии с уравнениями движения (42.15) (или (42.14)), приравняем нулю выражения в фигурных скобках и тем самым найдем, что

Переходя в (45.14) к каноническим импульсам (см. (28.1)), окончательно найдем

откуда следует, что

где . Таким образом, действие как функция начального и конечного положений является потенциалом толя импульсов», а первая и вторая группы функций (45.16) представляют собой решение канонических уравнений, записанное в виде (45.9) и (45.7) соответственно.

Найдем функцию действия и определяемые ею импульсы для твердого тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции. Лагранжиан такого тела равен кинетической энергии , где — угол поворота тела вокруг оси вращения, а соответствующий момент инерции. Очевидно, что здесь обобщенный импульс равный сохраняется, а решением уравнения, движения является функция

Используя это решение, получим действие в виде (45.5)

а затем в виде (45.8)

откуда следует, что

Итак, зная решение канонических уравнений, можно найти функцию действия и с ее помощью записать решение в форме (45.16). Более интересной и практически важной задачей является отыскание функции действия в том случае, когда решение канонических уравнений заранее не известно. Для выполнения этой задачи следует прежде всего найти уравнение, которому должна удовлетворять функция действия. Учитывая, что, с одной стороны, согласно (45.1)

а, с другой стороны,

найдем, что функция 5 как функция координат и времени подчинена уравнению

Это уравнение с помощью определения (42.1) и соотношений (45.16) можно представить в виде

где — гамильтониан системы, куда вместо обобщенных импульсов подставлены частные производные функции 5 по соответствующим координатам. Полученное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет функция действия, называется уравнением Гамильтона—Якоби.

Рассмотрим полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, т. е. такое решение этого уравнения

которое зависит от произвольных постоянных а и удовлетворяет условию

Из определения (45.21) и (45.22) видно, что функция действия (45.8) является полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби. В самом деле, эта функция удовлетворяет уравнению (45.20), а ввиду допущения (45.6) и соотношений (45.16) обладает свойством

(поскольку к функции S всегда можно прибавить произвольную постоянную, то некоторая комбинация из постоянных войдет в S аддитивным образом). Так как функция действия может быть определена по известному решению канонических уравнений, то из вышесказанного следует, что с помощью этого решения можно найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

Большое практическое значение имеет обратное утверждение, основанное на теореме Якоби, которая дает возможность по известному полному интегралу уравнения Гамильтона — Якоби находить независимые интегралы канонических уравнений (42.15). Согласно этой теореме, если некоторая функция является полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби, то решение канонических уравнений Гамильтона (42.15) определяется соотношениями

где — произвольные постоянные. Соотношения (45.24, а) определяют функции вида , т. е. определяют обобщенные импульсы как функции координат и времени. Соотношения (45.24, б) представляют собой вторые интегралы канонических уравнений вида . Разрешая эти интегралы относительно найдем решение в виде т. е. найдем

координаты системы как функции времени и произвольных постоянных.

Для доказательства теоремы Якоби нужно убедиться в том, что решение (45.24) тождественно удовлетворяет каноническим уравнениям Гамильтона (42.15). С этой целью будем исходить из очевидного тождества

дифференцируя которое можно получить ряд новых тождеств. Например, дифференцируя (45.25) по всем а, получим

а вычисляя полную производную по времени от каждого из интегралов (45.24,6), найдем

Системы (45.26) и (45.27) являются системами неоднородных линеиных уравнении относительно величин - и соответственно. Коэффициенты этих систем одинаковы, а определители равны и, согласно (45.22), отличны от нуля. Следовательно, корни этих систем тождественно равны, т. е.

что означает тождественное удовлетворение первой группы канонических уравнений (42.15).

Дифференцируя тождество (45.25) по всем и вычисляя полную производную по времени от обеих частей всех равенств. (45.24, а), получим две системы уравнений:

первую из которых с помощью (45.28) можно записать в виде

Сравнивая между собой (45.29) и (45.30), убеждаемся в том, что вторая группа уравнений (42.15) также тождественно удовлетворяется:

Таким образом, теорема доказана.

Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона—Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (45.24).

Например, составим уравнения Гамильтона—Якоби для свободной точки в потенциальном поле в декартовых, цилиндрических и сферических координатах (см. (42.2) - (42.4)):

и рассмотрим решение уравнения Гамильтона—Якоби для свободной точки, движущейся относительно инерциальной системы в отсутствие силовых полей. В этом простейшем случае все переменные в уравнении Гамильтона—Якоби

разделяются, а его полный интеграл имеет вид

Определяя с помощью подстановки этого выражения в уравнение Гамильтона—Якоби связь между постоянными (число независимых неаддитивных постоянных должно равняться числу независимых переменных), найдем полный интеграл

Отсюда на основании (45.24, а) убеждаемся, что все обобщенные импульсы сохраняются:

я приравнивая производные — произвольным постоянным (см. 45.24, б), находим вторые интегралы:

Наконец, используя начальные условия и переобозначая постоянные, получим решение канонических уравнений

В заключение подчеркнем, что физические допущения, лежащие в основе канонических уравнений (42.15) и уравнения Гамильтона—Якоби (45.20), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона—Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. § 46). Кроме того, при рассмотрении уравнения Гамильтона—Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений.