Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава IX. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНАКак уже отмечалось, уравнения Лагранжа представляют собой систему Исследование свойств уравнений Гамильтона привело к формулировке ряда эффективных методов решения динамических задач. Кроме того, оказалось, что известная равноправность обобщенных импульсов и координат, имеющая место в уравнениях Гамильтона, является таким свойством, которое можно использовать при построении статистической и квантовой механики. § 42. Канонические уравненияДвижение механической системы с голономными идеальными связями, обобщенно-потенциальными и диссипативными заданными силами подчинено уравнениям Лагранжа (27.23). Конкретный вид этих уравнений определяется лагранжианом как функцией переменных
называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом); здесь обобщенные скорости Например, функция Гамильтона свободной точки в потенциальном поле (в декартовых, цилиндрических и сферических координатах) (см. формулы (1) и (4) примера 26.4)
Подставляя в (42.1) функцию Лагранжа (см. (27.11))
свободного заряда, движущегося в заданном электромагнитном поле с потенциалами А и
получим гамильтониан такого заряда:
Функция Лагранжа свободной точки относительно произвольной неинерциальной системы S определяется кинетической энергией точки относительно
где
и обобщенную энергию (см. (28.11))
находим функцию Гамильтона
Упрощая (42.8), окончательно получим
Теперь выведем уравнения Гамильтона. С этой целью возьмем дифференциал от функции Н, один раз как от известной функции
Сопоставляя здесь отдельные члены и используя определение обобщенного импульса (см. стр. 243), найдем соотношения
Выражая далее с помощью уравнений движения (27.23) каждую производную через производную соответствующего обобщенного импульса
которые называются каноническими уравнениями Гамильтона. Эти уравнения, как следует из вывода, эквивалентны уравнениям Лагранжа (27.23). Однако уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеют более симметричную форму, что в особенности видно из сопоставления этих уравнений в отсутствие диссипативных сил:
Приведем в качестве примера уравнения Гамильтона свободной точки: в обычном потенциальном поле (в декартовых и цилиндрических координатах, см. (42.2) и (42.3)
в обобщенно-потенциальном поле (в декартовых координатах» см. (42.6))
Закон сохранения обобщенного импульса в канонических переменных формулируется аналогично (28.2). Действительно, из соотношений (42.12) видно, что частные производные и Н по координатам обращаются в нуль только одновременно. Следовательно, если какая-либо координата является циклической в отношении функции Лагранжа, то она будет циклической и в отношении функции Гамильтона. Таким образом, уравнения (42.13) приводят к следующей форме закона сохранения обобщенного импульса:
Частные производные от
из которого следует соответствующий закон сохранения
(в этом случае система называется обобщенно-консервативной). Пример 42.1. Функция Гамильтона и интегралы канонических уравнений в задаче двух тел. Функция Лагранжа двух материальных точек с потенциальной энергией взаимодействия
где
Отсюда видно, что проекции радиуса-вектора центра масс
Первый из этих интегралов соответствует сохранению импульса системы, а второй — сохранению кинетического момента относительно полярной оси, проходящей через центр масс. В силу произвольности выбора оси ее можно направить вдоль вектора общий случай, когда в последующие моменты времени угол
Эта функция не зависит явно от времени и координаты 0, что приводит к двум интегралам
Получая с помощью найденного гамильтониана канонические уравнения
и используя приведенные выше интегралы движения, нетрудно решение задачи двух тел привести к известным квадратурам (см. (12.18)).
|
1 |
Оглавление
|