Глава IX. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат как функций времени. Этим уравнениям можно сопоставить эквивалентную систему уравнений первого порядка, где в качестве неизвестных взяты функций времени: обобщенных координат и обобщенных импульсов Переменные называются каноническими, а соответствующая система уравнений движения называется каноническими уравнениями Гамильтона.

Исследование свойств уравнений Гамильтона привело к формулировке ряда эффективных методов решения динамических задач. Кроме того, оказалось, что известная равноправность обобщенных импульсов и координат, имеющая место в уравнениях Гамильтона, является таким свойством, которое можно использовать при построении статистической и квантовой механики.

§ 42. Канонические уравнения

Движение механической системы с голономными идеальными связями, обобщенно-потенциальными и диссипативными заданными силами подчинено уравнениям Лагранжа (27.23). Конкретный вид этих уравнений определяется лагранжианом как функцией переменных и . Что касается уравнений Гамильтона, то, как будет показано ниже, их конкретный вид определяется обобщенной энергией (см. (28.10)) как функцией переменных . Эта функция, равная по определению

называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом); здесь обобщенные скорости как функции канонических переменных определяются из системы уравнений (28.4) (детерминант этой системы отличен от нуля — см. (27.6)).

Например, функция Гамильтона свободной точки в потенциальном поле (в декартовых, цилиндрических и сферических координатах) (см. формулы (1) и (4) примера 26.4)

Подставляя в (42.1) функцию Лагранжа (см. (27.11))

свободного заряда, движущегося в заданном электромагнитном поле с потенциалами А и и переходя к обобщенному импульсу, равному

получим гамильтониан такого заряда:

Функция Лагранжа свободной точки относительно произвольной неинерциальной системы S определяется кинетической энергией точки относительно обобщенным потенциалом сил инерции (29.4) и потенциалом сил взаимодействия

где и — радиус-вектор и скорость точки относительно — ускорение начала системы S и ее угловая скорость относительно инерциальной системы 5. Определяя обобщенный импульс

и обобщенную энергию (см. (28.11))

находим функцию Гамильтона

Упрощая (42.8), окончательно получим

Теперь выведем уравнения Гамильтона. С этой целью возьмем дифференциал от функции Н, один раз как от известной функции а другой раз исходя из определения (42.1). Тогда получим

Сопоставляя здесь отдельные члены и используя определение обобщенного импульса (см. стр. 243), найдем соотношения

Выражая далее с помощью уравнений движения (27.23) каждую производную через производную соответствующего обобщенного импульса по времени, получим систему уравнений

которые называются каноническими уравнениями Гамильтона.

Эти уравнения, как следует из вывода, эквивалентны уравнениям Лагранжа (27.23). Однако уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеют более симметричную форму, что в особенности видно из сопоставления этих уравнений в отсутствие диссипативных сил:

Приведем в качестве примера уравнения Гамильтона свободной точки: в обычном потенциальном поле (в декартовых и цилиндрических координатах, см. (42.2) и (42.3)

в обобщенно-потенциальном поле (в декартовых координатах» см. (42.6))

Закон сохранения обобщенного импульса в канонических переменных формулируется аналогично (28.2). Действительно, из соотношений (42.12) видно, что частные производные и Н по координатам обращаются в нуль только одновременно. Следовательно, если какая-либо координата является циклической в отношении функции Лагранжа, то она будет циклической и в отношении функции Гамильтона. Таким образом, уравнения (42.13) приводят к следующей форме закона сохранения обобщенного импульса:

Частные производные от по времени обращаются в нуль также одновременно (см. (42.12)). Эта «цикличность» времени приводит к сохранению функции Н. Действительно, из уравнения (28.9) и последнего из соотношений (42.12) получим закон изменения функции Гамильтона

из которого следует соответствующий закон сохранения

(в этом случае система называется обобщенно-консервативной).

Пример 42.1. Функция Гамильтона и интегралы канонических уравнений в задаче двух тел.

Функция Лагранжа двух материальных точек с потенциальной энергией взаимодействия может быть представлена в виде

где — сумма масс обеих точек, их приведенная масса, — скорость центра масс точек, — модуль разности скоростей точек, расстояние между ними. Выбирая в качестве обобщенных импульсов проекции импульса системы и обобщенные импульсы характеризующие движение точек относительно центра масс, для функции Гамильтона получим выражение

Отсюда видно, что проекции радиуса-вектора центра масс и угол являются циклическими координатами. Это приводит к интегралам

Первый из этих интегралов соответствует сохранению импульса системы, а второй — сохранению кинетического момента относительно полярной оси, проходящей через центр масс. В силу произвольности выбора оси ее можно направить вдоль вектора Тогда полярный угол , следовательно, Рассматривая

общий случай, когда в последующие моменты времени угол отличен от нуля, приходим к выводу, что в любой момент времени, т. е. движение точки относительно центра масс, происходит в плоскости, сохраняющей свою ориентацию. Функция Гамильтона, описывающая движение системы в этой плоскости, будет иметь вид

Эта функция не зависит явно от времени и координаты 0, что приводит к двум интегралам

Получая с помощью найденного гамильтониана канонические уравнения

и используя приведенные выше интегралы движения, нетрудно решение задачи двух тел привести к известным квадратурам (см. (12.18)).