§ 44. Скобки Пуассона

Движение механической системы с обобщенным потенциалом и голономными идеальными связями в отсутствие диссипативных сил подчиняется уравнениям Гамильтона (42.15). Найдем необходимое и достаточное условие того, чтобы некоторая функция сохраняла постоянное значение с течением времени:

т. е. представляла собой первый интеграл уравнений (42.15).

Пусть (44.1) имеет место; тогда полная производная по времени от функции равна нулю, т. е.

Используя уравнения (42.15), получим интересующее нас необходимое условие в виде

где

Обратные рассуждения убеждают в достаточности условия (44.2).

Это условие записано с помощью дифференциального выражения, обозначенного символом . Вообще для двух функций канонических переменных можно составить выражение

которое называется скобками Пуассона. Оно обладает свойством антисимметрии, так как

и рядом других столь же очевидных свойств, вытекающих из определения (44.3):

Более громоздко доказательство тождества Пуассона

С помощью этого тождества нетрудно доказать теорему Пуассона, в которой утверждается: если функции являются первыми интегралами канонических уравнений (42.15), то и также будет интегралом этих уравнений, т. е.

Из условий теоремы и в силу (44.2) имеем

Составляя далее тождество Пуассона для функций и исключая из него с помощью (44.10) скобки , получим тождество

которое сводится (см. (44.4) и (44.6)) к условию (44.2) для функции

что и доказывает теорему.

Пусть, например, функция Гамильтона явно от времени не зависит, является интегралом системы (42.15). Тогда на основании условия (44.2) и теоремы Пуассона, примененной к функциям , можно утверждать, что частные производные являются интегралами канонических уравнений т. е.

Эти интегралы могут оказаться новыми интегралами, независимыми от исходного. Однако если явно от времени не зависит, то вместо (44.12) придем к тривиальному тождеству Это обстоятельство нужно иметь в виду, применяя теорему Пуассона.

С помощью скобок Пуассона можно записать ряд соотношений, имеющих важные аналогии в квантовой механике. Например, фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скобки от самих канонических переменных:

являются классическими аналогами перестановочных соотношений Гейзенберга [38, 39].

Получим еще два легко проверяемых результата, имеющих квантовомеханические аналоги. Используя определение момента импульса одной точки, нетрудно показать, что между проекциями момента импульса в декартовых координатах имеют место соотношения

Следовательно, две компоненты момента импульса не могут одновременно играть роль канонических переменных, так как канонические переменные должны удовлетворять фундаментальным соотношениям (44.13) (этому утверждению, справедливому в классической механике, соответствует квантовомеханическое утверждение о том, что две компоненты момента не могут быть одновременно точно вычислены). Вместе с тем квадрат момента

и любая компонента момента могут одновременно играть роль обобщенных импульсов (в квантовомеханической теории этому соответствует возможность одновременного точного вычисления Действительно, используя тождества (44.5) и (44.7), найдем

Отсюда, используя (44.14), получим для любой компоненты

Наконец, покажем, как с помощью скобок Пуассона формулируется одно из основных уравнений статистической механики. Вероятность пребывания механической системы в элементарном фазовом объеме определяется как отношение числа систем ансамбля Гиббса, находящихся в к постоянному числу всех систем этого ансамбля, наверняка находящихся в некотором фиксированном фазовом объеме Соответственно плотность вероятности 2) определяется как отношение вероятности к соответствующему фазовому объему , т. е.

(плотность вероятности является функцией переменных

Рассматривая определенных систем, занимающих в моменты времени и фазовые объемы соответственно, получим очевидное равенство которое, согласно определению (44.16), можно записать в виде

здесь — плотность вероятности пребывания системы в момент времени в фазовой точке, находящейся в объеме — плотность вероятности в момент в точке, находящейся в объеме . Учитывая, что величины фазовых объемов равны между собой (см. (43.12)), получим Таким образом, плотность вероятности оказывается интегралом канонических уравнений и, следовательно, подчиняется уравнению

которое представляет собой одно из основных уравнений статистической механики.

Закон (44.17) изменения плотности вероятности в фазовом пространстве аналогичен уравнению непрерывности несжимаемой жидкости. Действительно, плотность жидкости, являющаяся функцией положения частицы жидкости и времени, для данной частицы несжимаемой жидкости сохраняет постоянное значение; поэтому ее полная производная по времени равна нулю:

где — скорость частицы жидкости. Сравнение этого уравнения непрерывности с уравнением (44.17) показывает, что можно провести аналогию между плотностью вероятности и плотностью жидкости, между -мерным градиентом плотности вероятности с компонентами и градиентом плотности жидкости, между -мерной «скоростью» фазовой «частицы» с компонентами и скоростью частицы жидкости. Следовательно, движение ансамбля систем, подчиненных уравнениям (42.15), можно представить себе как движение «несжимаемой фазовой жидкости».

Пример 44.1. Скобки Пуассона для проекций радиуса-вектора импульса и момента импульса точки.

Найти скобки Пуассона для проекций радиуса-вектора, импульса, момента импульса точки и показать, что в центральносимметричном поле соответствующие скобки Пуассона приводят к интегралам момента.

Выберем в качестве независимых координат свободной материальной точки ее декартовы координаты. Обобщенными импульсами при этом будут проекции импульса точки Составляя скобки Пуассона для а затем для в случае произвольного потенциального внешнего поля получим

(эти результаты полезно сравнить с соответствующими квантовомеханическими соотношениями).

Если точка движется в центрально-симметричном поле, то, вычисляя скобку

где найдем

Последнее условие совпадает с условием (44.2), поскольку явно от времени не зависит. Следовательно, является интегралом движения канонических уравнений. Составляя скобку Пуассона , аналогично убедимся, что и Что касается проекции то она, как нетрудно подсчитать, равна скобке , согласно теореме Пуассона, также сохраняется.