ЧАСТЬ II. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Глава X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

§ 52. Физически бесконечно малая частица

Одним из важнейших объектов механики являются системы с очень большим (практически бесконечным) числом N молекул, которые располагаются в пространстве в известном смысле плотно, т. е. образуют континуум или сплошную среду. Исходя из классико-механических представлений о движении таких систем, можно написать соответствующие уравнения движения, однако проинтегрировать их невозможно. Например, чтобы найти закон движения молекул, находящихся в воздуха при атмосферном давлении и комнатной температуре, потребовалось бы проинтегрировать примерно 1019 уравнений движения. Поэтому естественно ограничиться приближенным (но практически весьма точным) описанием движения сплошной среды. С этой целью рассматривается не отдельная молекула, а физически бесконечно малая частица, т. е. совокупность молекул, число которых, с одной стороны, достаточно велико а с другой стороны, весьма мало по сравнению с числом молекул во всей системе или в ее какой-либо макроскопической части эта совокупность должна занимать физически бесконечно малый объем т. е. объем, который достаточно велик чтобы содержать большое число молекул, и весьма мал по сравнению с областью заметного изменения макроскопических параметров среды.

Положение данной физически бесконечно малой частицы к момент времени задают радиусом-вектором центра масс этой частицы, усредненным по физически бесконечно малому интервалу времени который намного больше, чем некоторое время, характерное для движения отдельной молекулы под действием других молекул, и весьма мал по сравнению

со временем заметного изменения макроскопических параметров среды (интервал М должен включать в себя момент времени . Таким образом, если говорят, что физически бесконечно малая частица в момент времени находится в точке пространства, то следует иметь в виду, что в определениях этих величин имеются неточности порядка . В механике сплошных сред указанными неточностями пренебрегают и в соответствии с этим считают возможным рассматривать изменение состояния частицы за бесконечно малый интервал времени а также рассматривать бесконечно малое перемещение частицы из точки пространства в точку

По аналогии с определением скорости центра масс (см. (9.2)) полагают, что скорость данной частицы связана с ее радиусом-вектором соотношением

а по аналогии с (9.3) ускорение частицы считают равным

Обсудим теперь другое важное понятие механики сплошных сред, а именно, понятие о поле. Напомним, что полем называется любая физическая величина, заданная как функция точки пространства и времени. Поля могут быть скалярными, векторными, тензорными и др. Рассмотрим, например, скалярное поле плотности массы. Для этого усредним по физически бесконечно малому интервалу времени А (включающему в себя данный момент массу всех молекул, находящихся в физически бесконечно малом объеме (включающем в себя конец данного вектора ). Затем отнесем найденное таким образом среднее значение массы к и определим плотность массы той частицы, которая в момент времени находится в точке Повторяя эту процедуру для любого в любой момент найдем плотность массы

как функцию точки пространства и времени, т. е. найдем поле плотности массы.

Бесконечно малое перемещение данной частицы, вообще говоря, зависит от положения частицы до перемещения, т. е. от , а в общем случае и от времени Таким образом, перемещение является векторной функцией координат и времени

эта функция называется полем беконечно малых перемещений. Отсюда, используя (52.1), можно определить поле скоростей

в среде. Это поле можно также определить, усредняя по физически бесконечно малому интервалу времени скорость центра масс материальных точек, находящихся в объеме и подсчитывая эту величину для разных Далее в этой главе будут рассмотрены другие поля, характеризующие сплошную среду.

Итак, в механике сплошных сред макроскопические движения дискретной системы, состоящей из бесконечно большого числа микроскопических объектов — молекул, описываются усредненными величинами, а именно, полевыми («континуальными») функциями. Общие соотношения между этими функциями, т. е. законы механики сплошных сред, были установлены в соответствии с очень большим числом экспериментальных данных. Эти законы являются основой весьма обширной области исследований движения различных сред, а также основой многочисленных технических приложений. Подчеркнем также, что взаимосвязь макроскопических движений среды, изучаемых в механике сплошных сред, с движением и свойствами молекул, из которых состоит среда, изучается в статистической физике. Поэтому статистическая теория дает теоретическое обоснование соотношений и законов, постулируемых в этой главе, см. [59].