Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 41. Линейные неголономные связиВ заключение главы кратко рассмотрим уравнения движения механической системы с неголономными связями. Пусть на систему
где все коэффициенты
Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа к условию идеальности связей (24.7) и к уравнениям для виртуальных перемещений (24.6) и (41.2), найдем соотношения между реакциями связей и уравнениями связей (сравнить с выводом соотношений (25.3))
где все Как легко убедиться, эта система эквивалентна общему уравнению механики с уравнениями связей (см. (26.1) — (26.3) и примечание на стр. 225):
Найдем эквивалентную системе (41.4) систему уравнений Лагранжа в обобщенных координатах. С этой целью, используя голономные связи, введем
где
Заметим, что выражения, стоящие в фигурных скобках, нельзя приравнивать нулю, поскольку неголономные связи налагают на вариации обобщенных координат условия
и, следовательно, координаты Чтобы получить дифференциальные уравнения движения, применим к первому из уравнений (41.5) и уравнениям (41.6) метод неопределенных множителей Лагранжа. В результате придем к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах для систем с голономными и линейными неголономными связями
эти Одной из известных систем с неголономной связью является шар, катящийся по абсолютно шероховатой твердой плоскости. Ввиду отсутствия скольжения скорость точки шара, касающейся плоскости, равна нулю. В связи с этим условие качения можно записать в виде (см. (19.10), (37.1) и формулу (1) примера
где
где
или
Пример 41.1. Движение конька по горизонтальной плоскости. Пусть однородный тонкий стержень (конек) массы Совместим координатную плоскость
где
Учитывая, что
с четырьмя неизвестными функциями времени: Из третьего уравнения системы (2) найдем
Из уравнения неголономной связи следует, что проекции скорости центра масс стержня (конька) имеют вид
а из первых двух уравнений системы (2) и уравнения связи (1) вытекает, что ускорение центра масс
где Интегрируя (5) по времени и определяя постоянные интегрирования, получим
Отсюда следует, что центр масс стержня (конька) движется по окружности
радиуса
причем движение по окружности происходит с постоянной по величине скоростью. Наконец, дифференцируя (5), получим выражения
|
1 |
Оглавление
|