§ 69. Упругие волны
Изменение положения частицы упругого тела со временем, связано, вообще говоря, с изменением ее температуры. Однако распространение колебаний частиц вдоль тела (т. е. упругие волны) происходит достаточно быстро по сравнению с передачей тепла от частицы к частице. Поэтому эти волны можно считать изэнтропическим процессом. Тогда изменение температуры данной частицы тела будет определенным образом связано с изменением деформации этой частицы, что в свою очередь скажется на напряжениях.
Вычислим тензор напряжений, учитывая изэнтропичность упругой волны. С этой целью используем (67.30), т. е. выражение для
энтропии, как функции деформаций и температуры, и положим в нем 
Тогда найдем изменение температуры
и тензор напряжений с учетом этого изменения (см. (67.27)):
Полученный тензор отличается от тензора напряжений (67.21) тем, что вместо изотермического модуля упругости к здесь появился адиабатический модуль
(при этом модуль сдвига не изменился).
Уравнение для смещений в упругой волне в отсутствии объемных сил получим аналогично уравнению (67.31), используя (69.2) и (67.6). В результате найдем, что
или
где
Теперь покажем, что уравнение движения (69.4) (или (69.5)) может быть сведено к системе двух уравнений, из которых одно описывает распространение продольной упругой волны со скоростью 
, а другое — распространение поперечной упругой волны со скоростью 
Согласно теореме Гельмгольца о представлении векторного поля в виде суммы потенциального и соленоидального нолей (см. (60.12) — (60.14)), положим
где
а
Подставляя (69.7) в (69.5) и учитывая (69.8), (69.9), а также то, что
найдем исходное уравнение в виде
Исключим отсюда 
. С этой целью применим к членам уравнения (69.10) операцию 
имея в виду (69.9) и то, что 
Тогда получим, что
при
так как 
— потенциальный вектор. Если же во всем пространстве 
вектора равны нулю, то и сам вектор должен равняться нулю. Следовательно, потенциальная часть смещения — вектор 
— подчинен волновому уравнению
которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью 
эти волны являются волнами сжатий и растяжений, поскольку 
Применяя к обеим частям (69.10) операцию 
учитывая (69.8) и то, что 
исключим из уравнения вектор их и найдем, что
Но для соленоидального вектора
Поэтому из (69.12) получим
причем согласно (69.9)
Следовательно, вектор 
подчиняется уравнению
которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью 
Эти волны являются волнами сдвига, поскольку смещения частиц в такой волне представляют собой повороты 
, не сопровождающиеся изменением объема частиц 
Наконец, рассматривая плоские монохроматические волны смещений
подставляя эти смещения в соответствующие волновые уравнения: и условия (69.8), (69.9), получим для первой волны
и для второй волны
Отсюда ясно, что волны сжатия и расширения являются продольными, поскольку к 
а волны сдвига — поперечными, так как 
