Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 31. Положение устойчивого равновесияТеория собственных линейных колебаний системы с s степенями свободы во многом аналогична теории одномерных колебаний. В этой теории предполагается, что связи, наложенные на систему, идеальны, голономны и стационарны, а заданные силы явно от времени не зависят; кроме того, предполагается, что система обладает по крайней мере одним положением устойчивого равновесия. Существо этой теории сводится к линеаризации уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Поэтому исследование собственных колебаний нужно начинать с отыскания таких положений. Прежде всего напомним, что необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в некотором положении — положении равновесия
Таким образом, состояние равновесия характеризуется Определим положение устойчивого равновесия. Пусть для сколь угодно малых наперед заданных положительных величин
если только отклонения и скорости в начальный момент времени, удовлетворяют неравенствам
(величины Достаточный признак устойчивости положения равновесия механической системы относительно инерциальной системы отсчета устанавливается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные связи, наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от времени не зависят, а потенциальная энергия системы в некотором положении обладает изолированным минимумом; тогда это положение будет положением устойчивого равновесия. Минимум потенциальной энергии нет других экстремальных «точек» функции
(положительные величины
а равенство имеет место только в том случае, когда Сначала докажем сформулированную теорему, предполагая, что диссипативные силы отсутствуют, т. е. предполагая, что полная энергия системы сохраняется
Так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной, то, полагая
если
причем Т равняется нулю только в том случае, если все
а равенство имеет место только в том случае, когда все отклонения от положения равновесия и скорости равны нулю, т. е. Зададим некоторую
Точки, лежащие на границе этой окрестности, определяются такими значениями отклонений и скоростей, когда по крайней мере одно отклонение
Полную энергию как функцию «точки», лежащей на указанной границе, обозначим символом Теперь выберем такую
где
Следовательно, в любой момент времени Для иллюстрации рассмотрим доказательство теоремы на частном примере циклоидального маятника (см. пример 26.1). Энергия такого маятника равна
где
Рис. 31.1 В точках 2 Ее принимает значение
Аналогично максимальное значение энергии на границе
Подберем
Очевидно, что этот подбор Доказательство достаточного признака устойчивости положения равновесия было проведено без учета диссипативных сил. Если эти силы присутствуют, то полная энергия системы убывает. Следовательно, повторяя доказательство, вместо (31.9) получим
откуда и вытекает справедливость теоремы. Можно также сформулировать достаточный признак устойчивости относительно неинерциальной системы отсчета. В этом случае к условию теоремы нужно добавить требования постоянства Заметим, что наряду с признаком устойчивости положения равновесия большое значение имеют признаки неустойчивости; они в ряде важных случаев устанавливаются теоремами Ляпунова и Четаева [30, 23]. Пример 31. 1. Положение устойчивого равновесия материальной точки, подвешенной на пружине.
Рис. 31.2 Точка массы Выберем систему координат так, как это показано на рис. 31.2, а в качестве независимых координат возьмем полярные координаты
Для отыскания положения устойчивого равновесия найдем первые и вторые производные от
Приравнивая первые производные нулю, определим положения равновесия. Одно из них, а именно положение
является устойчивым. Действительно, в этом положении вторые производные равны
и удовлетворяют неравенствам
что свидетельствует о наличии изолированного минимума потенциальной энергии [40, гл. 14, § 6, п. 8]. Другое положение равновесия
как нетрудно убедиться, является неустойчивым. Пример 31.2. Колебания точки на вращающемся стержне. Точка массы Напишем обобщенный потенциал в неинерциальной системе отсчета Оху (см. рис. 2.3, в и формулу (29.4)). В рассматриваемом случае векторы
Отсюда, приравнивая первую производную от
Это положение существует и будет устойчивым, если угловая скорость удовлетворяет условию отклонение
Используя это выражение и выражение кинетической энергии относительно
найдем уравнение Лагранжа (см. (29.5))
При
Пример 31.3. Колебания точки на вращающемся эллипсе. Точка массы
Рис. 31.3 Выберем инерциальную систему
Тогда кинетическая энергия относительно системы S равна
а обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии точки в поле тяжести и в поле центробежной силы инерции:
Приравнивая нулю первую производную от
Рассматривая в этих точках значения второй производной от Предполагая, что
Отсюда, используя (29.5) и (30.5) - (30.ll), найдем частоту
Если же
где
(здесь
|
1 |
Оглавление
|