§ 31. Положение устойчивого равновесия

Теория собственных линейных колебаний системы с s степенями свободы во многом аналогична теории одномерных колебаний. В этой теории предполагается, что связи, наложенные на систему, идеальны, голономны и стационарны, а заданные силы явно от времени не зависят; кроме того, предполагается, что система обладает по крайней мере одним положением устойчивого равновесия.

Существо этой теории сводится к линеаризации уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Поэтому исследование собственных колебаний нужно начинать с отыскания таких положений. Прежде всего напомним, что необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в некотором положении — положении

равновесия Приведем это условие в более общем случае, когда обобщенные силы зависят не только от координат но и от скоростей q:

Таким образом, состояние равновесия характеризуется величинами: . Это состояние может быть представлено в виде точки -мерного пространства обобщенных координат и скоростей.

Определим положение устойчивого равновесия. Пусть для сколь угодно малых наперед заданных положительных величин можно найти такие положительные величины и что для любого момента времени отклонения от положения равновесия и скорости будут удовлетворять неравенствам

если только отклонения и скорости в начальный момент времени, удовлетворяют неравенствам

(величины , конечно, зависят от наперед заданных величин ). Тогда положение равновесия называется устойчивым. (Для краткости окрестность состояния равновесия в. пространстве, определяемую условием (31.2), назовем -окрестностью «точки» а окрестность, определяемую (31.3), -окрестностью этой «точки».)

Достаточный признак устойчивости положения равновесия механической системы относительно инерциальной системы отсчета устанавливается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные связи, наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от времени не зависят, а потенциальная энергия системы в некотором положении обладает изолированным минимумом; тогда это положение будет положением устойчивого равновесия. Минимум потенциальной энергии называется изолированным, если в некоторой окрестности положения в котором энергия минимальна,

нет других экстремальных «точек» функции Иначе говоря, минимум будет изолированным, если при

(положительные величины определяют окрестность минимума), потенциальная энергия удовлетворяет условию

а равенство имеет место только в том случае, когда

Сначала докажем сформулированную теорему, предполагая, что диссипативные силы отсутствуют, т. е. предполагая, что полная энергия системы сохраняется Положение в котором потенциальная энергия системы минимальна, является положением равновесия. В самом деле, обобщенные силы, приложенные к системе, покоящейся в этом положении, равны нулю (см. (27.22) и (31.1)):

Так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной, то, полагая из условия теоремы получим

если (здесь равенство имеет место только в том случае, если все ). Из условия стационарности связей вытекает, что кинетическая энергия является положительно определенной формой обобщенных скоростей (см. (27.1) и (27.2)), т. е.

причем Т равняется нулю только в том случае, если все Из (31.4) и (31.5) следует, что в -окрестности

а равенство имеет место только в том случае, когда все отклонения от положения равновесия и скорости равны нулю, т. е. . Итак, из условия теоремы (в отсутствие диссипативных сил) вытекает, что полная энергия системы при ее перемещениях сохраняется, а как функция обобщенных координат и скоростей имеет изолированный минимум в -мерной точке

Зададим некоторую -окрестность состояния равновесия, т. е. зададим сколь угодно малые величины

Точки, лежащие на границе этой окрестности, определяются такими значениями отклонений и скоростей, когда по крайней мере одно отклонение равняется или хотя бы одна скорость , равна , а остальные отклонения и скорости удовлетворяют условиям

Полную энергию как функцию «точки», лежащей на указанной границе, обозначим символом . В силу непрерывности эта функция имеет как максимальное значение так и минимальное значение [40, стр. 246 — 247].

Теперь выберем такую -окрестность состояния равновесия, чтобы выполнялось неравенство

где — значения полной энергии на границе -окрестности. Такой выбор возможен, так как непрерывная функция Е обращается в нуль только при а другие экстремальные «точки» в рассматриваемой -окрестности отсутствуют. Наконец, подчиним начальные условия неравенствам (31.3), где совокупность величин и удовлетворяет требованию (31.8). Тогда (такой выбор начальных условий возможен в силу тех же причин). Таким образом, для заданной сколь угодно малой -окрестности положения всегда может быть найдена такая -окрестность и такие начальные условия, чтобы

Следовательно, в любой момент времени Это означает, что ни одна из обобщенных координат и скоростей системы с течением времени не достигает границ -окрестности, так как на границе , что и доказывает теорему в отсутствие диссипативных сил.

Для иллюстрации рассмотрим доказательство теоремы на частном примере циклоидального маятника (см. пример 26.1). Энергия такого маятника равна

где длина пути точки, отсчитываемая от положения равновесия Зададимся -окрестностью состояния равновесия, т. е. возьмем сколь угодно малые величины удовлетворяющие неравенствам (для определенности будем считать, что ). Поскольку движение в данном случае одномерное, состояние маятника можно изобразить на плоскости, откладывая по одной оси координату а по другой — обобщенную скорость Тогда границей -окрестности будет граница прямоугольника (рис. 31.1). В точках 1 этой границы функция Ее достигает своего максимального значения

Рис. 31.1

В точках 2 Ее принимает значение а в точках имеет минимальное значение

Аналогично максимальное значение энергии на границе -окрестности равно

Подберем так, чтобы выполнялось неравенство (31.8):

Очевидно, что этот подбор -окрестности можно осуществить при любом сколь угодно малом При этом «траектория» точки (эллипс) в плоскости будет лежать внутри эллипса, соответствующего , если в начальный момент времени точка находится внутри -окрестности.

Доказательство достаточного признака устойчивости положения равновесия было проведено без учета диссипативных сил.

Если эти силы присутствуют, то полная энергия системы убывает. Следовательно, повторяя доказательство, вместо (31.9) получим

откуда и вытекает справедливость теоремы.

Можно также сформулировать достаточный признак устойчивости относительно неинерциальной системы отсчета. В этом случае к условию теоремы нужно добавить требования постоянства — ускорения начала неинерциальной системы и — ее угловой скорости. Такое заключение вытекает из закона изменения энергии относительно неинерциальной системы отсчета, который в рассматриваемом случае по форме совпадает с уравнением (22.24), полученным для свободных систем (совпадение имеет место, поскольку мощность реакций идеальных стационарных связей равна нулю).

Заметим, что наряду с признаком устойчивости положения равновесия большое значение имеют признаки неустойчивости; они в ряде важных случаев устанавливаются теоремами Ляпунова и Четаева [30, 23].

Пример 31. 1. Положение устойчивого равновесия материальной точки, подвешенной на пружине.

Рис. 31.2

Точка массы подвешена на пружине жесткости и и длины а в ненапряженном состоянии. Определим положение устойчивого равновесия точки (напряженность поля тяготения равна

Выберем систему координат так, как это показано на рис. 31.2, а в качестве независимых координат возьмем полярные координаты . Тогда потенциальная энергия, равная сумме энергии точки в поле тяготения и энергии упругой деформации пружины, имеет вид

Для отыскания положения устойчивого равновесия найдем первые и вторые производные от по

Приравнивая первые производные нулю, определим положения равновесия. Одно из них, а именно положение

является устойчивым. Действительно, в этом положении вторые производные равны

и удовлетворяют неравенствам

что свидетельствует о наличии изолированного минимума потенциальной энергии [40, гл. 14, § 6, п. 8]. Другое положение равновесия

как нетрудно убедиться, является неустойчивым.

Пример 31.2. Колебания точки на вращающемся стержне. Точка массы движется по гладкому тонкому стержню, вращающемуся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через неподвижную точку стержня О. Ось и материальная точка соединены между собой пружиной жесткости и и длины а в ненапряженном состоянии (см. (2.8)). Определить собственную частоту колебаний точки около положения устойчивого равновесия.

Напишем обобщенный потенциал в неинерциальной системе отсчета Оху (см. рис. 2.3, в и формулу (29.4)). В рассматриваемом случае векторы перпендикулярны, следовательно, обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии в поле упругой силы и центробежной силы инерции:

Отсюда, приравнивая первую производную от по х нулю, получим положение равновесия

Это положение существует и будет устойчивым, если угловая скорость удовлетворяет условию Выражая через

отклонение и отбрасывая несущественную постоянную получим

Используя это выражение и выражение кинетической энергии относительно

найдем уравнение Лагранжа (см. (29.5))

При решение этого уравнения описывает гармоническое колебание точки с частотой, равной

Пример 31.3. Колебания точки на вращающемся эллипсе. Точка массы движется по гладкому эллипсу с полуосями а и Эллипс вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, совпадающей с одной из его полуосей (рис. 31.3). Найти частоту линейных колебаний точки.

Рис. 31.3

Выберем инерциальную систему и неинерциальную систему как это показано на рис. 31.3. В качестве независимой переменной используем безразмерный параметр определяемый функциями

Тогда кинетическая энергия относительно системы S равна

а обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии точки в поле тяжести и в поле центробежной силы инерции:

Приравнивая нулю первую производную от по найдем положения равновесия

Рассматривая в этих точках значения второй производной от по получим, что положение устойчиво, если (в противном случае оно неустойчиво); положения, определяемые равенством , устойчивы, если если же то этих положений равновесия не существует; что касается положения то оно в любом случае неустойчиво.

Предполагая, что разложим Т и в положении устойчивого равновесия В результате с точностью до членов второго порядка малости включительно получим

Отсюда, используя (29.5) и (30.5) - (30.ll), найдем частоту колебаний около положения

Если же то Т и следует разлагать в точках, определяемых равенством . Тогда

где Частота колебаний около рассматриваемого положения равновесия будет равна

(здесь определен выше).