§ 65. Малые колебания

Рассмотрим плоскую звуковую волну, распространяющуюся в вязкой жидкости в положительном направлении оси . С целью упрощения задачи допустим, что коэффициенты вязкости постоянны, а теплопроводностью жидкости можно пренебречь. Тогда исходными уравнениями для описания звуковой волны будут уравнения непрерывности и Навье—Стокса, а также уравнение для энтропии и энергии. Вводя малые возмущения плотности, давления:

и других величин аналогично тому, как они были введены в § 60 и интересуясь только линейным приближением, из уравнения Навье—Стокса (64.3) найдем

Далее, из уравнения (63.13) следует, что течение жидкости в звуковой волне можно считать приближенно изэнтропическим, поскольку диссипативная функция (63.10) содержит только квадратичные относительно члены, а теплопроводностью жидкости мы пренебрегли (уравнение энергии (63.12) и уравнение непрерывности с учетом указанных допущений приводят к тому же выводу об изэнтропичности течения). В этом случае можно использовать соотношение (60.6) между возмущениями давления и плотности

Итак, возьмем уравнение непрерывности (60.3) для одномерных течений и исключим из (65.1) с помощью (60.6). Тогда получим систему уравнений

решение которой будем искать в виде

где постоянные амплитуды, а волновое число, равное

является комплексным; здесь — вещественное волновое число, а коэффициент приводящий согласно (65.4) к появлению экспоненциального множителя в решении уравнений, называется коэффициентом затухания звука.

Найдем фазовую скорость с звука (см. (60.28)) и коэффициент затухания а, считая последний достаточно малым. С этой целью подставим (65.4) в (65.2), (65.3) и после сокращения на общий множитель найдем

Характеристическое уравнение этой системы

определяет закон дисперсии (см. (60.32))

где

Теперь подставим (65.5) в (65.8) и отделим вещественную и мнимую части. Тогда получим два уравнения относительно :

Допуская, что частота звука достаточна мала, т. е.

и пренебрегая в (65.9) членами порядка и выше, из (65.9) найдем

Приведем также более подробные выражения для фазовой скорости звука

и для коэффициента затухания

Как видно, скорость звука зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия скорости (см. (60.31)). Также заметим, что разность и коэффициент поглощения звука пропорциональны квадрату его частоты.

Наряду с изученными сейчас продольными волнами, в вязкой жидкости могут распространяться поперечные возмущения (поскольку сдвиговые напряжения в такой среде отличны от нуля). В этом можно убедиться, показав, что уравнения движения вязкой жидкости имеют решение в виде плоской волны, распространяющейся вдоль некоторого направления, с полем скоростей, перпендикулярных этому направлению. Такие возмущения возникают в жидкости, соприкасающейся с плоскостью, колеблющейся параллельно самой себе. Направим ось х перпендикулярно к такой плоскости, а ось у коллинеарно прямой, вдоль которой происходят колебания плоскости. И будем искать решение для скорости в виде (другие величины также пусть зависят только от X и ).

Положим для простоты, что жидкость несжимаема. Тогда уравнение (64.6) удовлетворяется тождественному а (64.7) приводит к двум уравнениям: во-первых, к уравнению откуда следует, что давление постоянно, и, во-вторых, к уравнению

Будем искать решение уравнения (65.13) в виде

Тогда придем к закону дисперсии

откуда, имея в виду (65.5), получим

Следовательно, фазовая скорость и коэффициент затухания рассматриваемой волны соответственно равны

Таким образом, в вязкой жидкости действительно могут возникать малые поперечные возмущения, которые очень быстро затухают; амплитуда волны падает в раз на расстоянии , а на расстоянии, равном длине волны падает в раз, причем отношение коэффициента затухания звука к коэффициенту затухания поперечной волны пропорционально