Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 65. Малые колебанияРассмотрим плоскую звуковую волну, распространяющуюся в вязкой жидкости в положительном направлении оси и других величин аналогично тому, как они были введены в § 60 и интересуясь только линейным приближением, из уравнения Навье—Стокса (64.3) найдем
Далее, из уравнения (63.13) следует, что течение жидкости в звуковой волне можно считать приближенно изэнтропическим, поскольку диссипативная функция (63.10) содержит только квадратичные относительно Итак, возьмем уравнение непрерывности (60.3) для одномерных течений и исключим
решение которой будем искать в виде
где
является комплексным; здесь Найдем фазовую скорость с звука (см. (60.28)) и коэффициент затухания а, считая последний достаточно малым. С этой целью подставим (65.4) в (65.2), (65.3) и после сокращения на общий множитель найдем
Характеристическое уравнение этой системы
определяет закон дисперсии (см. (60.32))
где
Теперь подставим (65.5) в (65.8) и отделим вещественную и мнимую части. Тогда получим два уравнения относительно
Допуская, что частота звука достаточна мала, т. е.
и пренебрегая в (65.9) членами порядка
Приведем также более подробные выражения для фазовой скорости звука
и для коэффициента затухания
Как видно, скорость звука зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия скорости (см. (60.31)). Также заметим, что разность Наряду с изученными сейчас продольными волнами, в вязкой жидкости могут распространяться поперечные возмущения (поскольку сдвиговые напряжения в такой среде отличны от нуля). В этом можно убедиться, показав, что уравнения движения вязкой жидкости имеют решение в виде плоской волны, распространяющейся вдоль некоторого направления, с полем скоростей, перпендикулярных этому направлению. Такие возмущения возникают в жидкости, соприкасающейся с плоскостью, колеблющейся параллельно самой себе. Направим ось х перпендикулярно к такой плоскости, а ось у коллинеарно прямой, вдоль которой происходят колебания плоскости. И будем искать решение для скорости в виде Положим для простоты, что жидкость несжимаема. Тогда уравнение (64.6) удовлетворяется тождественному
Будем искать решение уравнения (65.13) в виде
Тогда придем к закону дисперсии
откуда, имея в виду (65.5), получим
Следовательно, фазовая скорость и коэффициент затухания рассматриваемой волны соответственно равны
Таким образом, в вязкой жидкости действительно могут возникать малые поперечные возмущения, которые очень быстро затухают; амплитуда волны падает в
|
1 |
Оглавление
|