Главная > Курс теоретической механики для физиков
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 28. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии

В главе II были рассмотрены законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии, вытекающие из уравнений Ньютона; соответственно законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии являются следствием уравнений Лагранжа.

Запишем уравнения (27.23) в виде

где величина называется обобщенным импульсом, соответствующим координате . Из (28.1) следует, что обобщенный импульс сохраняется, если функция Лагранжа явно от координаты не зависит и если соответствующая этой координате диссипативная обобщенная сила равна нулю. Таким образом,

если . Если же все диссипативные силы равны нулю, то закон (28.2) сохранения обобщенного импульса принимает вид

Приведем ряд небольших примеров. Функция Лагранжа для пространственного осциллятора в декартовых координатах имеет; вид (см. (6.30))

а обобщенные импульсы

являются декартовыми проекциями импульса точки. Ни одна из координат х, у, z в данном случае не является циклической, соот ветственно ни один из обобщенных импульсов не сохраняется.

Теперь запишем лагранжиан пространственного осциллятора в сферических координатах (см. (1.24) и формулу (4) в примере 26.4) :

Обобщенными импульсами точки в этих координатах являются

причем обобщенный импульс равен проекции момента импульса точки на ось Поскольку координата циклическая, то сохраняется, т. е.

Лагранжиан циклоидального маятника равен (см. пример

здесь координата не циклическая и обобщенный импульс

не сохраняется.

Наконец, возьмем заряд, движущийся в электростатическом поле неподвижного ядра и постоянном однородном магнитном поле (см. пример 27.1). В этом случае координаты и не циклические, циклическая. Поэтому закон сохранения (28.3) приводит к интегралу

Установим структуру обобщенного импульса в общем случае. Принимая во внимание определение обобщенного импульса и форму лагранжиана (27.24), находим

где — коэффициенты однородных форм кинетической энергии, — коэффициенты однородной формы обобщенного потенциала. Отсюда видно, что обобщенные импульсы являются неоднородными линейными формами обобщенных скоростей.

Закон изменения обобщенной энергии получим из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения энергии (11.18). Умножая каждое из уравнений (27.23) на соответствующую обобщенную скорость и складывая полученные выражения по всем степеням свободы, найдем

Как оказывается, в этом уравнении можно выделить полную производную по времени от такой функции, которая в частном случае будет совпадать с энергией системы. Действительно, используя очевидное соотношение

представим левую часть уравнения (28.5) в виде

Затем, учитывая, что функция Лангранжа является функцией обобщенных координат, скоростей и времени и, следовательно, ее полная производная по времени равна

вместо (28.5) получим уравнение

где

Эту функцию обобщенных координат, скоростей и времени будем называть обобщенной энергией системы, а уравнение (28.9) — законом изменения обобщенной энергии.

Функция Н в частном случае совпадает с полной энергией системы Е, в чем можно убедиться, рассматривая структуру Н. В самом деле, используя (28.4), а также (27.2) и (27.21), найдем, что

Подставляя это выражение в (28.10) и учитывая структуру лагранжиана (см. (27.24)), получим

Отсюда видно, что обобщенная энергия не содержит линейных форм обобщенных скоростей, в то время как полная энергия включает в себя форму (см. (11.16), (27.1))

(здесь обычная потенциальная энергия).

Из сравнения (28.11) и (28.12) следует, что обобщенная энергия системы и ее полная энергия совпадают в тех случаях, когда радиусы-векторы точек системы как функции независимых координат явно от времени не зависят, поскольку в этом случае в частности, это имеет место для систем со стационарными связями (см. (27.3)).

Закон сохранения обобщенной энергии непосредственно вытекает из уравнения (28.9): обобщенная энергия системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е.

при условии, что Первое из этих условий не обязательно связано с условием Может случиться, что тогда в отсутствие диссипативных сил уравнение (28.9) приводит к интегралу движения, не совпадающему с интегралом анергии. Если же наряду с условиями сохранения обобщенной энергии выполняются требования то законы сохранения обобщенной и полной энергий системы совпадают, т. е.

В заключение отметим достаточно распространенный случай механической системы со стационарными связями и диссипативными силами, линейными относительно скоростей точек. Для такой системы мощность обобщенных диссипативных сил равна (см. (27.26) и (27.27))

Учитывая, что кинетическая энергия системы со стационарными связями явно от времени не зависит, из уравнения (28.9) найдем

Пример 28.1. Сферический маятник.

Точка массы движется в однородном поле тяжести напряженности по гладкой неподвижной и твердой сфере радиуса причем диссипативными силами можно пренебречь. Найти общее решение в независимых координатах.

Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симметрию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось направим вдоль вектора а за независимые координаты возьмем сферические углы (рис. 23.1). Тогда функцию Лагранжа можно записать в виде

Отсюда следует, что координата является циклической, а т. е. имеют место два интеграла движения (см. (28.3) и (28.13))

С помощью этих интегралов решение задачи можно довести до квадратур. В самом деле, из интеграла момента следует, что

Подставляя это выражение в интеграл энергии, получим

откуда найдем закон движения точки по траектории в виде

где

Исключая из уравнения (2) элемент времени

получим уравнение траектории

Область изменения координаты определяется неравенством аналогичным неравенству (7.9). При этом граничные значения координаты можно найти, используя уравнение которое в случае является уравнением третьей степени относительно (рис. 28.1). Функция принимает бесконечные значения в точках а при равна минимум этой функции достигается в точке определяемой из уравнения

Из графика видно, что область изменения угла ограничена значениями причем

Это означает, что траектория точки расположена на поверхности сферы между двумя горизонтальными плоскостями, пересекающими сферу, а угловая скорость изменяется в конечных пределах (см. (1)).

Рис. 28.1

Обобщенное ускорение положительно, если отрицательно, если и равно нулю, если Это вытекает из уравнения Лагранжа, соответствующего углу и записанного с помощью (1) в виде

Для вычисления реакции сферы воспользуемся тем, что реакция направлена по нормали к сфере. Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на орт найдем

Проекцию ускорения сферического маятника определим с помощью формулы (7) примера 26.4 при . Тогда из уравнения (8) получим (см. (1) и

Рассмотрим частный случай, когда а в начальный момент времени угол наклона маятника по отношению к вертикали равен Тогда под действием силы тяжести маятник начнет опускаться; соответственно угловая скорость маятника будет возрастать, кинетическая энергия увеличиваться, а потенциальная убывать. Одновременно возрастет реакция сферы, причем у реакции появится вертикальная составляющая. Это в конце концов приводит к подъему маятника, который сопровождается уменьшением кинетической энергии, угловой скорости и реакции сферы, а также увеличением потенциальной энергии.

Рассмотрим еще один частный случай, когда начальные условия подобраны так, что , т. е. прямая и кривая пересекаются в одной точке, которой соответствует постоянный угол (см. рис. 28.1). Учитывая это из закона сохранения энергии, записанного в виде

найдем (см. (2) и

Отсюда

Рис. 28.2

Итак, если начальная скорость точки направлена по горизонтальной касательной к сфере, а величина начальной скорости определяется формулой (10), то точка будет двигаться по горизонтальной окружности радиуса

Пример 28.2. Точка на вращающейся прямой.

Достаточно малое тело массы движется в однородном поле тяжести по гладкому абсолютно твердому стержню, который вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через закрепленную точку О стержня. Угол между стержнем и вертикалью

постоянен и равен Найти общее решение в независимых координатах.

В качестве независимой координаты выберем — расстояние материальной точки от точки О (рис. 28.2), а уравнения связи запишем в виде ; тогда

Интегрируя уравнение Лагранжа

получим общее решение

Анализ этого решения облегчается, если воспользоваться интегралом обобщенной энергии (см. (28.13))

Переписывая его в виде

где

найдем, что область изменения координаты определяется требованием

Если (рис. 28.3), то имеет максимальное значение, равное

в связи с чем можно рассмотреть три случая:

Рис. 28.3

В первом случае движение может происходить в неограниченной области; осуществляется этот случай, если начальная радиальная скорость удовлетворяет условию, которое вытекает из неравенства

Во втором случае движение возможно в двух областях

Границы этих областей определяются корнями

квадратного уравнения

Этот случай осуществляется, если начальная радиальная скорость сравнительно мала,

В третьем случае область изменения ограничена снизу: а начальные условия должны удовлетворять неравенству

Если то, рассматривая соответствующий график легко прийти к выводу об инфинитности движения точки в областях:

Пример 28.3. Движение заряда вблизи магнитного полюса. Точка массы и заряда движется около одного из полюсов длинного магнитного стержня. Найти закон движения заряда.

Напряженность магнитного поля в рассматриваемом случае равна (в сферических координатах)

где постоянная — так называемый «магнитный заряд», а начало координат помещено в полюсе магнита. Кинетическая энергия

точки в сферических координатах явно не содержит только угол . Поэтому попытаемся выбрать вектор-потенциал А магнитного поля так, чтобы он тоже не зависел от . С этой целью запишем соотношение в сферических координатах с учетом (1):

Отсюда видно, что можно положить Тогда отличная от нуля компонента вектор-потенциала равна

Учитывая (5), найдем лагранжиан заряда (см.

Поскольку получим (см. (28.2) и

Теперь запишем (7) в виде

и обратим внимание на то, что интеграл (9) имеет место при любом направлении оси Это возможно только в том случае, если

где С — постоянный вектор, зависящий от начальных условий. Направим ось по этому вектору и умножим затем обе части (10) скалярно на . Тогда, поскольку

Таким образом, , следовательно, заряд движется по поверхности конуса с осью, направленной по вектору С. При этом интегралы (7) и (8) ввиду упрощаются и принимают вид:

Интегрирование этой системы приводит к закону движения

и уравнению траектории (на поверхности конуса)

(постоянные и а могут быть выражены через начальные условия, а момент времени является моментом, когда заряд находится на минимальном расстоянии от полюса). Итак, заряд движется по спирали (15), навивающейся на поверхность конуса согласно закону движения (14).

1
Оглавление
email@scask.ru