Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 28. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергииВ главе II были рассмотрены законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии, вытекающие из уравнений Ньютона; соответственно законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии являются следствием уравнений Лагранжа. Запишем уравнения (27.23) в виде
где величина
если
Приведем ряд небольших примеров. Функция Лагранжа для пространственного осциллятора в декартовых координатах имеет; вид (см. (6.30))
а обобщенные импульсы
являются декартовыми проекциями импульса точки. Ни одна из координат х, у, z в данном случае не является циклической, соот ветственно ни один из обобщенных импульсов Теперь запишем лагранжиан пространственного осциллятора в сферических координатах (см. (1.24) и формулу (4) в примере 26.4) :
Обобщенными импульсами точки в этих координатах являются
причем обобщенный импульс
Лагранжиан циклоидального маятника равен (см. пример
здесь координата
не сохраняется. Наконец, возьмем заряд, движущийся в электростатическом поле неподвижного ядра и постоянном однородном магнитном поле (см. пример 27.1). В этом случае координаты
Установим структуру обобщенного импульса в общем случае. Принимая во внимание определение обобщенного импульса и форму лагранжиана (27.24), находим
где Закон изменения обобщенной энергии получим из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения энергии (11.18). Умножая каждое из уравнений (27.23) на соответствующую обобщенную скорость
Как оказывается, в этом уравнении можно выделить полную производную по времени от такой функции, которая в частном случае будет совпадать с энергией системы. Действительно, используя очевидное соотношение
представим левую часть уравнения (28.5) в виде
Затем, учитывая, что функция Лангранжа является функцией обобщенных координат, скоростей и времени и, следовательно, ее полная производная по времени равна
вместо (28.5) получим уравнение
где
Эту функцию обобщенных координат, скоростей и времени будем называть обобщенной энергией системы, а уравнение (28.9) — законом изменения обобщенной энергии. Функция Н в частном случае совпадает с полной энергией системы Е, в чем можно убедиться, рассматривая структуру Н. В самом деле, используя (28.4), а также (27.2) и (27.21), найдем, что
Подставляя это выражение в (28.10) и учитывая структуру лагранжиана (см. (27.24)), получим
Отсюда видно, что обобщенная энергия не содержит линейных форм обобщенных скоростей, в то время как полная энергия включает в себя форму (см. (11.16), (27.1))
(здесь Из сравнения (28.11) и (28.12) следует, что обобщенная энергия системы и ее полная энергия совпадают в тех случаях, когда радиусы-векторы точек системы как функции независимых координат явно от времени не зависят, поскольку в этом случае Закон сохранения обобщенной энергии непосредственно вытекает из уравнения (28.9): обобщенная энергия системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е.
при условии, что В заключение отметим достаточно распространенный случай механической системы со стационарными связями и диссипативными силами, линейными относительно скоростей точек. Для такой системы мощность обобщенных диссипативных сил равна (см. (27.26) и (27.27))
Учитывая, что кинетическая энергия системы со стационарными связями явно от времени не зависит, из уравнения (28.9) найдем
Пример 28.1. Сферический маятник. Точка массы Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симметрию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось
Отсюда следует, что координата
С помощью этих интегралов решение задачи можно довести до квадратур. В самом деле, из интеграла момента следует, что
Подставляя это выражение в интеграл энергии, получим
откуда найдем закон движения точки по траектории в виде
где
Исключая из уравнения (2) элемент времени
получим уравнение траектории
Область изменения координаты
Из графика видно, что область изменения угла
Это означает, что траектория точки расположена на поверхности сферы между двумя горизонтальными плоскостями, пересекающими сферу, а угловая скорость
Рис. 28.1 Обобщенное ускорение
Для вычисления реакции сферы воспользуемся тем, что реакция направлена по нормали к сфере. Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на орт
Проекцию
Рассмотрим частный случай, когда Рассмотрим еще один частный случай, когда начальные условия подобраны так, что
найдем (см. (2) и
Отсюда
Рис. 28.2 Итак, если начальная скорость точки направлена по горизонтальной касательной к сфере, а величина начальной скорости определяется формулой (10), то точка будет двигаться по горизонтальной окружности радиуса Пример 28.2. Точка на вращающейся прямой. Достаточно малое тело массы постоянен и равен В качестве независимой координаты выберем
Интегрируя уравнение Лагранжа
получим общее решение
Анализ этого решения облегчается, если воспользоваться интегралом обобщенной энергии (см. (28.13))
Переписывая его в виде
где
найдем, что область изменения координаты
Если
в связи с чем можно рассмотреть три случая:
Рис. 28.3
В первом случае движение может происходить в неограниченной области; осуществляется этот случай, если начальная радиальная скорость удовлетворяет условию, которое вытекает из неравенства
Во втором случае движение возможно в двух областях
Границы этих областей определяются корнями
квадратного уравнения
Этот случай осуществляется, если начальная радиальная скорость сравнительно мала,
В третьем случае область изменения
Если Пример 28.3. Движение заряда вблизи магнитного полюса. Точка массы Напряженность магнитного поля в рассматриваемом случае равна (в сферических координатах)
где постоянная точки в сферических координатах явно не содержит только угол
Отсюда видно, что можно положить
Учитывая (5), найдем лагранжиан заряда (см.
Поскольку
Теперь запишем (7) в виде
и обратим внимание на то, что интеграл (9) имеет место при любом направлении оси
где С — постоянный вектор, зависящий от начальных условий. Направим ось
Таким образом,
Интегрирование этой системы приводит к закону движения
и уравнению траектории (на поверхности конуса)
(постоянные
|
1 |
Оглавление
|