Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 28. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергииВ главе II были рассмотрены законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии, вытекающие из уравнений Ньютона; соответственно законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии являются следствием уравнений Лагранжа. Запишем уравнения (27.23) в виде
где величина
если
Приведем ряд небольших примеров. Функция Лагранжа для пространственного осциллятора в декартовых координатах имеет; вид (см. (6.30))
а обобщенные импульсы
являются декартовыми проекциями импульса точки. Ни одна из координат х, у, z в данном случае не является циклической, соот ветственно ни один из обобщенных импульсов Теперь запишем лагранжиан пространственного осциллятора в сферических координатах (см. (1.24) и формулу (4) в примере 26.4) :
Обобщенными импульсами точки в этих координатах являются
причем обобщенный импульс
Лагранжиан циклоидального маятника равен (см. пример
здесь координата
не сохраняется. Наконец, возьмем заряд, движущийся в электростатическом поле неподвижного ядра и постоянном однородном магнитном поле (см. пример 27.1). В этом случае координаты
Установим структуру обобщенного импульса в общем случае. Принимая во внимание определение обобщенного импульса и форму лагранжиана (27.24), находим
где Закон изменения обобщенной энергии получим из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения энергии (11.18). Умножая каждое из уравнений (27.23) на соответствующую обобщенную скорость
Как оказывается, в этом уравнении можно выделить полную производную по времени от такой функции, которая в частном случае будет совпадать с энергией системы. Действительно, используя очевидное соотношение
представим левую часть уравнения (28.5) в виде
Затем, учитывая, что функция Лангранжа является функцией обобщенных координат, скоростей и времени и, следовательно, ее полная производная по времени равна
вместо (28.5) получим уравнение
где
Эту функцию обобщенных координат, скоростей и времени будем называть обобщенной энергией системы, а уравнение (28.9) — законом изменения обобщенной энергии. Функция Н в частном случае совпадает с полной энергией системы Е, в чем можно убедиться, рассматривая структуру Н. В самом деле, используя (28.4), а также (27.2) и (27.21), найдем, что
Подставляя это выражение в (28.10) и учитывая структуру лагранжиана (см. (27.24)), получим
Отсюда видно, что обобщенная энергия не содержит линейных форм обобщенных скоростей, в то время как полная энергия включает в себя форму (см. (11.16), (27.1))
(здесь Из сравнения (28.11) и (28.12) следует, что обобщенная энергия системы и ее полная энергия совпадают в тех случаях, когда радиусы-векторы точек системы как функции независимых координат явно от времени не зависят, поскольку в этом случае Закон сохранения обобщенной энергии непосредственно вытекает из уравнения (28.9): обобщенная энергия системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е.
при условии, что В заключение отметим достаточно распространенный случай механической системы со стационарными связями и диссипативными силами, линейными относительно скоростей точек. Для такой системы мощность обобщенных диссипативных сил равна (см. (27.26) и (27.27))
Учитывая, что кинетическая энергия системы со стационарными связями явно от времени не зависит, из уравнения (28.9) найдем
Пример 28.1. Сферический маятник. Точка массы Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симметрию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось
Отсюда следует, что координата
С помощью этих интегралов решение задачи можно довести до квадратур. В самом деле, из интеграла момента следует, что
Подставляя это выражение в интеграл энергии, получим
откуда найдем закон движения точки по траектории в виде
где
Исключая из уравнения (2) элемент времени
получим уравнение траектории
Область изменения координаты
Из графика видно, что область изменения угла
Это означает, что траектория точки расположена на поверхности сферы между двумя горизонтальными плоскостями, пересекающими сферу, а угловая скорость
Рис. 28.1 Обобщенное ускорение
Для вычисления реакции сферы воспользуемся тем, что реакция направлена по нормали к сфере. Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на орт
Проекцию
Рассмотрим частный случай, когда Рассмотрим еще один частный случай, когда начальные условия подобраны так, что
найдем (см. (2) и
Отсюда
Рис. 28.2 Итак, если начальная скорость точки направлена по горизонтальной касательной к сфере, а величина начальной скорости определяется формулой (10), то точка будет двигаться по горизонтальной окружности радиуса Пример 28.2. Точка на вращающейся прямой. Достаточно малое тело массы постоянен и равен В качестве независимой координаты выберем
Интегрируя уравнение Лагранжа
получим общее решение
Анализ этого решения облегчается, если воспользоваться интегралом обобщенной энергии (см. (28.13))
Переписывая его в виде
где
найдем, что область изменения координаты
Если
в связи с чем можно рассмотреть три случая:
Рис. 28.3
В первом случае движение может происходить в неограниченной области; осуществляется этот случай, если начальная радиальная скорость удовлетворяет условию, которое вытекает из неравенства
Во втором случае движение возможно в двух областях
Границы этих областей определяются корнями
Этот случай осуществляется, если начальная радиальная скорость сравнительно мала,
В третьем случае область изменения
Если Пример 28.3. Движение заряда вблизи магнитного полюса. Точка массы Напряженность магнитного поля в рассматриваемом случае равна (в сферических координатах)
где постоянная точки в сферических координатах явно не содержит только угол
Отсюда видно, что можно положить
Учитывая (5), найдем лагранжиан заряда (см.
Поскольку
Теперь запишем (7) в виде
и обратим внимание на то, что интеграл (9) имеет место при любом направлении оси
где С — постоянный вектор, зависящий от начальных условий. Направим ось
Таким образом,
Интегрирование этой системы приводит к закону движения
и уравнению траектории (на поверхности конуса)
(постоянные
|
1 |
Оглавление
|