§ 28. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии

В главе II были рассмотрены законы сохранения импульса, кинетического момента и энергии, вытекающие из уравнений Ньютона; соответственно законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии являются следствием уравнений Лагранжа.

Запишем уравнения (27.23) в виде

где величина называется обобщенным импульсом, соответствующим координате . Из (28.1) следует, что обобщенный импульс сохраняется, если функция Лагранжа явно от координаты не зависит и если соответствующая этой координате диссипативная обобщенная сила равна нулю. Таким образом,

если . Если же все диссипативные силы равны нулю, то закон (28.2) сохранения обобщенного импульса принимает вид

Приведем ряд небольших примеров. Функция Лагранжа для пространственного осциллятора в декартовых координатах имеет; вид (см. (6.30))

а обобщенные импульсы

являются декартовыми проекциями импульса точки. Ни одна из координат х, у, z в данном случае не является циклической, соот ветственно ни один из обобщенных импульсов не сохраняется.

Теперь запишем лагранжиан пространственного осциллятора в сферических координатах (см. (1.24) и формулу (4) в примере 26.4) :

Обобщенными импульсами точки в этих координатах являются

причем обобщенный импульс равен проекции момента импульса точки на ось Поскольку координата циклическая, то сохраняется, т. е.

Лагранжиан циклоидального маятника равен (см. пример

здесь координата не циклическая и обобщенный импульс

не сохраняется.

Наконец, возьмем заряд, движущийся в электростатическом поле неподвижного ядра и постоянном однородном магнитном поле (см. пример 27.1). В этом случае координаты и не циклические, циклическая. Поэтому закон сохранения (28.3) приводит к интегралу

Установим структуру обобщенного импульса в общем случае. Принимая во внимание определение обобщенного импульса и форму лагранжиана (27.24), находим

где — коэффициенты однородных форм кинетической энергии, — коэффициенты однородной формы обобщенного потенциала. Отсюда видно, что обобщенные импульсы являются неоднородными линейными формами обобщенных скоростей.

Закон изменения обобщенной энергии получим из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения энергии (11.18). Умножая каждое из уравнений (27.23) на соответствующую обобщенную скорость и складывая полученные выражения по всем степеням свободы, найдем

Как оказывается, в этом уравнении можно выделить полную производную по времени от такой функции, которая в частном случае будет совпадать с энергией системы. Действительно, используя очевидное соотношение

представим левую часть уравнения (28.5) в виде

Затем, учитывая, что функция Лангранжа является функцией обобщенных координат, скоростей и времени и, следовательно, ее полная производная по времени равна

вместо (28.5) получим уравнение

где

Эту функцию обобщенных координат, скоростей и времени будем называть обобщенной энергией системы, а уравнение (28.9) — законом изменения обобщенной энергии.

Функция Н в частном случае совпадает с полной энергией системы Е, в чем можно убедиться, рассматривая структуру Н. В самом деле, используя (28.4), а также (27.2) и (27.21), найдем, что

Подставляя это выражение в (28.10) и учитывая структуру лагранжиана (см. (27.24)), получим

Отсюда видно, что обобщенная энергия не содержит линейных форм обобщенных скоростей, в то время как полная энергия включает в себя форму (см. (11.16), (27.1))

(здесь обычная потенциальная энергия).

Из сравнения (28.11) и (28.12) следует, что обобщенная энергия системы и ее полная энергия совпадают в тех случаях, когда радиусы-векторы точек системы как функции независимых координат явно от времени не зависят, поскольку в этом случае в частности, это имеет место для систем со стационарными связями (см. (27.3)).

Закон сохранения обобщенной энергии непосредственно вытекает из уравнения (28.9): обобщенная энергия системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е.

при условии, что Первое из этих условий не обязательно связано с условием Может случиться, что тогда в отсутствие диссипативных сил уравнение (28.9) приводит к интегралу движения, не совпадающему с интегралом анергии. Если же наряду с условиями сохранения обобщенной энергии выполняются требования то законы сохранения обобщенной и полной энергий системы совпадают, т. е.

В заключение отметим достаточно распространенный случай механической системы со стационарными связями и диссипативными силами, линейными относительно скоростей точек. Для такой системы мощность обобщенных диссипативных сил равна (см. (27.26) и (27.27))

Учитывая, что кинетическая энергия системы со стационарными связями явно от времени не зависит, из уравнения (28.9) найдем

Пример 28.1. Сферический маятник.

Точка массы движется в однородном поле тяжести напряженности по гладкой неподвижной и твердой сфере радиуса причем диссипативными силами можно пренебречь. Найти общее решение в независимых координатах.

Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симметрию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось направим вдоль вектора а за независимые координаты возьмем сферические углы (рис. 23.1). Тогда функцию Лагранжа можно записать в виде

Отсюда следует, что координата является циклической, а т. е. имеют место два интеграла движения (см. (28.3) и (28.13))

С помощью этих интегралов решение задачи можно довести до квадратур. В самом деле, из интеграла момента следует, что

Подставляя это выражение в интеграл энергии, получим

откуда найдем закон движения точки по траектории в виде

где

Исключая из уравнения (2) элемент времени

получим уравнение траектории

Область изменения координаты определяется неравенством аналогичным неравенству (7.9). При этом граничные значения координаты можно найти, используя уравнение которое в случае является уравнением третьей степени относительно (рис. 28.1). Функция принимает бесконечные значения в точках а при равна минимум этой функции достигается в точке определяемой из уравнения

Из графика видно, что область изменения угла ограничена значениями причем

Это означает, что траектория точки расположена на поверхности сферы между двумя горизонтальными плоскостями, пересекающими сферу, а угловая скорость изменяется в конечных пределах (см. (1)).

Рис. 28.1

Обобщенное ускорение положительно, если отрицательно, если и равно нулю, если Это вытекает из уравнения Лагранжа, соответствующего углу и записанного с помощью (1) в виде

Для вычисления реакции сферы воспользуемся тем, что реакция направлена по нормали к сфере. Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на орт найдем

Проекцию ускорения сферического маятника определим с помощью формулы (7) примера 26.4 при . Тогда из уравнения (8) получим (см. (1) и

Рассмотрим частный случай, когда а в начальный момент времени угол наклона маятника по отношению к вертикали равен Тогда под действием силы тяжести маятник начнет опускаться; соответственно угловая скорость маятника будет возрастать, кинетическая энергия увеличиваться, а потенциальная убывать. Одновременно возрастет реакция сферы, причем у реакции появится вертикальная составляющая. Это в конце концов приводит к подъему маятника, который сопровождается уменьшением кинетической энергии, угловой скорости и реакции сферы, а также увеличением потенциальной энергии.

Рассмотрим еще один частный случай, когда начальные условия подобраны так, что , т. е. прямая и кривая пересекаются в одной точке, которой соответствует постоянный угол (см. рис. 28.1). Учитывая это из закона сохранения энергии, записанного в виде

найдем (см. (2) и

Отсюда

Рис. 28.2

Итак, если начальная скорость точки направлена по горизонтальной касательной к сфере, а величина начальной скорости определяется формулой (10), то точка будет двигаться по горизонтальной окружности радиуса

Пример 28.2. Точка на вращающейся прямой.

Достаточно малое тело массы движется в однородном поле тяжести по гладкому абсолютно твердому стержню, который вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через закрепленную точку О стержня. Угол между стержнем и вертикалью

постоянен и равен Найти общее решение в независимых координатах.

В качестве независимой координаты выберем — расстояние материальной точки от точки О (рис. 28.2), а уравнения связи запишем в виде ; тогда

Интегрируя уравнение Лагранжа

получим общее решение

Анализ этого решения облегчается, если воспользоваться интегралом обобщенной энергии (см. (28.13))

Переписывая его в виде

где

найдем, что область изменения координаты определяется требованием

Если (рис. 28.3), то имеет максимальное значение, равное

в связи с чем можно рассмотреть три случая:

Рис. 28.3

В первом случае движение может происходить в неограниченной области; осуществляется этот случай, если начальная радиальная скорость удовлетворяет условию, которое вытекает из неравенства

Во втором случае движение возможно в двух областях

Границы этих областей определяются корнями

квадратного уравнения

Этот случай осуществляется, если начальная радиальная скорость сравнительно мала,

В третьем случае область изменения ограничена снизу: а начальные условия должны удовлетворять неравенству

Если то, рассматривая соответствующий график легко прийти к выводу об инфинитности движения точки в областях:

Пример 28.3. Движение заряда вблизи магнитного полюса. Точка массы и заряда движется около одного из полюсов длинного магнитного стержня. Найти закон движения заряда.

Напряженность магнитного поля в рассматриваемом случае равна (в сферических координатах)

где постоянная — так называемый «магнитный заряд», а начало координат помещено в полюсе магнита. Кинетическая энергия

точки в сферических координатах явно не содержит только угол . Поэтому попытаемся выбрать вектор-потенциал А магнитного поля так, чтобы он тоже не зависел от . С этой целью запишем соотношение в сферических координатах с учетом (1):

Отсюда видно, что можно положить Тогда отличная от нуля компонента вектор-потенциала равна

Учитывая (5), найдем лагранжиан заряда (см.

Поскольку получим (см. (28.2) и

Теперь запишем (7) в виде

и обратим внимание на то, что интеграл (9) имеет место при любом направлении оси Это возможно только в том случае, если

где С — постоянный вектор, зависящий от начальных условий. Направим ось по этому вектору и умножим затем обе части (10) скалярно на . Тогда, поскольку

Таким образом, , следовательно, заряд движется по поверхности конуса с осью, направленной по вектору С. При этом интегралы (7) и (8) ввиду упрощаются и принимают вид:

Интегрирование этой системы приводит к закону движения

и уравнению траектории (на поверхности конуса)

(постоянные и а могут быть выражены через начальные условия, а момент времени является моментом, когда заряд находится на минимальном расстоянии от полюса). Итак, заряд движется по спирали (15), навивающейся на поверхность конуса согласно закону движения (14).