§ 43. Фазовое пространство и теорема Лиувилля

Одним из важнейших положений, на которых основывается статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом пространстве. Фазовым пространством называется воображаемое пространство измерений, по координатным осям которого «откладываются» обобщенные координаты и импульсы механической системы ( — число степеней свободы). Состояние механической системы в данный момент времени изображается в фазовом пространстве одной фазовой точкой. С течением времени эта точка движется по фазовой траектории.

Если заданы гамильтониан механической системы, диссипативные силы и начальные условия то с помощью уравнений Гамильтона можно определить скорости изменения координат и импульсов в начальный момент времени

(здесь, как и ранее, под и понимается совокупность всех координат и импульсов). Через каждую точку фазового пространства проходит лишь одна фазовая траектория данной механической системы (ввиду единственности решения уравнений Гамильтона). Этим свойством не обладает, например, пространство конфигураций, «точки» которого являются совокупностью обобщенных координат

Рассмотрим бесконечную совокупность одинаковых механических систем, отличающихся друг от друга только начальными условиями [34, гл. 1]. Иначе говоря, рассмотрим бесконечное множество точных копий данной реальной системы (для всех этих систем задан одинаковый гамильтониан, одни и те же диссипативные силы, но начальные условия этих систем различны). Такая виртуальная совокупность систем называется ансамблем Гиббса. Пусть в произвольный момент времени ансамбль заполняет область фазового пространства, причем фазовый объем этой области равен

В момент времени ансамбль займет другую область с фазовым объемом

(см. рис. 43.1, на котором изображено перемещение некоторого ансамбля систем в двумерном фазовом пространстве).

Рис. 43.1

Найдем соотношение между величинами или закон изменения фазового объема ансамбля Гиббса. Учитывая, что действительное перемещение каждой системы ансамбля подчинено уравнениям движения, а следовательно, переменные в момент являются функциями этих же переменных, взятых в начальный момент времени, запишем фазовый объем Г в виде интеграла по области

где якобиан преобразования от переменных к значениям этих переменных в момент времени а функции

являются решениями уравнений движения.

Из сопоставления (43.4) и (43.2) видно, что задача об отыскании закона изменения Г сводится к отысканию закона изменения якобиана . В связи с этим найдем значение и его производной по времени в произвольно выбранный момент времени учитывая, что значения координат и импульсов в момент времени соответственно равны

(Несмотря на то, что эти соотношения верны лишь с точностью до первой степени малого приращения включительно, приближенность (43.5) не налагает каких-либо ограничений на окончательный вывод, поскольку в процессе доказательства необходимо перейти к пределу Используя (43.5), получим элементы якобиана с той же точностью

Подставляя (43.6) в выражение для якобиана находим точное значение и приближенное значение

(здесь члены порядка появляются только за счет диагональных элементов якобиана). Отсюда, переходя к пределу, находим производную якобиана при

Поскольку движение систем ансамбля подчинено уравнениям Гамильтона (43.12), постольку каждое слагаемое в правой части

(43.8) будет равно (см.

Используя (43.9) и имея в виду произвольность получим выражение для производной якобиана справедливое в любой момент времени:

Следовательно, производная фазового объема Г равна (см. (43.4))

Отсюда вытекает закон сохранения фазового объема (теорема Луивилля). Согласно этому закону фазовый объем данного ансамбля механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями в отсутствие диссипативных сил сохраняется, т. е.

В этом случае , следовательно, величина якобиана в любой момент времени равна (см. (43.7))

Соотношения (43.12) и (43.13) справедливы при любом числе точек в системе и поэтому могут служить основой для изучения систем с большим количеством частиц, т. е. систем, которые изучаются статистической механикой.

Рис. 43.2

Пример 43.1. Сохранение фазового объема ансамбля систем с одной степенью свободы.

Рассмотрим движение точки по линии пересечения неподвижной сферы и колеблющейся горизонтальной плоскости (см. пример 25.3). В этом случае лагранжиан, обобщенный импульс и функция Гамильтона соответственно равны

(в выражениях опущены, как несущественные, члены, зависящие только от времени; см. (51.11)).

Отсюда получаем канонические уравнения

и их решение

Фазовое пространство в данном случае двумерно, а фазовыми траекториями являются прямые, параллельные оси (рис. 43.2).

Изучим движение воображаемой совокупности материальных точек, отличающихся друг от друга только начальными условиями (в остальном точки, силы и связи тождественны). Пусть в начальный момент времени фазовый объем этого ансамбля равен (область ограничивают прямые, соединяющие точки 1—4). С течением времени этот прямоугольник деформируется, но величина его фазового объема (в данном случае фазовой «площади») сохраняется, о чем свидетельствует прямое вычисление якобиана:

Что касается деформации «прямоугольника», то ее можно определить, рассматривая законы движения точек 1—4 в фазовом пространстве:

Тогда

и, следовательно, с течением времени «прямоугольник» деформируется во все более косой «параллелограмм», «площадь» которого равна «площади» «прямоугольника».