Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 43. Фазовое пространство и теорема ЛиувилляОдним из важнейших положений, на которых основывается статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом пространстве. Фазовым пространством называется воображаемое пространство Если заданы гамильтониан механической системы, диссипативные силы и начальные условия
(здесь, как и ранее, под Рассмотрим бесконечную совокупность одинаковых механических систем, отличающихся друг от друга только начальными условиями [34, гл. 1]. Иначе говоря, рассмотрим бесконечное множество точных копий данной реальной системы (для всех этих систем задан одинаковый гамильтониан, одни и те же диссипативные силы, но начальные условия этих систем различны). Такая виртуальная совокупность систем называется ансамблем Гиббса. Пусть в произвольный момент времени
В момент времени
(см. рис. 43.1, на котором изображено перемещение некоторого ансамбля систем в двумерном фазовом пространстве).
Рис. 43.1 Найдем соотношение между величинами
где
являются решениями уравнений движения. Из сопоставления (43.4) и (43.2) видно, что задача об отыскании закона изменения Г сводится к отысканию закона изменения якобиана
(Несмотря на то, что эти соотношения верны лишь с точностью до первой степени малого приращения
Подставляя (43.6) в выражение для якобиана
(здесь члены порядка
Поскольку движение систем ансамбля подчинено уравнениям Гамильтона (43.12), постольку каждое слагаемое в правой части (43.8) будет равно (см.
Используя (43.9) и имея в виду произвольность
Следовательно, производная фазового объема Г равна (см. (43.4))
Отсюда вытекает закон сохранения фазового объема (теорема Луивилля). Согласно этому закону фазовый объем данного ансамбля механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями в отсутствие диссипативных сил сохраняется, т. е.
В этом случае
Соотношения (43.12) и (43.13) справедливы при любом числе точек в системе и поэтому могут служить основой для изучения систем с большим количеством частиц, т. е. систем, которые изучаются статистической механикой.
Рис. 43.2 Пример 43.1. Сохранение фазового объема ансамбля систем с одной степенью свободы. Рассмотрим движение точки по линии пересечения неподвижной сферы и колеблющейся горизонтальной плоскости (см. пример 25.3). В этом случае лагранжиан, обобщенный импульс и функция Гамильтона соответственно равны
(в выражениях Отсюда получаем канонические уравнения
и их решение
Фазовое пространство в данном случае двумерно, а фазовыми траекториями являются прямые, параллельные оси Изучим движение воображаемой совокупности материальных точек, отличающихся друг от друга только начальными условиями
Что касается деформации «прямоугольника», то ее можно определить, рассматривая законы движения точек 1—4 в фазовом пространстве:
Тогда
и, следовательно, с течением времени «прямоугольник» деформируется во все более косой «параллелограмм», «площадь» которого равна «площади» «прямоугольника».
|
1 |
Оглавление
|