§ 38. Тензор инерции

Кинетический момент и энергия твердого тела содержат достаточно сложные выражения М и связанные с вращением тела (см. (37.5) и (37.17)). Изучим подробнее эти величины, являющиеся соответственно линейной и квадратичной формами от проекций угловой скорости (коэффициенты этих форм зависят от распределения масс в теле). Принимая во внимание известное векторное соотношение

представим кинетический момент вращения в виде

Поскольку векторы постоянны лишь относительно системы, жестко связанной с твердым телом, целесообразно использовать проекции момента М на оси системы Проектируя (38.1), например, на ось получим

Аналогично определяя убедимся, что все проекции момента можно записать в форме

здесь индексы являются индексами координатных осей системы , а совокупность величин представляется матрицей

Вывод соотношения (38.2) полезно повторить, используя тензорные обозначения. Тогда (38.1) будет иметь вид

где индекс материальной точки опущен для сокращения записи, а пробегают значения 1, 2 и 3, являющиеся индексами осей соответственно (например, символом обозначена проекция радиуса-вектора Учтем далее, что проекцию угловой скорости можно представить в виде

с помощью символа Кронекера по определению равного

Таким образом, действительно, выражению (38.4) можно придать форму (38.2), в которой коэффициенты равны

Часть кинетической энергии связанную только с вращением тела (см. (37.17)), также можно выразить через величины Действительно, учитывая, что

найдем

Совокупность величин называется тензором инерции, а его отдельные компоненты — моментами инерции. Кинетический момент вращения М. и энергия вращения выражаются через моменты инерции и проекции угловой скорости Заметим, что моменты инерции характеризующие данное твердое тело, являются постоянными величинами, которые зависят только от выбора системы жестко связанной с телом, от распределения массы твердого тела и его формы. Тензор инерции является симметричным тензором, т. е. является совокупностью шести моментов инерции: трех «диагональных» моментов которые называются осевыми моментами инерции, и трех «недиагональных» моментов. которые называются центробежными моментами инерции.

Рис. 38.1

Вычислим, например, моменты инерции двухатомной молекулы относительно систем отсчета с началами в точке 1 и центре масс молекулы соответственно и с одной из координатных осей, направленной по оси молекулы (рис. 38.1). В системе координаты точек соответственно равны

где — расстояние между точками. Подставляя эти координаты в (38.3), найдем моменты инерции молекулы в системе

Вычисления в системе также приводят к двум равным и отличным от нуля моментам инерции:

где

а — приведенная масса. Таким образом, тензор инерции молекулы в системах соответственно имеет вид

Оси системы жестко связанные с твердым телом, всегда можно выбрать так, чтобы все центробежные моменты инерции обратились в нуль. Действительно, часть кинетической энергии является положительно определенной квадратичной формой проекций вектора с вещественными симметричными коэффициентами (см. (37.17) и (38.7)). И поэтому некоторым преобразованием координат ее всегда можно привести к каноническому виду

Этому процессу соответствует приведение симметричного тензора с вещественными компонентами к диагональному виду

Оси, жестко связанные с твердым телом, относительно которых тензор инерции диагонален, называются главными осями инерции. В этом случае «диагональные» моменты называются главными моментами инерции и обозначаются каждого начала системы жестко связанной с телом, существуют свои направления главных осей и свои значения главных моментов.

В большинстве случаев при решении конкретных задач оси системы S целесообразно направлять по главным осям; при таком выборе осей выражение для энергии вращения упрощается (ср. (38.8) и (38.7)), упрощается также выражение (38.2) для момента вращения:

Общей процедурой отыскания главных осей инерции является известный алгебраический процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду. Наиболее просто диагонализация и осуществляется в тех случаях, когда тело обладает симметрией в распределении масс, или, как говорят, материальной симметрией.

Пусть, например, тело обладает осью материальной симметрии (это означает, что все точки тела можно разбить на пары одинаковых по массе точек, расположенных симметрично относительно данной оси). Тогда, производя соответствующую перенумерацию точек, для каждой пары симметрично расположенных точек получим

(здесь ось совмещена с осью симметрии). Подставляя (38.11) в (9.1) и суммируя по указанным парам, придем к выводу, что центр масс тела находится на оси материальной симметрии:

а суммируя по тем же парам выражения для моментов инерции {см. (38.3)), убедимся, что , следовательно, тензор инерции имеет вид

Таким образом, ось материальной симметрии тела является главной осью инерции.

В предельном случае, когда все точки тела находятся на одной прямой (такое тело называется ротатором), координаты точек равны нулю и, следовательно, . Поэтому все оси, перпендикулярные оси ротатора, являются главными осями инерции, а главные моменты инерции равны

(ротатор имеет две вращательные степени свободы, поскольку говорить о вращении ротатора вокруг своей оси бессмысленно).

Пусть теперь тело обладает плоскостью материальной симметрии. Тогда, совмещая плоскость с плоскостью

симметрии, все точки (вне плоскости) можно разбить на пары, для которых

Подставляя (38.15) в (9.1), а затем в (38.3), убедимся, что в рассматриваемом случае центр масс лежит в плоскости материальной симметрии, а любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции. Если все точки твердого тела расположены в некоторой плоскости, то наряду с отмеченными результатами найдем, что

где

Если тело обладает не одним признаком симметрии, то отыскание главных осей инерции еще более упрощается. Покажем это на примере плоского диска с осью материальной симметрии, совпадающей с одним из диаметров этого диска.

Рис. 38.2

Рис. 38.3

Помещая начало О в любую точку оси симметрии (рис. 38.2), нетрудно убедиться, что главными осями будут ось перпендикулярная плоскости диска, ось — ось материальной симметрии диска и ось перпендикулярная первым двум осям.

В заключение рассмотрим преобразования тензора инерции в результате преобразований системы S, жестко связанной с твердым телом. Например, в результате параллельного переноса получим две системы, жестко связанные с твердым телом: систему

и систему (оси этих систем параллельны, а начала различны — см. рис. 38.3, а). Обозначая компоненты тензора инерции относительно системы (т. е. системы ) символом согласно (38.6) будем иметь

где — радиус-вектор точки относительно системы его проекция на ось с индексом а. Поскольку радиусы-векторы любой точки тела относительно рассматриваемых систем связаны соотношением (см. (1.6))

где , то, подставляя (38.18) в (38.17) и используя определение центра масс (9.1), найдем

где — масса всего тела, а — радиус-вектор центра масс тела относительно Если начало О поместить в центр масс тела, то и (38.19) сведется к более простому выражению

здесь — тензор инерции относительно системы S с началом в центре масс тела. Такой тензор называется центральным, а главные оси инерции, проходящие через центр масс, называются главными центральными осями.

Используя (38.20), можно найти соотношение между осевыми моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс (теорема Штейнера). Например, соотношение между моментами и имеет вид

где — расстояние между параллельными осями и проходящими через начало и центр масс тела соответственно (см. рис. 38.3, б).

Для того чтобы найти преобразование тензора при поворотах системы координат, выберем жестко связанные с твердым телом системы S и имеющие общее начало (рис. 38.4). Выражая какую-либо скалярную функцию, зависящую от компонент

тензора, сначала через величины, отнесенные к системе а затем через аналогичные величины, отнесенные к системе можно получить закон преобразования тензора. В частности, выбирая в качестве скалярной функции кинетическую энергию получим

где — компоненты тензора инерции относительно системы — компоненты тензора инерции относительно Пользуясь законом преобразования векторов при поворотах системы координат (см., например, (16.2) и (16.15)), найдем, что проекции угловой скорости на оси систем S и связаны между собой соотношениями

где — косинус угла между осями с индексами а и Подставляя в правую часть равенства (38.22) выражения (38.23) и приравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях получим

Рис. 38.4

Такой же вид имеют формулы преобразования любого тензора при поворотах системы координат.

Пример 38.1. Моменты инерции неоднородного тонкого стержня с плотностью массы, линейно зависящей от расстояния до одного из концов стержня.

Найти моменты инерции указанного стержня массы и длины относительно главных центральных осей инерции.

Определим моменты инерции относительно главных осей с началом в более легком конце и осью направленной по стержню. Имея в виду, что плотность стержня определяется функцией (см. пример 37.3)

получим значение для двух отличных от нуля моментов инерции:

Главные центральные оси могут быть найдены параллельным переносом уже рассмотренных осей. Применяя теорему (38.21), получаем

так как расстояние от более легкого конца стержня до его центра масс равно (см. пример 37.3). Отсюда

Пример 38.2. Главные оси инерции твердого тела, представляющего собой систему четырех точек, расположенных в углах прямоугольника.

Определить направление главных осей инерции с началом в одной из материальных точек твердого тела (рис. 38.5), предполагая, что масса каждой точки равна а стороны прямоугольника равны а и b соответственно.

Ось перпендикулярная плоскости тела, будет главной осью инерции. Поэтому остается определить положение оси в плоскости тела, т. е. определить угол указанный на рис. 38.5.

Рис. 38.5

Прежде чем найти моменты инерции относительно системы с началом в вычислим главные центральные моменты инерции. Из соображений материальной симметрии следует, что центр масс находится на пересечении диагоналей прямоугольника, а оси являются главными центральными осями; используя (38.16), найдем моменты инерции относительно этих осей:

Затем, применяя преобразование (38.20), получим моменты относительно системы Используя преобразование для диагональных элементов

и преобразование для недиагональных элементов

найдем

Отсюда следует, что оси не являются главными. Поэтому повернем систему вокруг оси так, чтобы центробежный момент относительно новой системы обратился в нуль. При этом повороте интересующая нас компонента преобразуется по закону (см. (38.24))

Учитывая, что , а остальные выражаются через угол согласно формулам

и требуя обращения в нуль момента инерции получим следующее уравнение относительно угла

и его решение в виде