§ 6. Законы изменения и сохранения энергии материальной точки

Закон изменения кинетической энергии точки получим, умножая обе части уравнения движения (3.4) скалярно на перемещение точки

Правая часть этого уравнения называется элементарной работой силы на перемещении , а левая часть равна дифференциалу от кинетической энергии. В последнем можно убедиться, используя определение скорости (1.9) и известное утверждение о том, что скалярное произведение вектора на его приращение равно произведению модуля вектора на приращение этого модуля:

где — кинетическая энергия точки. В результате получаем, что дифференциал кинетической энергии точки

равен элементарной работе действующей на точку силы:

Разделив (6.1) на и определив мощность силы как отношение получим другую форму закона изменения кинетической энергии, а именно: производная кинетической энергии точки по времени равна мощности силы, действующей на точку:

Следует иметь в виду, что элементарная работа не всегда является полным дифференциалом, а мощность — полной производной скалярной функции по времени.

Потенциальные силы. Как предполагалось выше, сила является заданной функцией положения, скорости точки и времени. Поэтому, не зная закона движения точки (т. е. функции нельзя вычислить работу на конечном перемещении точки. Для вычисления конечного изменения кинетической энергии в общем случае нужно знать решение уравнений движения. Однако для весьма широкого класса сил можно, не зная решения уравнений движения, найти изменение кинетической энергии. Такими силами являются потенциальные силы.

Понятие о потенциальных силах тесно связано с понятием о силовом поле, которое рассмотрим на примере электростатического поля. Известно, что сила, с которой неподвижный заряд 2 действует на заряд 1, может быть записана в виде

где (здесь начало координат совмещено со вторым зарядом, см. (2.9)). В этом выражении вектор не зависит от величины заряда Поэтому становится возможным следующее представление о силе: заряд 2 — источник силы — порождает силовое поле, которое в каждой точке пространства имеет определенную напряженность независимо от того, присутствует ли в этой точке пространства другой заряд — объект воздействия — или нет; если такой заряд имеется, то на него действует поле с силой, равной произведению этого заряда на напряженность поля в месте нахождения этого заряда. Таким образом, силовое рмле можно задать с помощью напряженности поля или силы как функций точки пространства.

Силовое поле называется потенциальным, если его напряженность удовлетворяет требованию, которое для рассматриваемого примера имеет вид

(дифференциальная операция «ротор» производится по координатам точки пространства). Соответственно силу называют потенциальной, если она зависит только от координат и удовлетворяет требованию

Учитывая, что векторная функция, удовлетворяющая требованию (6.3), всегда может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции от положения точки, потенциальную силу можно представить в виде

Элементарная работа потенциальной силы будет полным дифференциалом:

Отсюда вытекает, что работа на конечном перемещении точки из положения в положение Г! равна определенному интегралу:

(здесь и далее предполагается, что — однозначная функция). Итак, работа потенциальной силы равна разности значений функции в начальном и конечном положениях материальной точки и не зависит от формы траектории, по которой движется точка. Скалярную функцию называют потенциальной энергией точки, т. е. энергией, зависящей от расположения точки в потенциальном силовом поле. Из (6.5) и (6.4) видно, что потенциальную энергию можно найти по заданной потенциальной силе с помощью неопределенного интеграла:

(здесь С — постоянная, определяющая «нулевой уровень» потенциальной энергии; выбор такого уровня произволен и не влияет на значение силы и работы этой силы).

Приведем ряд примеров. Пусть сила перпендикулярна к неподвижной плоскости и является функцией расстояния от этой плоскости. Такая сила потенциальна, поскольку она удовлетворяет условию (6.3). Если координатную ось направить вдоль силы, т. е. перпендикулярно к указанной плоскости, то найдем

В частности, напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости постоянна по величине и направлена перпендикулярно этой плоскости (36, гл. I, § 4]. Совмещая координатную плоскость с заряженной плоскостью, получим следующие выражения для силы и элементарной работы:

Для потенциальной энергии заряда и работы силы электростатического поля на конечном перемещении заряда соответственно находим

Отсюда видно, что работа силы по перемещению точки с плоскости на плоскость не зависит от формы траектории (каждая из указанных плоскостей представляет собой эквипотенциальную поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение).

Рассмотрим силу, величина которой зависит от расстояния до неподвижной прямой, а линия действия которой проходит через эту прямую перпендикулярно к ней. Поле такой силы потенциально, поскольку условие (6.3) выполняется. Если ось совместить с осью симметрии поля, то в цилиндрических координатах будем иметь

В качестве частного примера можно взять электростатическое поле равномерно заряженной бесконечной прямой. Как известно, сила, действующая на заряд со стороны такого поля, равна

где х — заряд, приходящийся на единицу длины [36, гл. I, § 4]. Подставляя (6.12) в (6.11), получим

В данном примере эквипотенциальными поверхностями являются коаксиальные цилиндры с осью, совпадающей с заряженной прямой, а работа, совершаемая над зарядом при его движении по любому пути между двумя такими поверхностями, будет одной и той же.

Наконец, приведем случай центральной силы, являющейся функцией расстояния от центра силы. Совмещая начало координат с центром силы и используя сферические координаты, запишем силу в виде

Непосредственной проверкой убедимся в потенциальности силы (6.14); при этом интересующие нас выражения будут определяться следующими формулами:

Например, если

то

В этом примере поверхностями равного потенциала являются сферы с центром, совпадающим с неподвижным зарядом (см. стр. 68.

Во всех рассмотренных случаях сила являлась стационарной, т. е. явно от времени не зависела. Это означает, что при фиксированном положении точки ее потенциальная энергия не изменяется со временем, т. е. частная производная .

Однако если точка перемещается, то ее потенциальная энергия будет изменяться. Такое изменение характеризуется полной производной:

(здесь является радиусом-вектором материальной точки). В приведенных примерах (см. (6.10), (6.13), (6.16)) полная производная .

Сила, явно зависящая не только от положения, но и от времени, также может удовлетворять условию потенциальности (6.3) (в этом случае сила называется нестационарной потенциальной силой). Тогда выражение (6.4) также имеет место, а потенциальная энергия определяется по заданной силе интегралом (6.7), причем интегрирование производится при фиксированном времени. Что касается соотношения (6.5), то оно не имеет места. Действительно, если явно зависит от то

и, следовательно,

Так как свойство (6.6) в этом случае не выполняется, то для определения работы, совершенной на конечном пути, нужно знать закон движения точки, т. е. функцию

Рассмотрим в качестве примера заряд в переменном электрическом поле напряженности (см. (2.11)). Направляя ось вдоль вектора согласно (6.7) получим

Следовательно, в этом примере как полная, так и частная производные потенциальной энергии по времени отличны от нуля.

Гироскопической силой называется сила, линейно зависящая от скорости точки и направленная всегда перпендикулярно этой скорости; проекции гироскопической силы на координатные оси являются однородными линейными формами относительно проекций скорости точки с коэффициентами, составляющими

антисимметричную матрицу; работа гироскопических сил всегда равна нулю.

Возьмем, например, часть силы Лоренца (2.10), зависящую от напряженности магнитного поля:

Проекции этой силы на декартовы оси соответственно равны

откуда видно, что матрица, составленная из коэффициентов при проекциях скорости, антисимметрична:

Также легко убедиться, что мощность силы (6.20) всегда равна нулю:

Диссипативной силой называется сила, направленная всегда противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение этого тела. Такая сила имеет вид

где — положительная скалярная функция, которая может зависеть от положения и скорости тела. Диссипативная сила задается диагональной матрицей коэффициентов при проекциях скорости на координатные оси

Мощность диссипативных сил при перемещениях тела относительно среды, вызывающей торможение тела, отрицательна:

Например, сила сопротивления (2.12) является диссипативной силой. При достаточно больших относительных скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости и имеет вид (6.23), где — положительная постоянная). Сила трения скольжения, возникающая при движении тела по поверхности другого твердого тела, прямо пропорциональна — величине нормальной реакции твердого тела на движущееся тело. Таким сбразом, в этом случае — положительная постоянная, может зависеть от положения тела).

Теперь предположим, что на точку действуют потенциальная гироскопическая и диссипативная силы, сумма которых равна

Мощность силы получим, учитывая (6.18) и (6.22):

Тогда, определяя полную механическую энергию Е точки как сумму ее кинетической и потенциальной энергий

с помощью (6.2) найдем закон изменения полной энергии точки при наличии потенциальных, гироскопических и диссипативных сил:

Итак, изменение полной энергии точки обусловлено явной зависимостью потенциальных сил от времени, а также наличием диссипативных сил; гироскопические силы не изменяют энергии.

Например, изменение полной энергии заряда в переменном электрическом поле (2.11) подчиняется уравнению (см. (6.19) и (6.28))

Если на точку действует потенциальная сила тяжести и диссипативная сила сопротивления, т. е. сила (см. пример 4.3 на стр. 49, то потенциальная энергия точки равна

(ось направлена против силы тяжести), а закон изменения энергии (6.28) примет вид

Следовательно, полная энергия точки убывает, что, конечно, не означает исчезновения энергии; механическая энергия Е убывает, превращаясь в определенное количество теплоты, но это превращение уравнение (6.28) не отражает.

В общем случае полная энергия точки может возрастать, убывать или сохранять постоянное значение; в частности, энергия будет сохраняться, если ее прибыль и убыль компенсируют друг друга. Однако возможны случаи, когда процессы поступления энергии в систему и убыли энергии отсутствуют. Действительно, если среди сил, действующих на точку, нет диссипативных сил, а потенциальные силы стационарны, то полная энергия точки будет сохраняться, т. е. если то

Закон (6.29) сохранения полной энергии точки дает один первый интеграл — интеграл энергии, который позволяет, не отыскивая решения уравнений движения, определять величину скорости как функцию положения точки.

Например, в задаче о пространственном осцилляторе потенциальная энергия равна

(см. пример 4.2). Поскольку явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, то полная энергия осциллятора будет сохраняться, т. е.

Отсюда можно определить величину скорости как функцию расстояния от центра силы:

В примере 4.4 рассматривалось движение заряда в постоянном однородном магнитном поле, т. е. движение под действием

только гироскопической силы (см. стр. 54). Закон (6.29) в этом случае приводит к интегралу

из которого следует сохранение абсолютной величины скорости заряда.

При движении заряда в постоянных однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях на заряд действуют потенциальная сила и гироскопическая (см. пример, 4.4 на стр. 56). Направляя ось вдоль вектора найдем выражение потенциальной энергии

и получим интеграл энергии

Так как сила искривляя траекторию, ограничивает движение заряда в направлении оси то и кинетическая энергия изменяется в определенных пределах.

Теорема Клаузиуса о вириале сил. Если движение точки происходит в ограниченной области пространства с ограниченной по модулю скоростью, то имеет место теорема Клаузиуса, согласно которой кинетическая энергия точки, усредненная по бесконечному интервалу времени, равна усредненному по тому же интервалу времени вириалу сил; вириалом силы называется функция

В самом деле, умножим обе части уравнения движения (3.4) скалярно на радиус-вектор точки и представим результат умножения в виде

Усредняя все члены по бесконечному интервалу времени, найдем, что

Отсюда, учитывая ограниченность получим соотношение

доказывающее справедливость теоремы Клаузиуса.

Если сила потенциальна, то (6.33) согласно (6.4) можно представить в виде

Теперь дополнительно потребуем, чтобы потенциальная энергия была однородной функцией -той степени относительно координат точки. В этом случае из соотношения (6.34) следует практически важное соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергий точки

(при этом используется теорема Эйлера об однородных функциях [40, стр. 487]). Например, для линейного гармонического осциллятора

а для точки, движущейся в поле тяготения Ньютона

Теорема о вириале используется в механике, статистической механике и атомной физике (например, для вывода уравнений состояния и определения постоянных межмолекулярного взаимодействия). Теорема в виде (6.34) и (6.35) имеет место и в квантовой механике (с соответствующими обобщениями используемых операций усреднения и других понятий).

Для системы точек теорема о вириале сил следует из уравнений (3.5). Действительно, умножая обе части каждого из уравнений (3.5) на соответствующий радиус-вектор и складывая все результаты умножения, аналогично (6.33) получим

для произвольных заданных сил и

для потенциальных сил.

Пример 6.1. Движение через потенциальный барьер.

Точка массы движется из полупространства, где ее потенциальная энергия равна постоянной величине в полупространство, где потенциальная энергия равна постоянной Эти полупространства разделены плоскостью. Найти скорость точки после того, как она перейдет плоскость раздела (начальная скорость точки известна).

Изменение потенциальной энергии происходит только на плоскости раздела в направлении, перпендикулярном этой плоскости. Поэтому сила, действующая на точку, отлична от нуля только на плоскости и перпендикулярна к ней. В связи с этим координатную плоскость совместим с плоскостью потенциального барьера, а ось направим перпендикулярно к нему. Так как проекции силы на оси равны нулю, то из закона сохранения (5.5) следует, что

(в этом примере «нештрихованные» величины относятся к полупространству, где потенциальная энергия равна а «штрихованные» — к полупространству, где потенциальная энергия равна причем все «нештрихованные» величины считаются заданными). Из закона сохранения энергии (6.29) вытекает, что

Полученные соотношения дают возможность найти направляющие косинусы и абсолютную величину скорости после прохождения плоскости потенциального барьера как функции тех же величин до прохождения барьера:

где

— углы между координатными осями и скоростью точки до и после прохождения потенциального барьера соответственно. Приведенное решение справедливо, если

в противном случае имеет место отражение частицы от потенциального барьера.

Пример 6.2. Заряд в неоднородном магнитном поле.

В магнитном поле постоянного тока силы протекающего по бесконечному прямому тонкому проводнику, движется точка заряда Найти удельный заряд точки, полагая известными начальное расстояние заряда до проводника, начальную скорость направленную вдоль тока, и максимальное расстояние заряда от проводника.

Направляя ось по проводнику вдоль тока, получим выражение для напряженности магнитного поля в цилиндрических координатах [36, стр. 214]

Проекции силы Лоренца будут соответственно равны

Используя (2), найдем, что проекция момента силы Лоренца равна нулю, что приводит к интегралу (см. (5.16))

Отсюда, в силу начальных условий заключаем, что заряд движется в плоскости

Сохранение кинетической энергии (см. (6.31)) дает еще один интеграл

который для заданных начальных условий сводится к соотношению

Поскольку законы сохранения других интегралов движения не дают, воспользуемся одним из уравнений движения

которое сразу интегрируется:

При максимальном удалении проекция скорости должна обращаться в нуль и, следовательно, согласно (4) должна равняться . Таким образом, из интеграла (5) с учетом знака заряда получим величину удельного заряда