§ 53. Деформация малой частицы

Изучим перемещение данной малой частицы среды и с этой целью рассмотрим два ее бесконечно близких положения (1) и (2) (рис. 53.1). Радиусы-векторы двух любых точек О и А этой частицы связаны соотношением (1.6), откуда следует, что перемещение точки А равно

С другой стороны, перемещения представляют собой значения одной и той же функции и в точках пространства (см. (52.4)):

Рис. 53.1

причем Следовательно, перемещение точки А относительно поступательно движущейся системы отсчета с началом в О равно

Разложим в точке и учтем, что — достаточно малая величина, поскольку достаточно мала вся рассматриваемая частица. В результате, пренебрегая членами разложения второго порядка малости по сравнению с членами первого порядка, найдем, что

(здесь и в дальнейшем, если частица называется малой, допускается справедливость указанного пренебрежения).

Запишем выражение (53.3) в тензорной форме, вводя обозначения

и применяя известнее правило записи, согласно которому суммирование производится по всем возможным значениям повторяющегося в произведении индекса, а знак суммы опускается. Тогда получим

(в данном случае повторяющимся индексом является индекс пробегающий значения 1, 2, 3). Приведем более подробную запись выражения (53.5), например, для

Теперь заметим, что производная всегда может быть представлена в виде суммы компонент антисимметричного тензора

и симметричного тензора

т. е. в виде суммы

Следовательно, относительное перемещение точки А можно записать в виде

Рассмотрим подробнее первую сумму правой части (53.9). Тензор в силу своей антисимметричности определяется тремя независимыми компонентами и может быть задан матрицей

При этом компоненты имеют вид

т. е. такой же вид, как и компоненты векторного произведения двух любых векторов а и

Поэтому три независимые компоненты антисимметричного тензора образуют векторное произведение двух соответствующих векторов. Для тензора (53.6) таким векторным произведением, очевидно, является т. е. с компонентами

Поскольку представляет собой бесконечно малый вектор (он линеен относительно перемещения u), введем для вектора (53.11) и его компонент обозначения

Теперь, используя антисимметричность тензора и (53.12), найдем для интересующей нас суммы из (53.9) выражение

Аналогично получим:

Таким образом, сумма представляет собой -тую компоненту векторного произведения

Что касается второй суммы из (53.9), то ее всегда можно записать в виде:

где

Следовательно, вторая сумма из (53.9) равна -той компоненте градиента функции по переменной Наконец, используя (53.1), (53.3), (53.5), (53.9), а также (53.13), (53.13) и (53.14), найдем, что перемещение точки А с точностью до величин первого порядка малости равняется

Сопоставляя (53.15) с выражениями для перемещений материальной точки и точки абсолютно твердого тела (такие выражения следуют из формулы (19.10) и второй формулы (37.2)), убеждаемся в том, что перемещение любой точки малой частицы с точностью до величин первого порядка малости слагается из перемещения которое точка совершает в результате движения всей частицы, как абсолютно твердого тела, и перемещения, равного и связанного с деформацией частицы, т. е. с изменением ее формы и объема. Таким образом, представляет собой поступательное перемещение частицы, — вектор

бесконечно малого поворота частицы, как абсолютно твердого тела, а перемещение является, как его называют, вектором деформации. Для данных точек О и А все слагаемые перемещения точки А определяются полем перемещений, при этом вектор поворота определяется посредством тензора а вектор деформации посредством тензора По этой причине тензор называется тензором поворота, а тензор тензором деформаций за время

Имея в виду, что перемещение запишем тензоры поворота и деформаций в виде

где

Тензор определяет угловую скорость частицы

(также, как тензор определяет поворот dx). Тензор который называется тензором скоростей деформаций, определяет скорость деформации, т. е. вектор Этот вектор может быть представлен в виде градиента

от квадратичной формы

Таким образом, учитывая формулы (53.16) — (53.20) и относя перемещения поворот и вектор деформации к элементу времени из (53.15) придем к соотношению для скоростей точек А и О:

Зная тензор деформаций, можно найти изменение длины малого материального «отрезка» сплошной среды, т. е. элемента среды, состоящего из частиц, лежащих на малом отрезке прямой, а зная тензор скоростей деформаций, можно определить скорость такого изменения. Например, найдем относительное изменение

длины материального отрезка (рис. 53.1). В первом положении его длина равнялась а во втором получила приращение Используя справедливое для любого вектора равенство а также выражение

и учитывая (53.14), (53.14), для относительного удлинения (сокращения) отрезка получим

где — косинус угла между вектором и -той координатной осью.

Воспользовавшись (53.22) и (53.9), нетрудно выяснить смысл компонент тензора деформаций в простейших случаях. Из (53.22) видно, что компонента представляет собой относительное удлинение малого отрезка среды, первоначально направленного параллельно -той координатной оси. Например, для отрезка, первоначально параллельного оси направляющие косинусы равны , следовательно, относительное удлинение будет равно Отсюда ясно, что компоненты тензора деформаций с одинаковыми индексами характеризуют деформации растяжения (или сжатия) в направлении соответствующей оси.

Рис. 53.2

Рассмотрим также деформацию двух малых отрезков среды, первоначально направленных вдоль осей соответственно (рис. 53.2). Полагая, что поступательное перемещение, вращение и растяжение отсутствуют, а деформация происходит только в плоскости из (53.9) найдем компоненты смещения точки А

и компоненты смещения точки В

Отсюда следует, что

равняется половине угла на который уменьшился первоначально прямой угол. Из этого примера ясно, что компоненты тензора деформаций с различными индексами характеризуют деформации сдвига.

Тензор деформаций, как и всякий симметричный тензор, можно привести к главным осям, т. е. в каждой данной точке О можно так выбрать систему координат, чтобы все «недиагональные» компоненты тензора обратились бы в нуль. Следовательно, тензор деформаций, вычисленный в такой системе координат, имеет в общем случае три отличные от нуля главные компоненты . Координатные оси указанной системы называются главными осями тензора деформаций. Отнесенные к главным осям выражения для квадратичной формы Ч, компонент вектора деформации и относительного удлинения заметно упрощаются:

Из (53.24), в частности, следует, что точка, первоначально находившаяся на главной оси, после деформации останется на ней. В самом деле, если то проекции вектора деформации будут равны: Из (53.24) также следует, что произвольную деформацию малой частицы всегда можно рассматривать как совокупность трех деформаций растяжения (сжатия) вдоль главных осей.

Теперь найдем относительное изменение объема частицы. Имея в виду, что изменение объема не связано с поступательным движением и вращением частицы, будем рассматривать перемещения, связанные лишь с ее деформацией. В качестве координатных осей с началом в данной частице среды возьмем главные оси тензора деформаций. Объем частицы до деформации (представим ее в виде параллелепипеда со сторонами параллельными главным, осям) будет равен произведению длин соответствующих отрезков, направленных первоначально вдоль главных осей. Однако после деформации отрезок длины как было установлено,

будет направлен так же, а его длина станет равной (здесь суммирование по повторяющемуся индексу не производится). Следовательно, объем частицы после деформации равняется Отсюда, пренебрегая членами высшего порядка малости, найдем относительное изменение объема

Далее учтем, что сумма главных компонент симметричного тензора является инвариантом относительно поворота осей, т. е. при любом направлении декартовых осей

(это можно непосредственно установить, используя преобразование поворота (38.24)). Следовательно, при любом направлении осей относительное изменение объема частицы равно дивергенции поля перемещений:

Соответственно скорость относительного изменения объема частицы, равна дивергенции поля скоростей:

Пример 53.1. Деформация «квадрата».

Рассмотрим перемещение малой частицы — «квадрата» — в его плоскости, полагая, что сторона квадрата до деформации равна поступательное движение отсутствует а углы скашивания сторон квадрата малы и соответственно равны (рис. 53.3, а).

Рис. 53.3

В случае перемещений в плоскости проекции вектора и любой точки квадрата и относительное удлинение любого отрезка имеют вид (см. (53.9), (53.22)):

Отсюда для проекций перемещения точки А и относительного удлинения отрезка соответственно получим:

Аналогично найдем для точки В и отрезка

а также для точки С и отрезка

Так как углы скашивания малы, то . С другой стороны

Следовательно, а

Таким образом, в рассматриваемом случае одновременно происходят повороты квадрата, как твердого тела, на угол (см. (53.12)), две деформации растяжения, определяемые компонентами , и деформация сдвига, определяемая углом При построении фигуры после деформации следует учесть, что любая прямая ввиду линейности преобразования (1) преобразуется в некоторую другую прямую.

В частном случае, когда поворот отсутствует а перемещение сводится к чистой деформации со следующими проекциями смещений точки А:

точки В

и точки С

Отсюда видно, что С после деформации остается на диагонали квадрата , следовательно, диагональ является главной осью тензора деформаций (рис. 53.36). Поворачивая оси на угол и применяя преобразование (38.24), найдем главные компоненты тензора , а также проекции на главные оси перемещения точки А и относительное удлинение отрезка ОА

аналогично получим для точки В и отрезка ОВ

а также для точки С и отрезка