Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 53. Деформация малой частицыИзучим перемещение данной малой частицы среды и с этой целью рассмотрим два ее бесконечно близких положения (1) и (2) (рис. 53.1). Радиусы-векторы двух любых точек О и А этой частицы связаны соотношением (1.6), откуда следует, что перемещение
С другой стороны, перемещения
Рис. 53.1 причем
Разложим
(здесь и в дальнейшем, если частица называется малой, допускается справедливость указанного пренебрежения). Запишем выражение (53.3) в тензорной форме, вводя обозначения
и применяя известнее правило записи, согласно которому суммирование производится по всем возможным значениям повторяющегося в произведении индекса, а знак суммы опускается. Тогда получим
(в данном случае повторяющимся индексом является индекс
Теперь заметим, что производная
и симметричного тензора
т. е. в виде суммы
Следовательно, относительное перемещение точки А можно записать в виде
Рассмотрим подробнее первую сумму правой части (53.9). Тензор
При этом компоненты
т. е. такой же вид, как и компоненты векторного произведения
Поэтому три независимые компоненты антисимметричного тензора образуют векторное произведение двух соответствующих векторов. Для тензора (53.6) таким векторным произведением, очевидно, является
Поскольку
Теперь, используя антисимметричность тензора
Аналогично получим:
Таким образом, сумма Что касается второй суммы из (53.9), то ее всегда можно записать в виде:
где
Следовательно, вторая сумма из (53.9) равна
Сопоставляя (53.15) с выражениями для перемещений материальной точки и точки абсолютно твердого тела (такие выражения следуют из формулы (19.10) и второй формулы (37.2)), убеждаемся в том, что перемещение любой точки малой частицы с точностью до величин первого порядка малости слагается из перемещения бесконечно малого поворота частицы, как абсолютно твердого тела, а перемещение Имея в виду, что перемещение
где
Тензор
(также, как тензор
от квадратичной формы
Таким образом, учитывая формулы (53.16) — (53.20) и относя перемещения
Зная тензор деформаций, можно найти изменение длины малого материального «отрезка» сплошной среды, т. е. элемента среды, состоящего из частиц, лежащих на малом отрезке прямой, а зная тензор скоростей деформаций, можно определить скорость такого изменения. Например, найдем относительное изменение длины материального отрезка
и учитывая (53.14), (53.14), для относительного удлинения (сокращения) отрезка получим
где Воспользовавшись (53.22) и (53.9), нетрудно выяснить смысл компонент тензора деформаций в простейших случаях. Из (53.22) видно, что компонента
Рис. 53.2 Рассмотрим также деформацию двух малых отрезков среды, первоначально направленных вдоль осей
и компоненты смещения точки В
Отсюда следует, что
Тензор деформаций, как и всякий симметричный тензор, можно привести к главным осям, т. е. в каждой данной точке О можно так выбрать систему координат, чтобы все «недиагональные» компоненты тензора обратились бы в нуль. Следовательно, тензор деформаций, вычисленный в такой системе координат, имеет в общем случае три отличные от нуля главные компоненты
Из (53.24), в частности, следует, что точка, первоначально находившаяся на главной оси, после деформации останется на ней. В самом деле, если Теперь найдем относительное изменение объема частицы. Имея в виду, что изменение объема не связано с поступательным движением и вращением частицы, будем рассматривать перемещения, связанные лишь с ее деформацией. В качестве координатных осей с началом в данной частице среды возьмем главные оси тензора деформаций. Объем будет направлен так же, а его длина станет равной
Далее учтем, что сумма главных компонент симметричного тензора является инвариантом относительно поворота осей, т. е. при любом направлении декартовых осей
(это можно непосредственно установить, используя преобразование поворота (38.24)). Следовательно, при любом направлении осей относительное изменение объема частицы равно дивергенции поля перемещений:
Соответственно скорость относительного изменения объема частицы, равна дивергенции поля скоростей:
Пример 53.1. Деформация «квадрата». Рассмотрим перемещение малой частицы — «квадрата» — в его плоскости, полагая, что сторона квадрата до деформации равна
Рис. 53.3 В случае перемещений в плоскости
Отсюда для проекций перемещения точки А и относительного удлинения отрезка
Аналогично найдем для точки В и отрезка
а также для точки С и отрезка
Так как углы скашивания малы, то
Следовательно,
Таким образом, в рассматриваемом случае одновременно происходят повороты квадрата, как твердого тела, на угол В частном случае, когда
точки В
и точки С
Отсюда видно, что С после деформации остается на диагонали квадрата
аналогично получим для точки В и отрезка ОВ
а также для точки С и отрезка
|
1 |
Оглавление
|