§ 18. Общий случай движения системы отсчета (твердого тела)

В случае произвольного движения твердого тела и жестко связанной с ним системы отсчета как радиус-вектор ее начала так и ее орты (косинусы и углы Эйлера) являются функциями времени. Покажем, что любое перемещение твердого тела и жестко связанной с ним системы S всегда можно представить как совокупность поступательного перемещения и изменения ориентации с осью поворота, проходящей через начало системы

Рис. 18.1

Действительно, рассмотрим положение системы S в моменты времени и соответственно (см. рис. 16.1 и 18.1, а). Перемещение системы из положения 1 в положение 2 мысленно можно произвести двояким образом. Например, можно «сначала» совершить такой поворот вокруг оси, проходящей через в результате которого орты S будут ориентированы так же, как и в положении 2 (такой поворот по теореме Эйлера всегда возможен) «затем» эту сориентированную систему следует перенести поступательно до совмещения с положением 2 (это перемещение

характеризуется - перемещением начала системы S — см. рис. 18.1, б). Изменяя последовательность этих операций, можно «сначала» поступательно перенести систему до совмещения , а «затем» совершить тот же поворот вокруг оси, параллельной оси поворота в первом случае, но проходящей через (слова «сначала» и «затем» не имеют здесь временного смысла).

Учтем далее, что при поступательном движении приращения (см. (17.1)). Поэтому из вышесказанного следует, что в общем случае изменение ортов системы S относительно системы S связано с вектором поворота так же, как в том случае, когда начало О остается неподвижным относительно системы S. Таким образом, выражения (17.8) для производных от единичных векторов и разложения угловой скорости (17.10), (17.11) и (17.12) имеют место и в общем случае.

Указанное выше разложение движения тела на поступательное и вращательное можно осуществить бесконечным числом способов: любую точку твердого тела можно взять за начало О, а ортам системы S можно задать любую ориентацию, лишь бы все эти «штрихованные» системы были жестко связаны с данным твердым телом.

Рис. 18.2

Однако у разных точек твердого тела различное положение и, вообще говоря, различные перемещения по отношению к определенной системе Следовательно, функция характеризующая поступательное движение твердого тела, зависит от выбора начала системы что касается вектора поворота и угловой скорости то эти функции для данного твердого тела в его движении относительно данной системы отсчета S не зависят от выбора системы жестко связанной с телом, причем

ось поворота всегда будет проходить через выбранное начало «штрихованной» системы, т. е.

Проиллюстрируем (18.1) на примере квадратной пластинки, перемещающейся параллельно своей плоскости из положения 1 в положение 2 (см. рис. 18.2, на котором плоскость пластинки совпадает с плоскостью Оху). Это перемещение можно разложить на отличающиеся друг от друга поступательные перемещения и, как убедимся, одно и то же вращение вокруг параллельных осей, проходящих через различные точки. В самом деле, введем системы S и жестко связанные с пластинкой. Ориентация системы относительно S неизменна. Следовательно, угол между осями при любом положении пластинки остается постоянным и, таким образом, (рис. 18.2, в). Поэтому угол поворота равен углу поворота Что касается осей поворота, то они совпадают с осями т. е. параллельны между собой и проходят через О и О соответственно. Итак, в частном случае свойство (18.1) действительно имеет место. Нетрудно провести и аналитическое доказательство (18.1) в общем случае, основываясь на том, что все «штрихованные» системы, жестко связанные с данным твердым телом, сохраняют ориентацию по отношению друг к другу.