§ 27. Структура уравнений движения в независимых координатах и функция Лагранжа

В предыдущем параграфе было выяснено, насколько важен выбор независимых обобщенных координат при составлении уравнений Лагранжа. В свою очередь вопрос о выборе координат требует более тщательного изучения структуры этих уравнений. С этой целью прежде всего рассмотрим структуру кинетической энергии.

Кинетическая энергия является однородной положительно определенной квадратичной формой от скоростей точек. Положительная

определенность этой формы означает, что при любых значениях проекций скоростей, одновременно не равных нулю, а только в том случае, если все свойствах квадратичных форм см. [44, гл. 1, §§ 4—7]). Однако кинетическая энергия как функция обобщенных скоростей в общем случае будет неоднородной квадратичной формой. Убедимся в этом непосредственно, подставляя в кинетическую энергию скорости точек, выраженные через обобщенные переменные, т. е. подставляя (26.10). Изменяя порядок суммирования, найдем, что

где являются однородными формами соответственно второй, первой и нулевой степени относительно обобщенных скоростей:

Как видно, все коэффициенты и форма нулевой степени зависят только от обобщенных координат и времени, а неоднородность кинетической энергии как функции обобщенных скоростей имеет место только в том случае, если преобразование (26.4) явно зависит от времени (например, в случае системы с нестационарными связями). Если же преобразование (26.4) подчиняется условиям

то кинетическая энергия будет однородной формой обобщенных скоростей, т. е. . Условия (27.3) выполняются, в частности, для случая стационарных связей.

Рассматривая свойства прежде всего заметим, что все коэффициенты симметричны по индексам, т. е.

Далее можно убедиться, что является положительно определенной формой обобщенных скоростей. Положительная определенность

относительно означает, что причем только в том случае, если все

Для доказательства этого утверждения запишем в виде

Отсюда следует, что является положительно определенной формой относительно сумм

Иначе говоря, при любых значениях этих сумм причем только в том случае, если все эти суммы равны нулю:

Матрица, составленная из коэффициентов вида представляет собой функциональную матрицу системы функций (26.4). Согласно предположению о независимости этих функций (см. (26.5)) ранг этой матрицы равен Если же ранг матрицы равен числу неизвестных в линейной однородной системе (27.5), то нулевое решение такой системы является единственным [45, стр. 83]. Таким образом, действительно обращается в нуль только в случае, когда все . С другой стороны, если хотя бы одна из этих скоростей отлична от нуля, то . Итак, форма является положительно определенной формой от обобщенных скоростей. Следовательно, детерминант, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля [44, гл. 1, § 6, теорема 3]:

Основываясь на этом свойстве, можно убедиться, что уравнения Лагранжа (26,20) однозначно определяют движение механической

системы, если заданы начальные значения обобщенных координат и скоростей. Действительно, из (27.1) и (27.2) найдем

откуда следует, что

(величины вида называются обобщенными ускорениями).

С другой стороны, члены — не зависят от обобщенных ускорений, не зависят от них и обобщенные силы, так как все заданные силы являются функциями только положений, скоростей точек и времени. Поэтому уравнения (26.20) представляют собой систему

которую в силу (27.6) можно разрешить относительно ускорений и представить в виде

На основании известной теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [42, стр. 86] система (27.9) с заданными функциями имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Переходя к изучению структуры обобщенных сил, вспомним, что эти силы, согласно (26.17), определяются известными векторными силами, а в случае потенциальных сил — потенциальной энергией или потенциалом как функцией положения точек и времени.

Рассмотрим обобщенно-потенциальные силы, которые могут быть заданы с помощью скалярной функции зависящей не только от положений точек и времени, но и от скоростей точек (такая функция называется обобщенным потенциалом). Например, сила Лоренца, с которой электромагнитное

поле действует на движущийся заряд, является обобщенно-потенциальной и, как будет показано ниже, может быть представлена в виде

где

— векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, заданные как функции точки пространства и времени и определяющие напряженности поля [35, стр. 155 или 36, стр. 438]:

в формуле (27.10) символом обозначен градиент, а символом - дифференциальный оператор

Подставляя (27.11) в (27.10), получим

Затем, используя полную производную векторного потенциала по времени

(здесь к вектору А применяется оператор — скалярное произведение убедимся, что правая часть равенства (27.13) имеет вид

Наконец, подставляя сюда (27.12), придем к известному выражению силы Лоренца. Эта сила слагается из потенциальной силы , непотенциальнои силы зависящей от положения и времени, а также из гироскопической силы —

Обобщенные силы, соответствующие силе вида (27.10), всегда можно представить в форме

Действительно, пользуясь (27.10) и определением обобщенной силы, получим

Затем, учитывая, что (27.17) можно привести к виду

Отсюда, принимая во внимание очевидные равенства

убеждаемся в справедливости (27.16).

Обобщенный потенциал, определяющий силы вида (27.16), должен быть линейной формой относительно скоростей точек (в противном случае мы получим силы, зависящие от ускорений). Например, обобщенный потенциал системы зарядов во внешних электромагнитных полях, согласно (27.11), имеет вид

Выражая здесь скорости точек и их радиусы-векторы через обобщенные переменные (см. (26.4) и (26.10)), получим, что

где — линейная однородная форма обобщенных скоростей, — форма нулевой степени являются функциями только координат и времени). Нетрудно убедиться, что силы соответствующие обобщенному потенциалу (27.21), равны

где коэффициенты, антисимметричные по индексам. Отсюда видно, что гироскопическая часть обобщенной силы может быть задана с помощью антисимметричной матрицы (см. определение гироскопической силы на стр. 72).

При наличии обобщенно-потенциальных и диссипативных сил уравнения Лагранжа в независимых координатах можно записать в виде

где — разность кинетической энергии и обобщенного потенциала, — обобщенные диссипативные силы. Подчеркнем, что и все являются функциями обобщенных координат и обобщенных скоростей Функция называется функцией Лагранжа или лагранжианом. Она является неоднородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей (см. (27.1) и (27.21)):

Когда диссипативные силы линейно зависят от скоростей точек, они также могут быть выражены через скалярную функцию. В самом деле, если

то, подставляя (27.25) в (26.17) и используя (26.11), получим

где — диссипативная функция Рэлея. Структура этой функции аналогична структуре кинетической энергии, так как формально диссипативная функция может быть получена из кинетической энергии заменой каждой массы на соответствующий коэффициент Производя такую замену, из (27.1) и (27.2) найдем

где

(здесь все коэффициенты симметричны относительно перестановок индексов).

Пример 27.1. Теорема Лармора.

Пусть электрон (заряда и массы движется в электростатическом поле ядра (порядковый номер ядра равен его масса значительно больше массы электрона, а начальная скорость ядра равна нулю). Эта система помещается в достаточно слабое однородное и постоянное магнитное поле напряженности Показать, что при этом орбита электрона будет прецессировать вокруг оси, параллельной напряженности с угловой скоростью, равной частоте Лармора

Поскольку масса ядра значительно больше массы электрона, введем систему отсчета с началом в ядре (эта система отсчета будет весьма близка к инерциальной — см. замечание на стр. 200). Ось Oz направим вдоль вектора тогда, используя цилиндрические координаты, получим уравнение для определения вектор-потенциала А (см.

Полагая здесь, что и что проекция не зависит от найдем

и, следовательно,

(определение А по заданной напряженности неоднозначно, однако эта неоднозначность не сказывается на значении силы, так как сила зависит от напряженности ).

Таким образом, обобщенный потенциал рассматриваемых полей равен (см. (27.11))

где — потенциал электростатического поля. Используя это выражение V, получим лагранжиан заряда

Чтобы убедиться в справедливости теоремы Лармора, введем вращающуюся с угловой скоростью систему отсчета с началом в ядре и перейдем от переменных к переменным , где . Функция Лагранжа в новых переменных будет равна

Так как по условию напряженность магнитного поля мала, то, пренебрегая членом, пропорциональным получим

С другой стороны, функция (1) в отсутствие магнитного поля равна

Совпадение вида функций (2) и (3) говорит о том, что при наличии магнитного поля электрон движется относительно системы, вращающейся с частотой Лармора, так же, как он движется отсутствие магнитного поля относительно инерциальной системы. Это свидетельствует о прецессии орбиты электрона с угловой скоростью .