Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 20. Уравнение движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета; силы инерцииПусть некоторая система отсчета S является инерциальной системой, а некоторая другая система S движется относительно S произвольным, но известным образом. Получим уравнение движения точки относительно системы S. Относительно инерциальной системы
Здесь
Перенося
получим
Векторы Уравнение (20.1) является уравнением движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета 5. В самом деле, будем считать силу
Тогда какая-либо из сил инерции Ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета возникает под действием силы имеет соответствующей ей противодействующей силы, иначе говоря, силы инерции, в отличие от сил взаимодействия, не подчинены третьему закону Ньютона. Рассматривая уравнения движения (3.4), (20.1) и принцип относительности (3.12), можно убедиться в том, что инерциальные системы являются преимущественными по сравнению с неинерциальными системами. В самом деле, силы инерции определены, если известны векторы Пример 20.1. Уравнение движения точки относительно Земли. Найти уравнение движения точки около поверхности Земли относительно Земли. Пренебрегая воздействием планет солнечной системы на движение Солнца (см. пример 11.1), примем в качестве инерциальной системы отсчета систему 5 с началом О в центре инерции Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды. Относительно этой системы центр инерции Земли движется по эллипсу под действием силы притяжения со стороны Солнца. Кроме того, Земля изменяет свою ориентацию относительно 5 с угловой скоростью со, которую можно считать практически постоянной и равной по величине Введем жестко связанную с Землей систему S с началом О в центре инерции Земли. Уравнение движения точки относительно этой системы имеет вид
Теперь учтем, что на точку действуют силы притяжения со стороны Земли и Солнца, а также другие силы, например сила сопротивления атмосферы Земли. Обозначим указанные силы через
где силы притяжения Земли и Солнца, согласно (2.15), соответственно равны
(здесь
(здесь
Ограничиваясь случаем движения точки около поверхности Земли, можно считать, что
Заметим, что пренебрежение разницей между силой инерции Легко оценить влияние сил инерции, если сопоставить центробежное и кориолисово ускорения с ускорением силы тяготения на поверхности Земли, по величине равным
Отношения максимальных величин центробежного и кориолисова ускорений к ускорению силы тяготения будут соответственно равны
(здесь Отсюда видно, что влияние кориолисовой силы по сравнению с центробежной мало, если скорость В свою очередь центробежная сила мала по сравнению с силой тяготения. Однако несмотря на малую величину сил инерции относительно геоцентрической системы отсчета, эти силы в ряде задач необходимо учитывать. Например, рассмотрим движение точки около поверхности Земли в некоторой малой области по сравнению с радиусом Земли R. Для изучения такого движения удобно ввести систему отсчета S с началом О на поверхности Земли. Эта система так же жестко связана с Землей, как и система
где
где
Два первых члена в правой части этого уравнения пропорциональны массе точки и не зависят от положения и скорости точки в системе
где
справедливому в достаточно малой области на заданной широте. Отсюда видно, что сила, измеряемая при взвешивании тела, равна сумме силы притяжения Земли и центробежной силы инерции. Действительно, пусть взвешивание происходит с помощью динамометра. Тогда Ф является упругой силой, действующей на взвешиваемое тело со стороны пружины динамометра. Изменяя длину пружины и положение прикрепленного к ней тела, можно достичь состояния покоя этого тела относительно Земли, т. е. состояния, в котором
Рис. 20.1 Как мы видели, для достаточно малых скоростей можно пренебречь силой Кориолиса по сравнению с центробежной силой. Если же, кроме того, пренебречь и сопротивлением атмосферы, то ускорение любого свободно падающего тела относительно Земли будет одинаково на данной широте и равно вектору
Отсюда, учитывая независимость ускорения
Это соотношение обычно используется в практике измерения масс. Пример 20.2. Отклонение падающего (или взлетающего) тела от вертикали. Рассмотрим два случая движения свободной материальной точки относительно Земли: падение с нулевой начальной скоростью и движение с начальной скоростью, направленной вверх по вертикали. Будем считать, что движение в обоих случаях происходит в достаточно малой области на географической широте
Опуская для удобства штрихи у переменных, из уравнения (3) примера 20.1 получим уравнения движения точки относительно системы
Одно интегрирование системы (1) после подстановки начальных условий дает
Подставим решение (2) в уравнения движения (1) и пренебрежем членами порядка правые части которых являются либо постоянными, либо функциями только времени:
Отсюда нетрудно получить приближенное решение для проекций радиуса-вектора точки:
(здесь учтено, что в силу выбора системы отсчета В случае падения точки с высоты
Рис. 20.2 Эти функции определяют время падения точки на поверхность Земли и величину отклонения точки на восток.
В случае вертикального взлета точки с поверхности Земли
Отсюда для полного времени полета точки и ее западного склонения соответственно находим
Итак, в обоих случаях точка остается в плоскости, перпендикулярной меридиану; однако в первом случае она отклоняется на восток, а во втором — на запад (имеется в виду движение в северном полушарии). Причиной отклонения с точки зрения земного наблюдателя является кориолисова сила инерции Пример 20.3. Состояние невесомости. Рассмотрим поведение тела, находящегося в спутнике, который движется под действием притяжения Земли вне ее атмосферы с выключенным двигателем. Допустим, что спутник изменяет ориентацию относительно инерциальной системы отсчета с постоянной угловой скоростью а (в качестве инерциальной системы с достаточной степенью точности можно принять систему. На любую материальную точку, находящуюся в спутнике, действует
Ускорение Используя уравнение (9.14), получим
где В уравнении (1) векторы
По той же причине сила притяокения
здесь
Если материальная точка, соприкасающаяся со стенкой спутника или с поверхностью тела, скрепленного со спутником, находится в покое, то сила, с которой стенка или тело действует на точку, отлична от нуля и равна
Следовательно, и точка действует на стенку с силой, равной по величине
|
1 |
Оглавление
|