§ 20. Уравнение движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета; силы инерции

Пусть некоторая система отсчета S является инерциальной системой, а некоторая другая система S движется относительно S произвольным, но известным образом. Получим уравнение движения точки относительно системы S.

Относительно инерциальной системы движение точки подчинено уравнению (3.4)

Здесь — ускорение точки относительно сила, действующая на точку со стороны других тел. Подставляя сюда вместо его выражение (19.20), преобразуем (3.4) к виду

Перенося направо и вводя обозначения

получим

Векторы и называются переносной и кориолисовой силами инерции соответственно, а часть переносной силы, равная называется центробежной силой инерции (о свойствах этого вектора см. стр. 174).

Уравнение (20.1) является уравнением движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета 5. В самом деле, будем считать силу известной функцией радиуса-вектора и скорости точки относительно системы а движение S относительно 5 заданным. Следовательно, известны радиус-вектор начала системы и ее угловая скорость — ускорение начала О — и угловое ускорение могут быть определены как функции времени дифференцированием. В этом случае вся правая часть уравнения (20.1) является заданной функцией и Далее, пусть система S движется ускоренно по отношению к инерциальной системе, т. е. выполняется хотя бы одно условий

Тогда какая-либо из сил инерции или или обе они вместе будут отличны от нуля и, следовательно, будет отлично от нуля ускорение изолированной точки относительно S (см. определение неинерциальной системы на стр. 38). Таким образом, уравнение (20.1) действительно является уравнением движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета.

Ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета возникает под действием силы со стороны определенного тела (или тел), а также в результате ускоренного движения системы S по отношению к инерциальной системе . Ускорение материальной точки, связанное с ускорением неинерциальной системы отсчета по отношению к инерциальной системе, можно трактовать как результат действия сил инерции. Для этих сил нельзя указать источник в виде определенного тела, действующего на данную материальную точку. Поэтому данная сила инерции не

имеет соответствующей ей противодействующей силы, иначе говоря, силы инерции, в отличие от сил взаимодействия, не подчинены третьему закону Ньютона.

Рассматривая уравнения движения (3.4), (20.1) и принцип относительности (3.12), можно убедиться в том, что инерциальные системы являются преимущественными по сравнению с неинерциальными системами. В самом деле, силы инерции определены, если известны векторы характеризующие движение неинерциальной системы относительно инерциальной. Кроме того, уравнение движения точки под действием сил со стороны определенных тел справедливо в любой инерциальной системе отсчета, т. е. уравнения движения относительно инерциальной системы в указанном смысле имеют абсолютный характер. С другой стороны, уравнения движения точки под действием сил со стороны определенных тел, вообще говоря, различны в разных неинерциальных системах отсчета (поскольку для этих систем различны ускорение начала и угловая скорость

Пример 20.1. Уравнение движения точки относительно Земли.

Найти уравнение движения точки около поверхности Земли относительно Земли.

Пренебрегая воздействием планет солнечной системы на движение Солнца (см. пример 11.1), примем в качестве инерциальной системы отсчета систему 5 с началом О в центре инерции Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды. Относительно этой системы центр инерции Земли движется по эллипсу под действием силы притяжения со стороны Солнца. Кроме того, Земля изменяет свою ориентацию относительно 5 с угловой скоростью со, которую можно считать практически постоянной и равной по величине рад в звездную секунду или приближенно равной [37, § 12, 16].

Введем жестко связанную с Землей систему S с началом О в центре инерции Земли. Уравнение движения точки относительно этой системы имеет вид

Теперь учтем, что на точку действуют силы притяжения со стороны Земли и Солнца, а также другие силы, например сила сопротивления атмосферы Земли. Обозначим указанные силы через . Тогда

где силы притяжения Земли и Солнца, согласно (2.15), соответственно равны

(здесь - масса Земли, масса Солнца, радиусы-векторы точки относительно ). Учитывая, что ускорение центра инерции Земли относительно S равно

(здесь — вектор, начало и конец которого находятся в точках соответственно), запишем уравнение движения относительно S в виде

Ограничиваясь случаем движения точки около поверхности Земли, можно считать, что порядка где — радиус Земли. Тогда величина подчинена условию поскольку радиусы-векторы связаны соотношением При таком ограничении часть переносной силы инерции — и сила притяжения Солнца компенсируют друг друга и уравнение движения точки около поверхности Земли примет вид

Заметим, что пренебрежение разницей между силой инерции и силой притяжения исключает объяснение приливных явлений, вызываемых Солнцем на поверхности Земли.

Легко оценить влияние сил инерции, если сопоставить центробежное и кориолисово ускорения с ускорением силы тяготения на поверхности Земли, по величине равным

Отношения максимальных величин центробежного и кориолисова ускорений к ускорению силы тяготения будут соответственно равны

(здесь следует подставлять в

Отсюда видно, что влияние кориолисовой силы по сравнению с центробежной мало, если скорость

В свою очередь центробежная сила мала по сравнению с силой тяготения. Однако несмотря на малую величину сил инерции относительно геоцентрической системы отсчета, эти силы в ряде задач необходимо учитывать.

Например, рассмотрим движение точки около поверхности Земли в некоторой малой области по сравнению с радиусом Земли R. Для изучения такого движения удобно ввести систему отсчета S с началом О на поверхности Земли. Эта система так же жестко связана с Землей, как и система Радиусы-векторы, скорости и ускорения точки относительно систем S и весьма просто выражаются друг через друга, поскольку система не движется относительно Действительно, применяя соотношения (1.6), (19.10) и (19.18) к этим системам, найдем

где — единичный вектор, направленный от центра Земли к началу Используя эти соотношения и условие малости области движения приведем уравнение движения точки к виду

где

Два первых члена в правой части этого уравнения пропорциональны массе точки и не зависят от положения и скорости точки в системе Обозначим сумму этих членов вектором

где

— единичный вектор, перпендикулярный к оси вращения Земли и направленный от этой оси; — геоцентрическая широта, т. е. угол между экваториальной плоскостью и направлением от центра Зейли на О — начало системы. (рис. 20.1). Используя обозначения (2), придем к уравнению движения точки около поверхности Земли

справедливому в достаточно малой области на заданной широте.

Отсюда видно, что сила, измеряемая при взвешивании тела, равна сумме силы притяжения Земли и центробежной силы инерции. Действительно, пусть взвешивание происходит с помощью динамометра. Тогда Ф является упругой силой, действующей на взвешиваемое тело со стороны пружины динамометра. Изменяя длину пружины и положение прикрепленного к ней тела, можно достичь состояния покоя этого тела относительно Земли, т. е. состояния, в котором . С другой стороны, сила Ф, с которой пружина покоящегося динамометра действует на тело, по величине равна весу тела, т. е. силе, с которой покоящееся тело действует на пружину динамометра. Следовательно, если и весы, и взвешиваемое тело покоятся относительно Земли, то вес тела равняется — сумме силы тяжести и центробежной силы инерции. Линия действия S называется вертикалью, а угол между вертикалью и плоскостью экватора — географической широтой

Рис. 20.1

Как мы видели, для достаточно малых скоростей можно пренебречь силой Кориолиса по сравнению с центробежной силой. Если же, кроме того, пренебречь и сопротивлением атмосферы, то ускорение любого свободно падающего тела относительно Земли будет одинаково на данной широте и равно вектору . Следовательно, ускорение свободно падающего тела, как и вес тела (см. (2)), зависит от географической широты Однако отношение веса к этому ускорению равно постоянной для данного тела величине, т. е. равно массе тела:

Отсюда, учитывая независимость ускорения от свойств тела, получим, что отношение весов двух тел равно отношению масс этих тел:

Это соотношение обычно используется в практике измерения масс.

Пример 20.2. Отклонение падающего (или взлетающего) тела от вертикали.

Рассмотрим два случая движения свободной материальной точки относительно Земли: падение с нулевой начальной скоростью и движение с начальной скоростью, направленной вверх по вертикали. Будем считать, что движение в обоих случаях происходит в достаточно малой области на географической широте а сопротивлением атмосферы можно пренебречь. Тогда уравнением движения точки является уравнение (3) предыдущего примера, где Начало системы жестко связанной с Землей, поместим на поверхности Земли на одной вертикали с материальной точкой в ее начальном положении; ось направим вверх по вертикали, ось — на юг, а ось — на восток (рис. 20.1). В этой системе проекции постоянных векторов, входящих в уравнение движения, соответственно равны

Опуская для удобства штрихи у переменных, из уравнения (3) примера 20.1 получим уравнения движения точки относительно системы

Одно интегрирование системы (1) после подстановки начальных условий дает

Подставим решение (2) в уравнения движения (1) и пренебрежем членами порядка Тогда придем к системе уравнений,

правые части которых являются либо постоянными, либо функциями только времени:

Отсюда нетрудно получить приближенное решение для проекций радиуса-вектора точки:

(здесь учтено, что в силу выбора системы отсчета

В случае падения точки с высоты с нулевой начальной скоростью

Рис. 20.2

Эти функции определяют время падения точки на поверхность Земли и величину отклонения точки на восток.

В случае вертикального взлета точки с поверхности Земли решение (3) имеет вид

Отсюда для полного времени полета точки и ее западного склонения соответственно находим

Итак, в обоих случаях точка остается в плоскости, перпендикулярной меридиану; однако в первом случае она отклоняется на восток, а во втором — на запад (имеется в виду движение в северном полушарии). Причиной отклонения с точки зрения земного наблюдателя является кориолисова сила инерции (траектории точки и направления сил инерции изображены на рис. 20.2).

Пример 20.3. Состояние невесомости.

Рассмотрим поведение тела, находящегося в спутнике, который движется под действием притяжения Земли вне ее атмосферы с выключенным двигателем. Допустим, что спутник изменяет ориентацию относительно инерциальной системы отсчета с постоянной угловой скоростью а (в качестве инерциальной системы с достаточной степенью точности можно принять систему. начало которой помещено в центр инерции Земли, а оси направлены на «неподвижные» звезды). Определить силу, с которой стенка спутника действует на материальную точку, соприкасающуюся со стенкой.

На любую материальную точку, находящуюся в спутнике, действует -сила притяжения со стороны Земли и, кроме того, может отличаться от нуля — сила, с которой на точку действует оболочка спутника или скрепленные с оболочкой тела. Уравнение движения точки относительно системы S с началом в центре масс спутника и осями, жестко связанными со спутником, имеет вид (см. (20.1))

Ускорение центра масс спутника нетрудно определить, учитывая силу притяжения спутника Землей и пренебрегая воздействием материальной точки на движение центра масс.

Используя уравнение (9.14), получим

где — масса Земли; радиус-вектор и масса -той достаточно малой части спутника, а масса спутника.

В уравнении (1) векторы можно заменить на радиус-вектор центра масс спутника, поскольку размеры спутника исчезающе малы по сравнению с расстоянием от центра Земли до любой точки спутника. Поэтому

По той же причине сила притяокения и сила инерции — компенсируют друг друга:

здесь — радиус-вектор материальной точки относительно Таким образом, приходим к уравнению движения точки относительно спутника

Если материальная точка, соприкасающаяся со стенкой спутника или с поверхностью тела, скрепленного со спутником, находится в покое, то сила, с которой стенка или тело действует на точку, отлична от нуля и равна

Следовательно, и точка действует на стенку с силой, равной по величине — расстояние точки до оси вращения, проходящей через центр масс спутника). Эта сила и является весом точки во вращающемся спутнике (ср. с определением веса на стр. 181). Если точка соприкасается с достаточно малым телом, скрепленным со спутником и размещенным на оси вращения, проходящей через центр масс спутника, то и вес точки равняется нулю, т. точка невесома (она не давит на «подставку»). Если же (т. е. спутник движется поступательно относительно инерциальной системы, отсчета), то в любом месте спутника точка невесома. В состоянии невесомости точка либо покоится относительно спутника, либо движется равномерно и прямолинейно до столкновения с другими телами.