Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 68. Равновесие изотропных телРассмотрим деформированное изотропное тело, находящееся в стационарном состоянии. Деформации такого тела подчинены уравнению (см. (67.6))
где
(внешней объемной силой, обычно рассматриваемой в теории упругости, является однородная сила тяжести). Весьма важным для приложений оказывается случай равновесия тел, деформации которых вызываются силами, приложенными к поверхности этих тел. Тогда уравнением равновесия является уравнение
а внешние поверхностные силы будут учитываться в граничных условиях. Если
для всех элементов поверхности тела. Наиболее простым случаем деформированного равновесного состояния изотропного тела является однородная деформация, при которой компоненты тензора деформации можно считать постоянными вдоль всего тела. Рассмотрим ряд простых примеров. Пусть тело подвергается всестороннему равномерному сжатию. Это значит, что сила
Отсюда, а также из (67.26) следует, что
Таким образом, всестороннее равномерное сжатие приводит только к изменению объема Далее изучим деформацию чистого сдвига кубика с гранями единичной площади (см. рис. 68.1, на котором изображен кубик до деформации). Пусть к граням кубика 1—4 приложены равные по величине касательные силы Для грани 2 с нормалью Для граней 3 и 4 получим те же результаты, а условия на гранях 5 и
Рис. 68.1. Как видно, эти величины зависят только от внешней силы и модуля сдвига. Объем же тела при чистом сдвиге остается неизменным, поскольку Теперь рассмотрим растяжение (сжатие) стержня — прямоугольного параллелепипеда, к торцам которого приложены противоположно направленные, равные по величине, постоянные силы с равномерным распределением по площади каждого торца. Направляя ось
Как видно, растяжение стержня вдоль направления внешней силы происходит одновременно с его поперечным сжатием, при этом отношение поперечного сжатия к продольному растяжению равно
и называется коэффициентом Пуассона. Поскольку
(хотя в действительности неизвестны тела, для которых Заметим, что относительное удлинение стержня удобно представить в форме
где
— постоянная, которая называется модулем Юнга. Так как постоянные Е и
Пример 68.1. Чистый изгиб стержня. Пусть к обоим торцам цилиндрического стержня произвольного поперечного сечения приложены поверхностные силы с плотностью
и моментом сил, равным по абсолютной величине
Рис. 68.2 Предполагая, что деформация происходит изотермически в отсутствии объемных сил, а центр масс торца 1 не смещается в процессе деформации, найти поля деформаций и смещений стержня (рис. 68.2). Согласно (1) суммарная сила
где интеграл справа пропорционален координате
Момент
Появившиеся справа интегралы можно определить как моменты инерции торца (в отличие от обычных моментов инерции здесь вместо элемента массы стоит элемент площади). Центробежный момент инерции
так как оси х и у совпадают с главными осями инерции торца 2. Поэтому для момента сил, приложенных к 2, получим выражение
где
На торце 1 аналогично получим
Итак, суммарные силы и моменты сил, приложенные ко всему стрежню равны нулю, причем ввиду (1), (2) и условия (68.4), напряжения на торце 2 равны
Более того, эти напряжения удовлетворяют уравнению равновесия (68.1) и условию (68.4) на боковых поверхностях стержня (поскольку на них Подставляя (3) в закон Гука (67.26), найдем тензор деформаций
Отсюда видно, что частицы стержня, лежащие в плоскости Запишем (4) в виде системы уравнений относительно смещения
где
(здесь постоянные интегрирования опущены, поскольку перемещение центра масс торца 1 равно нулю). Таким образом, точка
Отсюда, например, видно, что точки оси стержня
а точки, лежащие до деформации в плоском сечении
деформированного стержня (форма сечения при этом изменится, что связано с различием знаков Пример 68.2. Кручение цилиндрического стержня. Найти деформации и напряжения цилиндрического стержня радиуса Направим ось
без изменения расстояния
Отсюда используя (67.2), определение
тензор деформаций
и тензор напряжений
Уравнения равновесия (68.1), очевидно, удовлетворяются, а граничное условие на торце 2 сводится к требованию
Суммарная поверхностная сила, приложенная к торцу 2, равна интегралу по поверхности
поскольку
Момент сил, приложенных к торцу 2, будет отличен от нуля
здесь
Нетрудно убедиться в том, что на торце 1 суммарная сила равна нулю, момент этих сил равен Пример 68.3. Гравитационное сжатие шара. Найти поле смещений и деформаций сплошного шара радиуса Сила тяготения, приходящаяся на единицу массы, в указанном случае равна
где
получим
По соображениям симметрии смещение должно иметь вид
и, следовательно, (см. формулы (8) и (7) приложения к гл. XII):
Поэтому (2) сводится к уравнению
которое легко интегрируется:
Это решение будет конечным в области если положить при
а также выражения компонент в сферических координатах (см. формулу (9) в приложении к гл. XII). Тогда с помощью (6) получим
откуда определяется
где
|
1 |
Оглавление
|