§ 68. Равновесие изотропных тел

Рассмотрим деформированное изотропное тело, находящееся в стационарном состоянии. Деформации такого тела подчинены уравнению (см. (67.6))

где — заданная стационарная объемная сила, приходящаяся на единицу массы, а тензор напряжений определен в (67.27); при этом уравнение (68.1) должно быть дополнено уравнением теплопроводности в стационарном случае. Если же модуль упругости и температура тела постоянны, то уравнение (68.1) приобретает вид (см. (67.31)):

(внешней объемной силой, обычно рассматриваемой в теории упругости, является однородная сила тяжести).

Весьма важным для приложений оказывается случай равновесия тел, деформации которых вызываются силами, приложенными к поверхности этих тел. Тогда уравнением равновесия является уравнение

а внешние поверхностные силы будут учитываться в граничных условиях. Если — заданная внешняя сила, приходящаяся на единицу поверхности тела, то к площадке направлен по внешней нормали к поверхности тела) будет приложена сила , которая должна уравновешиваться силой вызванной напряжениями тела. Таким образом, при равновесии должно выполняться условие

для всех элементов поверхности тела.

Наиболее простым случаем деформированного равновесного состояния изотропного тела является однородная деформация, при которой компоненты тензора деформации можно считать постоянными вдоль всего тела. Рассмотрим ряд простых примеров. Пусть тело подвергается всестороннему равномерному сжатию. Это значит, что сила приложенная к любой площадке поверхности тела, равна где давление постоянной величины. Следовательно, на поверхности тела согласно (68.4) должно выполняться условие которое удовлетворяется, если тензор напряжений равен

Отсюда, а также из (67.26) следует, что

Таким образом, всестороннее равномерное сжатие приводит только к изменению объема которое определяется давлением и модулем объемного сжатия К, при этом все деформации сдвига отсутствуют:

Далее изучим деформацию чистого сдвига кубика с гранями единичной площади (см. рис. 68.1, на котором изображен кубик до деформации). Пусть к граням кубика 1—4 приложены равные по величине касательные силы так как это показано на рисунке. Нормаль к грани 1 имеет составляющие 1, 0, 0 и, следовательно, условие (68.4) для этой грани сводится к условию откуда

Для грани 2 с нормалью найдем

Для граней 3 и 4 получим те же результаты, а условия на гранях 5 и дадут, что . Таким образом, единственной отличной от нуля компонентой тензора напряжений будет которая согласно (67.26) определяет деформацию сдвига и угол скашивания (см. стр. 465):

Рис. 68.1.

Как видно, эти величины зависят только от внешней силы и модуля сдвига. Объем же тела при чистом сдвиге остается неизменным, поскольку и следовательно,

Теперь рассмотрим растяжение (сжатие) стержня — прямоугольного параллелепипеда, к торцам которого приложены противоположно направленные, равные по величине, постоянные силы с равномерным распределением по площади каждого торца. Направляя ось вдоль стержня и используя условия (68.4) на боковых гранях и торцах стержня, найдем единственную отличную от нуля компоненту тензора напряжения равную — плотности растягивающей силы. Подставляя в (67.27), получим значения компонент тензора деформации

Как видно, растяжение стержня вдоль направления внешней силы происходит одновременно с его поперечным сжатием, при этом отношение поперечного сжатия к продольному растяжению равно

и называется коэффициентом Пуассона. Поскольку (см. (67.24)), значения заключены в пределах

(хотя в действительности неизвестны тела, для которых ).

Заметим, что относительное удлинение стержня удобно представить в форме

где

— постоянная, которая называется модулем Юнга. Так как постоянные Е и употребляются очень часто, приведем формулы, обратные формулам (68.10) и (68.13):

Пример 68.1. Чистый изгиб стержня.

Пусть к обоим торцам цилиндрического стержня произвольного поперечного сечения приложены поверхностные силы с плотностью

и моментом сил, равным по абсолютной величине при этом начало координат находится в центре масс торца 1, а ось проходит через центры масс тооцов недеформированного стержня (здесь под центром масс торца следует понимать центо масс однородного плоского диска по форме совпадающего с торцом).

Рис. 68.2

Предполагая, что деформация происходит изотермически в отсутствии объемных сил, а центр масс торца 1 не смещается в процессе деформации, найти поля деформаций и смещений стержня (рис. 68.2).

Согласно (1) суммарная сила действующая на торец 2, равна

где интеграл справа пропорционален координате центра масс этого торца. Таким образом, в силу выбора начала координат, получим

Момент сил, действующих на торец 2, равен

Появившиеся справа интегралы можно определить как моменты инерции торца (в отличие от обычных моментов инерции здесь вместо элемента массы стоит элемент площади). Центробежный момент инерции

так как оси х и у совпадают с главными осями инерции торца 2.

Поэтому для момента сил, приложенных к 2, получим выражение

где — момент инерции относительно оси у. Отсюда слева

На торце 1 аналогично получим

Итак, суммарные силы и моменты сил, приложенные ко всему стрежню равны нулю, причем ввиду (1), (2) и условия (68.4), напряжения на торце 2 равны

Более того, эти напряжения удовлетворяют уравнению равновесия (68.1) и условию (68.4) на боковых поверхностях стержня (поскольку на них

Подставляя (3) в закон Гука (67.26), найдем тензор деформаций

Отсюда видно, что частицы стержня, лежащие в плоскости не испытывают деформаций. Все «отрезки» стержня, параллельные оси при сжимаются вдоль а при растягиваются; «отрезки» же, параллельные оси х при удлиняются, а при сокращаются вдоль оси х (аналогичные деформации испытывают «отрезки», параллельные оси ).

Запишем (4) в виде системы уравнений относительно смещения

где Эта система имеет решение

(здесь постоянные интегрирования опущены, поскольку перемещение центра масс торца 1 равно нулю). Таким образом, точка недеформированного стержня после деформации переходит в точку причем компоненты ее радиуса-вектора равны:

Отсюда, например, видно, что точки оси стержня после деформации лежат на параболе

а точки, лежащие до деформации в плоском сечении после деформации образуют плоское поперечное сечение

деформированного стержня (форма сечения при этом изменится, что связано с различием знаков при Из решения также видно, что жесткость стрежня зависит не только от материала стержня, т. е. от модуля Е, но и от момента а следовательно, от формы поперечного сечения.

Пример 68.2. Кручение цилиндрического стержня.

Найти деформации и напряжения цилиндрического стержня радиуса и высоты в случае чистого кручения, а также найти поверхностные силы, приложенные к торцам стержня (торцы перпендикулярны оси цилиндра, объемные силы отсутствуют, а температура при деформации не изменяется).

Направим ось через центры инерции торцов, помещая начало координат на закрепленном торце 1. Чистое кручение представляет собой такую деформацию; при которой смещение каждой частицы представляет собой поворот в плоскости перпендикулярной к оси на угол

без изменения расстояния от оси z (здесь - угол поворота второго торца). В этом случае координаты смещенной частицы будут равны

Отсюда используя (67.2), определение и (67.23), найдем поле смещений

тензор деформаций

и тензор напряжений

Уравнения равновесия (68.1), очевидно, удовлетворяются, а граничное условие на торце 2 сводится к требованию откуда

Суммарная поверхностная сила, приложенная к торцу 2, равна интегралу по поверхности этого торца, причем

поскольку

Момент сил, приложенных к торцу 2, будет отличен от нуля

здесь момент инерции торца относительно оси . Поскольку выражение (1) приводит к основному результату этого примера — к зависимости угла кручения от материала и размеров цилиндра, а также от момента внешних сил:

Нетрудно убедиться в том, что на торце 1 суммарная сила равна нулю, момент этих сил равен , а на боковой поверхности цилиндра .

Пример 68.3. Гравитационное сжатие шара.

Найти поле смещений и деформаций сплошного шара радиуса под действием собственного гравитационного поля.

Сила тяготения, приходящаяся на единицу массы, в указанном случае равна

где — напряженность поля тяжести на поверхности шара. Учитывая (1) и преобразуя уравнение равновесия (68.2) с помощью соотношения

получим

По соображениям симметрии смещение должно иметь вид

и, следовательно, (см. формулы (8) и (7) приложения к гл. XII):

Поэтому (2) сводится к уравнению

которое легко интегрируется:

Это решение будет конечным в области если положить Постоянную можно определить из условия

при С этой целью найдем зависимость от координат. Используем связь с компонентами тензора деформаций (см.

а также выражения компонент в сферических координатах (см. формулу (9) в приложении к гл. XII). Тогда с помощью (6) получим

откуда определяется Таким образом, найдем смещения и деформации

где — коэффициент Пуассона. Компонента обращается в нуль при . Следовательно, внутри этой сферы вещество в радиальном направлении сжато, а вне сферы растянуто, Аналогичное заключение можно сделать и о «поперечном» сжатии, поскольку обращаются в нуль на сфере