Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 36. Вынужденные колебания и резонансПроанализируем физические особенности вынужденных нелинейных колебаний на примере системы с одной степенью свободы, предполагая, что на систему действует малая нестационарная сила, гармонически изменяющаяся со временем:
на некотором интервале времени
где
Отсюда видно, что в нерезонансном случае, когда
Таким образом, в случае резонанса средняя мощность является функцией как амплитуды а, так и «расстройки фазы» Основываясь на этом примере, можно предположить, что в резонансном случае как изменение амплитуды, так и частота зависят от значений амплитуды а и «расстройки фазы» Другая особенность вынужденных нелинейных колебаний заключается в появлении резонанса на комбинационных частотах. Это можно видеть из того, что в решение уравнения вынужденных нелинейных колебаний благодаря наличию нелинейных членов войдут высшие гармоники с частотами, примерно равными псоо. Рассматривая среднюю мощность, вносимую в систему «с помощью» этих гармоник, т. е. подставляя в интеграл (36.1) не
где Изложим метод Крылова — Боголюбова применительно к вынужденным нелинейным колебаниям. В качестве исходного уравнения рассмотрим уравнение вида
где В нерезонансном случае решение уравнения (36.5) будем искать в виде ряда
где а и
где
Разлагая известную функцию в
и представляя в виде ряда Фурье неизвестную функцию
из (36.7) получим
Из этого соотношения видно, что в решении могут появиться коэффициенты гупт, обращающиеся в бесконечность. Чтобы исключить появление таких членов, потребуем выполнения условия, аналогичного условиям (35.7):
если Требование (36.11) позволяет определить функции
будет выполняться, если
Следовательно, сумма по
из условия (36.11) найдем
В резонансном случае частота вынуждающей силы или равна резонансной частоте или близка к ней. Следовательно, можно положить (см. (36.4)), что
где
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда (36.6), где
где
Кроме того, потребуем, чтобы в решении отсутствовали члены, обращающиеся в бесконечность. Подставляя (36.19) в (36.6) и (36.18), найдем, что
а уравнения, которым подчинены переменные
С помощью (36.20) и (36.21) из (36.17) получим соотношение, определяющее функции
здесь
Разлагая
Принимая далее во внимание разложение функции
где суммирование ведется по любым целым пит, для которых
причем это условие эквивалентно более простому:
Приравнивая в (36.24) коэффициенты при
Тогда двойную сумму в соотношении (36.24) можно будет представить как сумму только по
где суммы и разности коэффициентов Фурье равны (см. (36.13))
Используя (36.28), (36.29) и приравнивая соответствующие коэффициенты при
(здесь Пример 36.1. Резонанс нелинейных колебаний материальной точки, подвешенной на пружине. Точка массы Помещая начало отсчета в точку подвеса и направляя ось
где
разложим потенциальную энергию
Тогда уравнение движения точки можно будет записать в виде (36.5)
где
Рассматривая выражение средней мощности нестационарной силы (см. (36.1) и (36.2)), придем к выводу о возможности главного резонанса, в связи с чем решение исходного уравнения (1) будем искать в виде (см. (36.20))
где
Отсюда видно, что в первом приближении коэффициент x (или третья производная функции Пользуясь выражением
Аналогично коэффициенты Фурье, соответствующие
где
Принимая во внимание, что величина этого интеграла определена значениями
найдем
Нетрудно убедиться, что соответствующие
а интегралы с Далее, используя (36.30) и (36.31), найдем функции
определяющие уравнения для
здесь В случае стационарного режима
Возводя в квадрат обе части каждого из этих уравнений и складывая результаты, найдем амплитудную характеристику
Это уравнение можно упростить, используя близость
Пренебрегая в этом уравнении членами, пропорциональными
Уравнение (5) также можно упростить, поскольку Учитывая все приведенные оценки, получим амплитудную характеристику в виде
где
Разрешая это квадратное относительно
Рис. 36.1 Дифференцируя по
Эти результаты позволяют исследовать амплитудную характеристику. Сначала рассмотрим известный уже предельный случай линейных колебаний. С этой целью устремим
Если нелинейным членом пренебречь нельзя, а
совпадает с соответствующим значением амплитуды линейных колебаний. В этом случае производная нигде в бесконечность не обращается. Если
При этом условии, как показывает анализ выражения (6), зависимость амплитуды вынужденных колебаний в некоторой области частот оказывается неоднозначной (см. у на рис. 36.1). Поэтому становится возможным так называемый срыв амплитуды. Это явление происходит следующим образом. Пусть частота вынуждающей силы сравнительно велика. Тогда при уменьшении
которой соответствует бесконечное значение производной о Заметим, что срыв может наблюдаться только в том случае, если область
|
1 |
Оглавление
|