§ 36. Вынужденные колебания и резонанс

Проанализируем физические особенности вынужденных нелинейных колебаний на примере системы с одной степенью свободы, предполагая, что на систему действует малая нестационарная сила,

гармонически изменяющаяся со временем: . С этой целью определим среднюю мощность силы

на некотором интервале времени причем потребуем, чтобы этот интервал был, с одной стороны, достаточно большим по сравнению с периодом собственных линейных колебаний, а с другой стороны, достаточно ограниченным с тем, чтобы форма колебаний не успевала заметно измениться (такой выбор возможен ввиду малости внешней силы и нелинейных членов). Учитывая, что на интервале нелинейное колебание близко к линейному (см. (35.1)) т. е.

где и принимая во внимание, что изменения функций на интервале малы, для средней мощности получим выражение

Отсюда видно, что в нерезонансном случае, когда весьма отличается от мощность вынуждающей силы исчезающе мала, поскольку Если же имеет место резонанс, т. е. то мощность становится порядка е. Действительно, подставляя в и устремляя к нулю, за счет второго слагаемого в фигурных скобках для средней мощности получим

Таким образом, в случае резонанса средняя мощность является функцией как амплитуды а, так и «расстройки фазы» .

Основываясь на этом примере, можно предположить, что в резонансном случае как изменение амплитуды, так и частота зависят от значений амплитуды а и «расстройки фазы» . Что касается нерезонансного случая, то изменение амплитуды и частота зависят только от амплитуды (так же как в случае собственных колебаний).

Другая особенность вынужденных нелинейных колебаний заключается в появлении резонанса на комбинационных частотах. Это можно видеть из того, что в решение уравнения вынужденных нелинейных колебаний благодаря наличию нелинейных членов войдут высшие гармоники с частотами, примерно равными псоо. Рассматривая среднюю мощность, вносимую в систему «с помощью» этих гармоник, т. е. подставляя в интеграл (36.1) не

придем к выводу о возможности резонанса на частоте, примерно равной . В общем случае, когда правая часть уравнения (35.4) более сложным образом зависит от аргумента возможно возникновение резонанса на комбинационных частотах вида исоо где — целые числа. Действительно, разложение функции в ряд Фурье приводит к появлению гармоник с указанными частотами. Итак, в общем случае возможен резонанс вынужденных колебаний на частотах

где и — целые взаимно простые числа (если то резонанс называется главным).

Изложим метод Крылова — Боголюбова применительно к вынужденным нелинейным колебаниям. В качестве исходного уравнения рассмотрим уравнение вида

где — периодическая функция относительно с периодом

В нерезонансном случае решение уравнения (36.5) будем искать в виде ряда

где а и подчинены уравнениям (35.6). Подставляя (36.6) в (36.5) и учитывая (35.6), найдем соотношение, определяющее первое приближение (ср. с

где

Разлагая известную функцию в в двойной ряд Фурье по переменным

и представляя в виде ряда Фурье неизвестную функцию

из (36.7) получим

Из этого соотношения видно, что в решении могут появиться коэффициенты гупт, обращающиеся в бесконечность. Чтобы исключить появление таких членов, потребуем выполнения условия, аналогичного условиям (35.7):

если

Требование (36.11) позволяет определить функции и . В самом деле, поскольку рассматривается нерезонансный случай, условие

будет выполняться, если

Следовательно, сумма по в (36.11) сводится к сумме двух членов с коэффициентами Таким образом, используя (36.12) и общее выражение для коэффициентов Фурье

из условия (36.11) найдем

В резонансном случае частота вынуждающей силы или равна резонансной частоте или близка к ней. Следовательно, можно положить (см. (36.4)), что

где — малая заданная расстройка между квадратом собственной частоты и квадратом резонансной частоты. Используя (36.16), запишем исходное уравнение (36.5) в форме

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда (36.6), где подчинены «своим» уравнениям, имеющим более общий вид по сравнению с (35.6), так как в резонансном случае изменения амплитуды и фазы зависят не только от значения амплитуды а, но и от фазовой расстройки 0:

где связаны соотношением

Кроме того, потребуем, чтобы в решении отсутствовали члены, обращающиеся в бесконечность.

Подставляя (36.19) в (36.6) и (36.18), найдем, что

а уравнения, которым подчинены переменные , имеют вид

С помощью (36.20) и (36.21) из (36.17) получим соотношение, определяющее функции в резонансном случае (промежуточные вычисления аналогичны (35.8) - (35.13)):

здесь

Разлагая в ряд Фурье (см. (36.9)), получим

Принимая далее во внимание разложение функции в ряд Фурье (см. (36.8)) и требуя, чтобы коэффициенты еупт были конечны, из (36.22) найдем

где суммирование ведется по любым целым пит, для которых

причем это условие эквивалентно более простому:

Приравнивая в (36.24) коэффициенты при соответственно, можно будет найти функции . С этой целью, используя (36.26), запишем показатели экспонент (см. (36.24)) в виде

Тогда двойную сумму в соотношении (36.24) можно будет представить как сумму только по

где суммы и разности коэффициентов Фурье равны (см. (36.13))

Используя (36.28), (36.29) и приравнивая соответствующие коэффициенты при из (36,24) получим

(здесь суммирование ведется по Эти соотношения позволяют получить решение задачи о резонансе вынужденных нелинейных колебаний в первом приближении.

Пример 36.1. Резонанс нелинейных колебаний материальной точки, подвешенной на пружине.

Точка массы совершает колебания в вертикальном направлении в среде с сопротивлением под действием силы упругой деформации пружины и достаточно малой силы гармонически зависящей от времени. Найти амплитудную характеристику стационарных колебаний точки вблизи резонанса.

Помещая начало отсчета в точку подвеса и направляя ось вдоль оси пружины, получим выражения кинетической и потенциальной энергий точки, диссипативной функции и нестационарной силы:

где — энергия упругой деформации пружины, — коэффициент сопротивления среды (предполагается, что сила сопротивления пропорциональна скорости точки), — амплитуда и частота нестационарной силы, — координата точки. Определяя положение равновесия точки из уравнения

разложим потенциальную энергию в ряд по степеням отклонения точки от положения равновесия с точностью до величин четвертого порядка малости включительно:

Тогда уравнение движения точки можно будет записать в виде (36.5)

где

Рассматривая выражение средней мощности нестационарной силы (см. (36.1) и (36.2)), придем к выводу о возможности главного резонанса, в связи с чем решение исходного уравнения (1) будем искать в виде (см. (36.20))

где Подставляя (2) в с точностью до найдем (см. (36.22))

Отсюда видно, что в первом приближении коэффициент x (или третья производная функции не влияет на поведение системы.

Пользуясь выражением найдем необходимые для решения коэффициенты Фурье этой функции (см. (36.30) и (36.31)). Например, коэффициенты Фурье, соответствующие получим, учитывая, что

Аналогично коэффициенты Фурье, соответствующие найдем, вычисляя интегралы

где

Принимая во внимание, что величина этого интеграла определена значениями

найдем

Нетрудно убедиться, что соответствующие члены ряда (36.31) пропорциональны значениям

а интегралы с все равны нулю.

Далее, используя (36.30) и (36.31), найдем функции

определяющие уравнения для (см. (36.21)):

здесь (см. (36.16)).

В случае стационарного режима следовательно,

Возводя в квадрат обе части каждого из этих уравнений и складывая результаты, найдем амплитудную характеристику в виде

Это уравнение можно упростить, используя близость и малость всех членов, входящих в правую часть уравнения (1). Вводя вместо разность частот , из (3) получим

Пренебрегая в этом уравнении членами, пропорциональными найдем

Уравнение (5) также можно упростить, поскольку (ввиду малости всех членов Полагая далее, что все члены, входящие в являются величинами одного порядка, и сопоставляя второй и третий члены найдем, что

Учитывая все приведенные оценки, получим амплитудную характеристику в виде

где

Разрешая это квадратное относительно уравнение, найдем функцию с помощью которой нетрудно построить амплитудную характеристику (см. рис. 36.1, где изображен случай

Рис. 36.1

Дифференцируя по правую и левую части уравнения (6), получим

Эти результаты позволяют исследовать амплитудную характеристику. Сначала рассмотрим известный уже предельный случай линейных колебаний. С этой целью устремим в функциях (6) и (8) (см. (34.7) и кривую а на рис. 36.1); тогда

Если нелинейным членом пренебречь нельзя, а то амплитудная характеристика близка к соответствующей характеристике линейных колебаний: ее максимум смещен в сторону поскольку (см. на рис. 36.1). Действительно, амплитуда а достигает максимума при а ее значение

совпадает с соответствующим значением амплитуды линейных колебаний. В этом случае производная нигде в бесконечность не обращается.

Если то производная — обращается в бесконечность при двух значениях

При этом условии, как показывает анализ выражения (6), зависимость амплитуды вынужденных колебаний в некоторой области частот оказывается неоднозначной (см. у на рис. 36.1). Поэтому становится возможным так называемый срыв амплитуды. Это явление происходит следующим образом. Пусть частота вынуждающей силы сравнительно велика. Тогда при уменьшении до достаточно малых значений амплитуда вынужденных колебаний будет плавно изменяться в областях а в «точке»

которой соответствует бесконечное значение производной о произойдет скачкообразное изменение амплитуды от величины до величины . Аналогично при увеличении от достаточно малых значений до сравнительно больших значений амплитуда вынужденных колебаний изменяется скачкообразно в точке от величины до величины а в областях и происходит плавное изменение амплитуды. Скачкообразное изменение амплитуды и представляет собой срыв амплитуды.

Заметим, что срыв может наблюдаться только в том случае, если область частот, в которой зависимость амплитуды от частоты неоднозначна, отлична от нуля. При явление срыва будет исчезать. Последнему условию соответствует равенство нулю подкоренного выражения (9). Используя амплитудную характеристику (6) и введенные ранее обозначения, найдем, что в этом случае