Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1. Понятия о материальной точке, о пространстве и времениРеальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, нужно отвлечься от несущественных (для рассматриваемого движения) деталей. С этой целью используются понятия, применимость которых зависит от того, какое именно движение тел изучается. Среди этих понятий большое значение имеет понятие о материальной точке. Материальной точкой называется тело исчезающе малых размеров-, в задачах механики о движении реальных тел понятие материальной точки применимо к такому телу, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами, характеризующими движение этого тела. Например, изучая движение Земли вокруг Солнца, и Землю и Солнце можно считать материальными точками, хотя радиус Земли примерно
Рис. 1.1 Совокупность нескольких тел, каждое из которых можно считать материальной точкой, называют системой материальных точек. Например, нашу Галактику можно представлять как систему очень большого числа материальных точек-звезд; в ряде задач газ, состоящий из молекул, также можно представлять себе как систему большого числа материальных точек-молекул. Из приведенных примеров и из опредёления материальной точки видно, что это понятие не связано с представлением об атомистическом строении вещества. Важную роль в механике играет понятие абсолютно твердого тела или, кратко говоря, твердого тела. Так называется система материальных точек, расстояния между которыми не изменяются при произвольных перемещениях этой системы. Конечно, размеры реальных тел остаются практически неизменными либо в определенных условиях, либо в течение определенных интервалов времени. Например, годовое угловое смещение большинства звезд составляет примерно При изучении взаимного расположения материальных точек первостепенное значение имеет определение расстояний между ними с помощью эталона длины. Расстояние между точками будет определяться при этом тем числом., которое показывает, сколько раз эталон длины «укладывается» на отрезке прямой, соединяющей точки. До 1960 г. за эталон длины принимался метр — длина некоторого сплошного твердого тела, находящегося в стационарных условиях. Согласно единой международной системе СИ, введенной с 1960 г., за эталон длины принят метр — длина, равная Рассмотрим движение некоторой системы А материальных точек относительно системы S. Пусть для данных перемещений системы А систему S можно считать твердым телом. Тогда с телом S можно жестко связать три единичных вектора
где х, у, z — проекции радиуса-вектора на указанные оси. Таким образом, при определении положения материальной точки ей ставятся в соответствие три вещественные координаты х, у, z, называемые декартовыми координатами. Систему координат, жестко связанную с телом S, называют системой отсчета Чтобы определить положение всех точек системы А относительно системы S, нужно задать радиусы-векторы этих точек. Пусть система А состоит из
где Приведем пример системы отсчета. Для изучения движения планет солнечной системы относительно системы Солнце — звезды можно в течение сравнительно длительного промежутка времени систему Солнце — звезды считать твердым телом. Совмещая начало системы отсчета с центром Солнца и связывая направления декартовых осей с направлениями на определенные звезды, получим гелиоцентрическую систему отсчета Коперника. Рассмотрим свойства пространства, для чего возьмем любые две точки 1 и 2. Положения этих точек относительно некоторой системы 5 зададим радиусами-векторами
Вектор, проведенный от точки 1 к точке 2, равен
(здесь и в дальнейшем порядок индексов 1 и 2 соответствует направлению вектора от точки 1 к точке 2), а расстояние между этими точками равно модулю вектора
На основании опыта с макроскопическими телами, скорости которых достаточно малы, можно утверждать, что величина данного пространственного интервала относительно разных произвольно движущихся систем отсчета — одна и та же в данный момент времени. Запишем это важнейшее утверждение аналитически, для чего возьмем две системы отсчета: систему S с началом в точке О и ортами
где
Рис. 1.2 Утверждается, что, как бы ни двигалась «штрихованная» система отсчета относительно «нештрихованной», расстояния
здесь следует, что проекции вектора
где коэффициенты
и равны косинусам углов между ортами Как известно, пространства, в которых расстояния между любыми двумя точками определяются формулой (1.3), называются эвклидовыми. Таким образом, из постулата (1.4), основанного на опыте, следует, что пространства в классической механике — это эвклидовы пространства. Преобразование (1.4) нетрудно представить в форме
где
а орты системы 5 связаны с ортами
Из (1.5) вытекает простое, но очень важное соотношение радиусов-векторов одной и той же точки относительно разных систем отсчета. Пусть
Подчеркнем еще раз, что соотношения (1.5) и (1.6) справедливы только в классической механике. Если же скорости тел непренебрежимо малы по сравнению со скоростью света, то эти «очевидные» постулаты становятся неверными. Движение тел с любыми скоростями (в том числе сравнимыми со скоростью света) рассматривается в релятивистской механике Эйнштейна. Важную роль в механике играет понятие периодического процесса, т. е. регулярно повторяющегося явления. Например, такими процессами являются колебания маятника, вращение Земли вокруг своей оси, движение Земли по орбите вокруг Солнца. Тело, с помощью которого осуществляется периодический процесс, может служить часами, а длительность периода — эталоном времени. Конечно, длительность периода реального периодического процесса постоянна лишь с определенной степенью точности. До 1960 г. эталономвремени служила определенная часть средних солнечных суток. Но ввиду экспериментально доказанной (с помощью атомных часов) неравномерности вращения Земли, а также изменений среднего тропического года за эталон времени в системе СИ принята секунда — длительность, равная 1/31 556 925, 9747 части тропического года для 1900 г., января 0, в 12 часов эфемеридного времени (см. [37, гл. II]). В классической механике постулируется существование таких часов, длительность периода которых не изменяется при произвольных перемещениях этих часов. Этот постулат эквивалентен утверждению о том, что величина данного временного интервала относительно разных произвольно движущихся систем отсчета одинакова, т. е.
здесь Согласно (1.7) в любых системах отсчета координат можно произвольно выбрать одно и то же начало отсчета времени и тем самым ввести одну временную «координату» макроскопических тел пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света. Используя рассмотренные понятия и постулаты, можно экспериментально определить закон движения материальной точки, т. е. определить положение материальной точки в любой момент времени относительно данной системы отсчета S и задать его с помощью радиуса-вектора точки как функции времени
Конец этого радиуса-вектора описывает в пространстве кривую, называемую траекторией точки. Заметим, что в классической механике постулируется непрерывность как координат, так и времени; тем самым постулируется непрерывность функции (1.8).
Рис. 1.3 Скоростью точки относительно системы отсчета S называется отношение бесконечно малого приращения относительно системы S равняется производной радиуса-вектора по времени при постоянных ортах
где Ускорение точки
где В ряде задач используется понятие секторной скорости точки
Величина
Рис. 1.4 Радиусы-векторы точек, их скорости и ускорения задают с помощью различных координат. В декартовых координатах радиус-вектор точки как функция времени задается тремя координатами ортах
Следовательно, проекции скорости и ускорения точки на декартовы оси соответственно равны
В цилиндрических координатах
где орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых координат соотношениями
При перемещениях точки относительно системы 5 положение ортов
Замечая далее, что, согласно (1.16),
Таким образом, проекции скорости на координатные оси
Аналогично, дифференцируя по времени
Следовательно, проекции ускорения на оси
Отметим, что проекция ускорения связана с проекцией секторной скорости
поскольку, согласно (1.11), (1.15) и (1.17),
В сферических координатах радиус-вектор точки задается функциями
Рис. 1.5 Учитывая, что направления ортов
Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси
Иногда используется естественное задание движения точки, при котором в качестве аргумента радиуса-вектора точки берется длина
(длина дуги отсчитывается от начального положения точки в направлении ее движения). С помощью векторной функции
Рис. 1.6 Один из этих ортов
Второй орт
т. е.
Орт
Так как
а орт
Третий орт Разложение скорости точки по «естественным» ортам получим, используя (1.9), (1.26) и (1.27):
где Дифференцируя обе части (1.33) по времени, найдем ускорение точки
Замечая, что, согласно (1.28) и (1.31),
окончательно получим
Учитывая, что
Введенные в этом параграфе понятия и соотношения дают возможность решать кинематические задачи, т. е. задачи, в которых движение описывается вне связи с причинами, вызывающими это движение. Пример 1.1. Траектория, скорость и ускорение материальной точки в декартовых координатах. Закон движения точки относительно системы отсчета S имеет
где Дифференцируя по времени заданные функции
Выражая проекции ускорения через проекции радиуса-вектора, убедимся в том, что ускорение в любой момент времени направлено к началу координат (рис. 1.7):
Рис. 1.7 Для секторной скорости, используя функции
где
Таким образом, в рассмотренном случае точка движется с постоянной секторной скоростью по эллипсу, лежащему в плоскости Пример 1.2. Траектория, скорость и ускорение материальной точки в цилиндрических координатах. Цилиндрические координаты точки при ее движении относительно некоторой системы отсчета 5 изменяются по закону
Найти траекторию, линейную и секторную скорости, а также ускорение точки. Для простоты рассмотрим три частных случая. 1. Полагая в заданных функциях
а используя выражения (1.15), (1.17) и (1.19), получим
Отсюда видно, что точка движется по винтовой линии (ее шаг равен 2. Полагая
Таким образом, точка движется по прямой с постоянной линейной и секторной скоростями (рис. 1.9).
Рис. 1.8
Рис. 1.9 3. Если задать
В этом случае секторная скорость изменяется по величине, но сохраняет свое направление, что обусловлено движением по плоской траектории. Исключая время из функций Пример 1.3. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с постоянной относительно фокуса эллипса секторной скоростью. Из эмпирически установленных двух законов Кеплера известно, что в гелиоцентрической системе отсчета любая планета описывает эллипс с фокусом в центре Солнца, а секторная скорость планеты относительно фокуса постоянна (рис. 1.11). Основываясь на этих законах, найти Выберем систему координат с учетом характера исследуемого движения. Начало координат поместим в центр Солнца, относительно которого секторная скорость постоянна, а одну из осей» например ось
Рис. 1.10
Рис. 1.11 На этой плоскости введем полярные координаты; тогда условия задачи можно записать в виде (см. (1.22))
(здесь
тогда скорость точки как функцию ее положения можно записать в виде
Проекция ускорения
будет определяться формулой Б и не
Отсюда, используя уравнение эллипса, окончательно получим
Таким образом, исходя из законов Кеплера, приходим к выводу, что ускорение любой планеты обратно пропорционально квадрату расстояния от планеты до Солнца и направлено к центру Солнца (сравните этот результат с законом всемирного тяготения Ньютона (2.15)). Отметим, что формулы (1) и (2) справедливы для любой плоской траектории, заданной в полярных координатах функцией Пример 1.4. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с постоянной относительно центра эллипса секторной скоростью. Точка движется по эллипсу с полуосями а и Совместим начало декартовых координат с центром эллипса, а ось
Условие постоянства секторной скорости в декартовых координатах имеет вид
Дифференцируя левую и правую части уравнения эллипса по времени, вместо исходных уравнений получим систему
из которой находим проекции скорости точки как функции х, у.
Отсюда имеем
т. е.
Таким образом, в отличие от предыдущего примера ускорение точки направлено к центру эллипса и пропорционально расстоянию от точки до этого центра. Пример 1.5. Определение положения точки по ее скорости. Точка движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью Выберем полярную ось так, чтобы в начальный момент времени точка была расположена на этой осн. Тогда условия задачи можно записать в виде
где
а с другой стороны, согласно условию
Так как
откуда, учитывая начальные условия
Определяя далее
Отсюда интегрированием найдем
(здесь для определения постоянной интегрирования использовано условие: при
Наконец, зная уравнение орбиты
|
1 |
Оглавление
|