§ 1. Понятия о материальной точке, о пространстве и времени

Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, нужно отвлечься от несущественных (для рассматриваемого движения) деталей. С этой целью используются понятия, применимость которых зависит от того, какое именно движение тел изучается. Среди этих понятий большое значение имеет понятие о материальной точке. Материальной точкой называется тело исчезающе малых размеров-, в задачах механики о движении реальных тел понятие материальной точки применимо к такому телу, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами, характеризующими движение этого тела. Например, изучая движение Земли вокруг Солнца, и Землю и Солнце можно считать материальными точками, хотя радиус Земли примерно

а радиус Солнца Дело в том, что эти размеры весьма малы по сравнению с расстоянием между центрами Солнца и Земли, составляющим примерно . В другом случае при изучении вращения Земли вокруг своей оси представление о Земле как материальной точке неприменимо. Действительно, максимальным размером, характеризующим это движение, является длина окружности, по которой движется какая-либо точка поверхности Земли, находящаяся на экваторе. Очевидно, что радиусом Земли нельзя пренебречь по сравнению с указанной длиной.

Рис. 1.1

Совокупность нескольких тел, каждое из которых можно считать материальной точкой, называют системой материальных точек. Например, нашу Галактику можно представлять как систему очень большого числа материальных точек-звезд; в ряде задач газ, состоящий из молекул, также можно представлять себе как систему большого числа материальных точек-молекул. Из приведенных примеров и из опредёления материальной точки видно, что это понятие не связано с представлением об атомистическом строении вещества.

Важную роль в механике играет понятие абсолютно твердого тела или, кратко говоря, твердого тела. Так называется система материальных точек, расстояния между которыми не изменяются при произвольных перемещениях этой системы. Конечно, размеры реальных тел остаются практически неизменными либо в определенных условиях, либо в течение определенных интервалов времени. Например, годовое угловое смещение большинства звезд составляет примерно Следовательно, система Солнце — «неподвижные» звезды может быть принята с известной степенью точности за твердое тело, причем для сравнительно длительных интервалов времени.

При изучении взаимного расположения материальных точек первостепенное значение имеет определение расстояний между ними с помощью эталона длины. Расстояние между точками будет определяться при этом тем числом., которое показывает, сколько раз эталон длины «укладывается» на отрезке прямой, соединяющей точки. До 1960 г. за эталон длины принимался метр — длина некоторого сплошного твердого тела, находящегося в стационарных условиях. Согласно единой международной системе СИ, введенной с 1960 г., за эталон длины принят метр — длина,

равная длины волны излучения, соответствующего переходу между уровнями атома криптона-86 (в вакууме). Этот эталон обеспечивает большую точность измерений по сравнению со старым эталоном.

Рассмотрим движение некоторой системы А материальных точек относительно системы S. Пусть для данных перемещений системы А систему S можно считать твердым телом. Тогда с телом S можно жестко связать три единичных вектора имеющих общее начало в некоторой точке О этого тела (для определенности будем считать выбранный базис ортогональным и правовинтовым — см. рис. 1.1). Положение любой материальной точки системы А относительно системы S зададим радиусом-вектором этой точки. Разложив вектор по трем осям Ox, Оу, Oz, которые определяются ортами , получим

где х, у, z — проекции радиуса-вектора на указанные оси. Таким образом, при определении положения материальной точки ей ставятся в соответствие три вещественные координаты х, у, z, называемые декартовыми координатами. Систему координат, жестко связанную с телом S, называют системой отсчета Заметим, что в формуле (1.1) неявно пренебрегается влиянием процесса измерения положения точки на само положение. Это допущение оправдывается при рассмотрении движений макроскопических тел; для атомных явлений эта привычная гипотеза неверна.

Чтобы определить положение всех точек системы А относительно системы S, нужно задать радиусы-векторы этих точек. Пусть система А состоит из материальных точек. Тогда аналогично (1.1)

где — радиус-вектор -той точки, — декартовы координаты -той точки.

Приведем пример системы отсчета. Для изучения движения планет солнечной системы относительно системы Солнце — звезды можно в течение сравнительно длительного промежутка времени систему Солнце — звезды считать твердым телом. Совмещая начало системы отсчета с центром Солнца и связывая направления декартовых осей с направлениями на определенные звезды, получим гелиоцентрическую систему отсчета Коперника.

Рассмотрим свойства пространства, для чего возьмем любые две точки 1 и 2. Положения этих точек относительно некоторой системы 5 зададим радиусами-векторами

Вектор, проведенный от точки 1 к точке 2, равен

(здесь и в дальнейшем порядок индексов 1 и 2 соответствует направлению вектора от точки 1 к точке 2), а расстояние между этими точками равно модулю вектора т. е.

На основании опыта с макроскопическими телами, скорости которых достаточно малы, можно утверждать, что величина данного пространственного интервала относительно разных произвольно движущихся систем отсчета — одна и та же в данный момент времени. Запишем это важнейшее утверждение аналитически, для чего возьмем две системы отсчета: систему S с началом в точке О и ортами и систему S с началом в О и ортами (рис. 1.2). Расстояние между точками 1 и относительно системы S равно Расстояние между этими же точками относительно системы S равно

где

Рис. 1.2

Утверждается, что, как бы ни двигалась «штрихованная» система отсчета относительно «нештрихованной», расстояния взятые в один и тот же момент времени, равны между собой, т. е.

здесь Из постулата (1.4)

следует, что проекции вектора на оси S и проекции вектора на оси S связаны между собой ортогональным преобразованием, а именно преобразованием

где коэффициенты подчинены условиям ортогональности

и равны косинусам углов между ортами (например, — это когинус угла между .

Как известно, пространства, в которых расстояния между любыми двумя точками определяются формулой (1.3), называются эвклидовыми. Таким образом, из постулата (1.4), основанного на опыте, следует, что пространства в классической механике — это эвклидовы пространства.

Преобразование (1.4) нетрудно представить в форме

где

а орты системы 5 связаны с ортами следующим образом:

Из (1.5) вытекает простое, но очень важное соотношение радиусов-векторов одной и той же точки относительно разных систем

отсчета. Пусть радиус-вектор начала системы S относительно системы радиус-вектор точки относительно системы а радиус-вектор той же точки относительно Тогда, полагая из (1.5) получим

Подчеркнем еще раз, что соотношения (1.5) и (1.6) справедливы только в классической механике. Если же скорости тел непренебрежимо малы по сравнению со скоростью света, то эти «очевидные» постулаты становятся неверными. Движение тел с любыми скоростями (в том числе сравнимыми со скоростью света) рассматривается в релятивистской механике Эйнштейна.

Важную роль в механике играет понятие периодического процесса, т. е. регулярно повторяющегося явления. Например, такими процессами являются колебания маятника, вращение Земли вокруг своей оси, движение Земли по орбите вокруг Солнца. Тело, с помощью которого осуществляется периодический процесс, может служить часами, а длительность периода — эталоном времени. Конечно, длительность периода реального периодического процесса постоянна лишь с определенной степенью точности. До 1960 г. эталономвремени служила определенная часть средних солнечных суток. Но ввиду экспериментально доказанной (с помощью атомных часов) неравномерности вращения Земли, а также изменений среднего тропического года за эталон времени в системе СИ принята секунда — длительность, равная 1/31 556 925, 9747 части тропического года для 1900 г., января 0, в 12 часов эфемеридного времени (см. [37, гл. II]).

В классической механике постулируется существование таких часов, длительность периода которых не изменяется при произвольных перемещениях этих часов. Этот постулат эквивалентен утверждению о том, что величина данного временного интервала относительно разных произвольно движущихся систем отсчета одинакова, т. е.

здесь — длительность определенного процесса относительно системы — длительность того же процесса относительно системы Кроме того предполагается, что измерение длительности некоторого процесса можно провести, не влияя на саму длительность.

Согласно (1.7) в любых системах отсчета координат можно произвольно выбрать одно и то же начало отсчета времени и тем самым ввести одну временную «координату» Постулат. (1.7), как и постулат (1.5), справедлив, пока скорости движения

макроскопических тел пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света.

Используя рассмотренные понятия и постулаты, можно экспериментально определить закон движения материальной точки, т. е. определить положение материальной точки в любой момент времени относительно данной системы отсчета S и задать его с помощью радиуса-вектора точки как функции времени

Конец этого радиуса-вектора описывает в пространстве кривую, называемую траекторией точки.

Заметим, что в классической механике постулируется непрерывность как координат, так и времени; тем самым постулируется непрерывность функции (1.8).

Рис. 1.3

Скоростью точки относительно системы отсчета S называется отношение бесконечно малого приращения радиуса-вектора точки к бесконечно малому интервалу времени за который происходит указанное изменение радиуса-вектора. Приращение есть приращение относительно системы орты которой жестко скреплены с телом . В связи с этим скорость точки

относительно системы S равняется производной радиуса-вектора по времени при постоянных ортах (рис. 1.3, а):

где

Ускорение точки относительно системы S определяется как первая производная скорости по времени при постоянных ортах Учитывая (1.9), ускорение можно также записать в виде второй производной от по времени. Таким образом,

где

В ряде задач используется понятие секторной скорости точки , по определению равной

Величина равна площади, очерчиваемой радиусом-вектором при элементарном перемещении точки на Следовательно, модуль секторной скорости равен скорости, с которой изменяется площадь, очерчиваемая радиусом-вектором точки (рис. 1.3, б). Иногда также рассматривают секторное ускорение а.

Рис. 1.4

Радиусы-векторы точек, их скорости и ускорения задают с помощью различных координат.

В декартовых координатах радиус-вектор точки как функция времени задается тремя координатами как функциями времени (см. (1.1)). Этот вектор определяет положение точки относительно выбранной системы отсчета S в любой момент времени. Дифференцируя радиус-вектор по времени при постоянных

ортах найдем скорость и ускорение точки в виде (см. (1.9) и (1.10))

Следовательно, проекции скорости и ускорения точки на декартовы оси соответственно равны

В цилиндрических координатах задается скалярными функциями (рис. 1.4):

где орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых координат соотношениями

При перемещениях точки относительно системы 5 положение ортов изменяется, а положение ортов фиксировано. Учитывая это, в результате дифференцирования по времени найдем

Замечая далее, что, согласно (1.16), для скорости точки относительно системы 5 получаем выражение

Таким образом, проекции скорости на координатные оси оказываются соответственно равными

Аналогично, дифференцируя по времени и учитывая зависимость пр и от получим ускорение точки относительно 5 в виде разложения по ортам цилиндрических координат:

Следовательно, проекции ускорения на оси соответственно равны

Отметим, что проекция ускорения связана с проекцией секторной скорости соотношением

поскольку, согласно (1.11), (1.15) и (1.17),

В сферических координатах радиус-вектор точки задается функциями (рис. 1.5). Разложение радиуса-вектора по ортам сферических координат и сами орты определяются формулами

Рис. 1.5

Учитывая, что направления ортов зависят от положения точки, для ее скорости получим выражение

Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси соответственно равны

Иногда используется естественное задание движения точки, при котором в качестве аргумента радиуса-вектора точки берется

длина дуги траектории, а сама длина дуги задается как функция времени:

(длина дуги отсчитывается от начального положения точки в направлении ее движения).

С помощью векторной функции в каждой точке траектории можно определить орты, совокупность которых называется естественным трехгранником (рис. 1.6, а).

Рис. 1.6

Один из этих ортов направляют по приращению определяющему касательную к траектории. Поскольку с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен элементу дуги орт

Второй орт направляют по приращению т. е. по главной нормали к траектории. Используя (1.27), находим

т. е.

Орт можно записать с помощью радиуса кривизны траектории который определяется как отношение приращения длины дуги — углу между

Так как — единичный вектор, то модуль его приращения с точностью до величины высшего порядка малости равен углу (рис. 1.6, б). Поэтому согласно (1.30) и (1.28),

а орт определится выражением

Третий орт естественного трехгранника задается векторным произведением и определяет бинормаль к траектории.

Разложение скорости точки по «естественным» ортам получим, используя (1.9), (1.26) и (1.27):

где

Дифференцируя обе части (1.33) по времени, найдем ускорение точки

Замечая, что, согласно (1.28) и (1.31),

окончательно получим

Учитывая, что ускорение точки в естественных координатах можно также представить в виде

Введенные в этом параграфе понятия и соотношения дают возможность решать кинематические задачи, т. е. задачи, в которых движение описывается вне связи с причинами, вызывающими это движение.

Пример 1.1. Траектория, скорость и ускорение материальной точки в декартовых координатах.

Закон движения точки относительно системы отсчета S имеет

где — постоянные величины. Найти траекторию, линейную и секторную скорости, а также ускорение точки относительно системы

Дифференцируя по времени заданные функции получим проекции скорости и ускорения точки на декартовы оси (см. (1.12) -(1.14))

Выражая проекции ускорения через проекции радиуса-вектора, убедимся в том, что ускорение в любой момент времени направлено к началу координат (рис. 1.7):

Рис. 1.7

Для секторной скорости, используя функции найдем выражение

где — значение секторной скорости в начальный момент времени Наконец, исключая из функций получим уравнение траектории

Таким образом, в рассмотренном случае точка движется с постоянной секторной скоростью по эллипсу, лежащему в плоскости причем ускорение все время направлено к центру эллипса.

Пример 1.2. Траектория, скорость и ускорение материальной точки в цилиндрических координатах.

Цилиндрические координаты точки при ее движении относительно некоторой системы отсчета 5 изменяются по закону

Найти траекторию, линейную и секторную скорости, а также ускорение точки.

Для простоты рассмотрим три частных случая.

1. Полагая в заданных функциях и исключая из них время, найдем уравнение траектории

а используя выражения (1.15), (1.17) и (1.19), получим

Отсюда видно, что точка движется по винтовой линии (ее шаг равен с постоянными по абсолютной величине скоростью и ускорением направлено же ускорение все время к оси цилиндра перпендикулярно к ней (рис. 1.8). Нетрудно убедиться, что модуль и направление секторной скорости в этом случае не сохраняются.

2. Полагая и поступая аналогично предыдущему, найдем

Таким образом, точка движется по прямой с постоянной линейной и секторной скоростями (рис. 1.9).

Рис. 1.8

Рис. 1.9

3. Если задать , кроме того, положить

В этом случае секторная скорость изменяется по величине, но сохраняет свое направление, что обусловлено движением по плоской траектории. Исключая время из функций получим уравнение траектории — архимедову спираль -ффо (рис. 1.10). Такую кривую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль прямой, которая сама вращается с постоянной угловой скоростью

Пример 1.3. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с постоянной относительно фокуса эллипса секторной скоростью.

Из эмпирически установленных двух законов Кеплера известно, что в гелиоцентрической системе отсчета любая планета описывает эллипс с фокусом в центре Солнца, а секторная скорость планеты относительно фокуса постоянна (рис. 1.11). Основываясь на этих законах, найти — ускорение любой планеты как функцию ее расстояния от Солнца.

Выберем систему координат с учетом характера исследуемого движения. Начало координат поместим в центр Солнца, относительно которого секторная скорость постоянна, а одну из осей» например ось направим перпендикулярно плоскости траектории.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

На этой плоскости введем полярные координаты; тогда условия задачи можно записать в виде (см. (1.22))

(здесь — параметр эллипса, — его эксцентриситет). Найдем прежде всего проекции скорости как функции от или Используя выражение секторной скорости, получим

тогда скорость точки как функцию ее положения можно записать в виде

Проекция ускорения в силу сохранения будет равна нулю, (см. (1.21)), а значение вследствие того, что

будет определяться формулой Б и не

Отсюда, используя уравнение эллипса, окончательно получим

Таким образом, исходя из законов Кеплера, приходим к выводу, что ускорение любой планеты обратно пропорционально квадрату расстояния от планеты до Солнца и направлено к центру Солнца (сравните этот результат с законом всемирного тяготения Ньютона (2.15)).

Отметим, что формулы (1) и (2) справедливы для любой плоской траектории, заданной в полярных координатах функцией причем формула (2) верна лишь при условии постоянства секторной скорости.

Пример 1.4. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с постоянной относительно центра эллипса секторной скоростью.

Точка движется по эллипсу с полуосями а и Ее секторная скорость относительно центра эллипса постоянна. Определить ускорение точки как функцию ее положения.

Совместим начало декартовых координат с центром эллипса, а ось направим перпендикулярно к плоскости траектории (см. рис. 1.7). Тогда оси можно выбрать так, что траектория точки будет описываться уравнением

Условие постоянства секторной скорости в декартовых координатах имеет вид

Дифференцируя левую и правую части уравнения эллипса по времени, вместо исходных уравнений получим систему

из которой находим проекции скорости точки как функции х, у.

Отсюда имеем

т. е.

Таким образом, в отличие от предыдущего примера ускорение точки направлено к центру эллипса и пропорционально расстоянию от точки до этого центра.

Пример 1.5. Определение положения точки по ее скорости. Точка движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью Величина ее линейной скорости обратно пропорциональна расстоянию от точки до некоторого центра, лежащего в плоскости движения и выбранного за начало координат. Найти закон движения точки, ее траекторию и ускорение, если при заданы и угол между радиусом-вектором точки и ее скоростью

Выберем полярную ось так, чтобы в начальный момент времени точка была расположена на этой осн. Тогда условия задачи можно записать в виде

где Пользуясь тем, что, с одной стороны,

а с другой стороны, согласно условию найдем радиальную составляющую скорости как функцию

Так как то , следовательно, в последнем выражении нужно выбрать знак «плюс». Разделяя в этом выражении переменные в результате интегрирования получим

откуда, учитывая начальные условия окончательно находим

Определяя далее из выражения секторной скорости, получим

Отсюда интегрированием найдем

(здесь для определения постоянной интегрирования использовано условие: при ). Из функций исключим и подучим уравнение траектории — логарифмическую спираль

Наконец, зная уравнение орбиты и используя постоянство секторной скорости, находим ускорение точки как функцию (см. формулу (2) в примере 1.3)