§ 19. Положение, скорость и ускорение материальной точки относительно разных систем отсчета

Выводы последних трех параграфов позволяют ответить на вопрос: как связаны между собой положения, скорости и ускорения материальной точки, рассматриваемые относительно различных произвольных систем отсчета. В свою очередь ответ на этот вопрос необходим для вывода уравнений движения относительно неинерциальной системы.

Пусть является радиусом-вектором материальной точки относительно системы , а радиусом-вектором той же точки относительно системы Зададим в виде разложения (1.1) по осям системы 5. Вектор также разложим по осям этой системы:

а — по осям системы :

Б классической механике между векторами имеет место соотношение (1.6), которое с учетом (1.1), (19.1) и (19.2) можно записать в виде

Подставляя в (19.3), получим выражения «штрихованных» координат через «нештрихованные», т. е. выражения вида с матрицей коэффициентов А. Если же в (19.3) выразить через то найдем преобразование

определяемое матрицей обратной по отношению к матрице А.

Теперь рассмотрим движение материальной точки. В общем случае точка движется как относительно системы так и относительно системы причем сами системы также могут двигаться относительно друг друга. Для определенности будем рассматривать движение относительно 5. Тогда орты системы 5 следует считать постоянными, т. е. не зависящими от времени, а радиус-вектор и орты следует считать функциями времени. В связи с этим систему, относительно которой рассматривается движение, часто называют «неподвижной», а движущуюся относительно нее систему - «подвижной» (условность этой терминологии очевидна).

Получим соотношение между скоростью точки, с которой она движется относительно системы и скоростью той же точки, с которой она движется относительно системы

Как известно (см. (1.9) и (1.12)), скорость точки относительно 5 равна производной по времени от радиуса-вектора точки при постоянных ортах этой системы. Если же продифференцировать по времени при постоянных «штрихованных» ортах, то получим скорость той же точки, но относительно системы

где

Используемые в (19.5) и (1.12) символы и означают

производные по времени при постоянных «штрихованных» и «нештрихованных» ортах соответственно.

Дифференцируя соотношение (1.6) по времени при постоянных ортах найдем

Согласно (1.9) является скоростью точки относительно S, а - скоростью начала системы S относительно Производная же не является скоростью точки относительно системы так как ее следует брать, учитывая зависимость от времени, т. е. учитывая вращение S относительно :

Первые три члена правой части (19.7) связаны с изменением ориентации системы S относительно 5. Используя (17.8), их сумму можно представить в виде

Сумма вторых трех членов правой части (19.7), согласно (19.5), равна скорости точки относительно Таким образом, «нештрихованная» производная от по времени равна

Подставляя (19.9) в (19.6), получим интересующее нас соотношение между — скоростью материальной точки относительно системы S и х — скоростью той же точки относительно системы

Здесь — скорость начала и угловая скорость системы относительно системы S соответственно, радиус-вектор материальной точки относительно системы Сумму называют переносной скоростью точки. Она представляет собой скорость точки, жестко связанной с системой S и совпадающей в данный момент времени с рассматриваемой материальной . В самом деле, для такой, скрепленной с S точки скорость а скорость относительно S равна

В связи с этим соотношение (19.10) можно представить в виде

Если точка жестко скреплена с системой движущейся поступательно, то , следовательно, (19.10) перейдет в первое из соотношений (17.2). Если точка жестко скреплена с системой начало которой покоится относительно системы то, полагая из (19.10) получим

(ср. с (17.6)).

Найдем соотношение между ускорениями точки относительно систем 5 и Ускорение точки относительно системы 5 получим, дифференцируя по времени скорость точки при постоянных «нештрихованных» ортах (см. (1.10) и (1.13)). Если же продифференцировать (19.5) по времени при постоянных «штрихованных» ортах, то получим ускорение той же точки, но относительно системы

где

Связь ускорений найдем, продифференцировав (19.10) при постоянных ортах

Здесь, согласно (1.10), есть ускорения точки и начала О относительно системы

Теперь заметим, что для любого вектора заданного в виде разложения по ортам системы вращающейся относительно системы имеет место следующее соотношение между «гштрихованной» и «гнештрихованной» производными:

(вывод этого соотношения аналогичен выводу (19.9), так как в

(19.9) не предполагалось, что является именно радиусом-вектором точки).

Полагая в (19.16) вектор а равным получим

Подставляя (19.17) и (19.9) в (19.15) и используя (1.13), (19.14) и (19.5), найдем искомое соотношение между и — ускорениями точки относительно систем отсчета S и S соответственно:

здесь — ускорение начала О, угловая скорость и угловое ускорение системы S относительно системы S соответственно; и — радиус-вектор и скорость материальной точки относительно системы Сумму первых трех членов правой части (19.18) называют переносным ускорением точки. Оно представляет собой ускорение точки, жестко связанной с системой S и совпадающей в данный момент времени с рассматриваемой материальной точкой. Действительно, для такой связанной с S точки т. е. ее ускорение относительно S равно

Часть переносного ускорения отлична от нуля лишь при неравномерном вращении другая же часть всегда направлена перпендикулярно к мгновенной оси вращения и по величине равна , где — расстояние от оси вращения до точки.

Итак, переносное ускорение связано с ускоренным движением системы S относительно системы а ускорение связано с

движением точки относительно Что касается ускорения то оно появляется в результате как изменения ориентации S относительно так и движения точки относительно Это ускорение называется кориолисовым (или поворотным) ускорением и обозначается Оно исчезает в трех случаях: 1) при жестком скреплении точки с системой при поступательном движении движении точки параллельно угловой скорости

В заключение, используя введенные обозначения, представим соотношение (19.18) в виде

где

Пример 19.1. Положение, скорость и ускорение точки относительно движущейся системы отсчета.

Относительно системы 5 материальная точка движется в плоскости по окружности радиуса с угловой скоростью Определить закон движения точки относительно системы если начало О этой системы движется по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью относительно системы (плоскость окружности совпадает с плоскостью оси параллельны), а угол между осями равняется где постоянно; см. рис. 19.1, а.

Рис. 19.1

Согласно условию движение системы S относительно S описывается функциями (см. (17.10))

а законом движения точки относительно является

Используя (1.6), получим разложение вектора по ортам системы S:

Отсюда с помощью преобразования (см. (16.15))

найдем разложение вектора по ортам системы

где

Из этих формул видно, что относительно S точка движется по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью (рис. 19.1, б). Дифференцируя по времени при постоянных ортах получим скорость точки и ее ускорение относительно

Для сопоставления приведем формулы для скорости точки и ее ускорения относительно

Нетрудно убедиться, что скорости точки относительно S и S и ее переносная скорость направлены по линии, перпендикулярной радиусу-вектору точки а ускорения точки относительно S и ее переносное и кориолисово ускорения направлены вдоль радиуса-вектора (рис. 19.1, в).