§ 47. Движение материальной точки и волновой процесс

В § 45 (см. стр. 405) обращалось внимание на весьма интересную аналогию, которую можно провести между механикой точки и теорией волнового процесса. Проанализируем эту аналогию на примере свободной материальной точки, движущейся в стационарном потенциальном поле и монохроматической волны, распространяющейся в оптически неоднородной среде.

Движение точки подчиняется уравнению Гамильтона—Якоби

где 5 — функция и . Так как функция Гамильтона Н в рассматриваемом случае сохраняет постоянное значение, равное полной энергии то решение для S следует искать в виде (см. (46.2))

Подставляя (47.2) в (47.1), получим уравнение для «укороченного» действия

Заметим, что поверхности стационарны, поскольку не зависит явно от времени, а поверхности равного действия

движутся, причем в любой момент времени любая поверхность равного действия S совпадает с некоторой поверхностью «укороченного» действия. Например, поверхность в момент времени совпадает с поверхностью если параметр семейства этих поверхностей равен (рис. 47.1). Поверхность в момент будет совпадать с другой поверхностью

Рис. 47.1

Можно найти выражение для скорости и, с которой движется поверхность равного действия. В данной точке поверхности эта скорость равна - где — расстояние, которое поверхность проходит за время в направлении, перпендикулярном к самой себе в рассматриваемой точке. Кроме того, изменение при передвижении поверхности за время равно . С другой стороны, как известно, Следовательно (см. также (47.3)),

где — модуль скорости материальной точки (следует иметь в

виду, что скорость и определена лишь с точностью до произвольной постоянной).

Одновременно с движением поверхности равного действия S материальная точка движется по траектории, перпендикулярной как к поверхности так и к поверхности поскольку импульс точки, согласно (46.4) и (46.6, а), равен

Вид траектории точки определяется уравнением (47.3), которое с формальной точки зрения совпадает с известным в геометрической оптике уравнением эйконала

где I — так называемый эйконал, — показатель преломления, равный отношению скорости света с в вакууме к скорости света в данной среде, радиус-вектор точки пространства.

Уравнение эйконала может быть получено из волнового уравнения

где является любой из компонент напряженности электрического или магнитного поля. Если считать постоянным, то одним из решений уравнения (47.8) будет функция

где а — постоянная амплитуда, — заданная частота, а к — волновой вектор, направленный по лучу, т. е. по нормали к волновой поверхности (по величине , где — длина волны).

Если же является медленно меняющейся функции то решение уравнения естественно искать в виде

где — волновое число в вакууме, эйконал.

Подставляя (47.10) в (47.8) и приравнивая действительную и мнимую части полученного выражения нулю, придем к уравнениям для амплитуды а и эйконала I

Используя предположение о том, что изменением показателя преломления на расстояниях порядка длины волны можно пренебречь (это предположение эквивалентно тому, что длина волны исчезающе мала по сравнению с линейным размером

неоднородности среды), совершим в уравнении (47.11) предельный переход Тогда получим основное уравнение геометрической оптики (47.7). В этом предельном случае поверхности

являются поверхностями равной фазы и определяют фронт волны, а световые лучи ортогональны к фронту волны и направлены по волновому вектору к, равному (см. определения величин, входящих в формулы (47.9) и (47.10))

Сопоставляя (47.4) и (47.13), (47.6) и (47.14), (47.3) и (47.7), лриходим к аналогии между величинами:

Итак, аналогом фронта волны является поверхность равного действия; роль эйконала играет «укороченное» действие волновой вектор можно сопоставить импульсу точки; роль лучей играют траектории точки, а показатель преломления аналогичен величине

В связи с указанной аналогией возникает вопрос о механическом уравнении, соответствующем волновому уравнению не только в области коротких волн, области длинных волн, т. е. вопрос, на который отвечает квантовая механика.

Пример 47.1. Движение точки в однородном поле тяжести и распространение светового луча.

Точка массы движется в поле тяжести с напряженностью Найти показатель преломления такой оптической среды, в которой луч света будет двигаться по кривым, совпадающим с траекторией материальной точки в поле тяжести.

Совмещая плоскость с плоскостью движения точки и

направляя оси соответственно по горизонтали и вертикали (рис. 47.2), найдем функцию Гамильтона точки

Следовательно, решение уравнения Гамильтона — Якоби

нужно искать в виде

Подставляя (2) в (1), найдем полный интеграл

а затем интересующий нас геометрический интеграл (см. (46.6, б))

Отсюда, используя начальные условия, получим уравнение семейства траекторий точки (парабол)

а приравнивая постоянной С, найдем уравнение семейства ортогональных к траекториям кривых (полукубических парабол)

Полагая в (3) и (4) для простоты придем к функциям

графики которых изображены на рис. 47.2 (график кривой

Рис. 47.2

при различных значениях С может быть получен сдвигом вдоль оси полукубической параболы, соответствующей, например, значению

Подбирая показатель преломления оптической среды в соответствии с уравнением (1) (см. (47.15)):

придем к выводу, что луч света в такой среде будет двигаться по параболе, а фронт волны последовательно совпадать с поверхностями семейства полукубических парабол.