Глава VI. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В этой главе изучается движение механической системы с достаточно малыми скоростями в достаточно малой пространственной области около положений равновесия точек системы. Если при этом диссипативные силы малы, то система будет совершать, как говорят, малые колебания; если же диссипативные силы значительны, то будет иметь место апериодическое движение. Теория малых колебаний широко применяется для изучения как механических, так и немеханических систем. Например, с помощью этой теории можно описать колебания математического маятника и колебания напряжения в электрическом контуре. Поэтому излагаемая ниже теория играет большую роль в различных областях физики.

§ 30. Собственные одномерные колебания

Пусть на систему с одной степенью свободы наложены стационарные голономные связи. Тогда кинетическая энергия как функция независимой координаты и обобщенной скорости равна (см. (27.1))

(здесь коэффициент явно от времени не зависит, так как связи стационарны). Пусть также на систему действуют стационарные потенциальные силы и диссипативные силы, пропорциональные первой степени скоростей точек системы. В этом случае потенциальная энергия и диссипативная функция D системы имеют вид (см. (27.27))

Предположим, что наложенные связи и заданные силы таковы, что существует хотя бы одно положение равновесия системы (для

обозначения положения равновесия будем использовать символ Согласно (26.30) обобщенная сила, прилагаемая к системе, покоящейся в положении равновесия, равна нулю (см. (26.21) и

Отсюда следует, что потенциальная энергия в положении равновесия должна обладать экстремумом, т. е.

Рис. 30.1

Это уравнение определяет положения равновесия системы.

Рассмотрим свойства достаточно малой окрестности таких положений. Пусть, например, система имеет два положения равновесия Причем в первом положений потенциальная энергия достигает минимума, а во втором — максимума (рис. 30.1). Тогда в окрестности положения имеем если если (здесь — сколь угодно малая положительная величина). В окрестности положения наоборот: если если (здесь

Следовательно, вблизи максимума потенциальной энергии возникает сила, стремящаяся отклонить систему от положения равновесия, а вблизи минимума возникает сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. В этом последнем случае система, обладающая достаточно малым начальным отклонением от положения равновесия и достаточно малой начальной скоростью при любом не выйдет за пределы наперед заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия, причем обобщенная скорость также будет сколь угодно мала. Положения

равновесия, окрестности которых имеют описанные свойства, называются устойчивыми.

Учитывая эти свойства, кинетическую и потенциальную энергии системы, а также ее диссипативную функцию можно разложить в положении устойчивого равновесия в ряд по степеням отклонения от этого положения и степеням скорости . С точностью до величин второго порядка малости включительно эти разложения имеют вид

(здесь в разложении потенциальной энергии опущена несущественная постоянная и учтено Используя (30.5), найдем приближенное уравнение Лагранжа, справедливое в малой окрестности положения устойчивого равновесия:

где

Уравнение (30.6) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если коэффициент равен нулю или сравнительно мал, то это уравнение описывает колебания системы, называемые линейными. Стационарность сил и связей, рассматриваемых в данной задаче, приводит не только к постоянству коэффициентов уравнения (30.6), но и к его однородности; поэтому описываемые этим уравнением колебания называют собственными (или свободными).

Решение уравнения (30.6) разыскивается, как известно, в виде

Подставляя (30.7) в (30.6) и сокращая на общий множитель получим

где Поскольку интерес представляет нетривиальное решение (т. е. решение при ), то уравнение (30.8) эквивалентно следующему уравнению относительно

Это уравнение называется характеристическим уравнением

(или уравнением частот). Вводя обозначения запишем его в виде

Значения , удовлетворяющие характеристическому уравнению, называются собственными значениями, В одномерном случае имеем два собственных значения

где . Вид соответствует известной алгебраической теореме о том, что корни всякого многочлена с вещественными коэффициентами либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. Действительно, если , то , а если то

где (случай кратных корней, когда мы рассматривать не будем).

Наличие двух собственных значений X соответствует двум частным независимым решениям

где могут быть комплексными. Если в качестве обобщенных координат выбираются действительные величины то в качестве общего решения уравнения (30.6) следует взять действительную часть суммы частных независимых решений

где — постоянные интегрирования, а определены характеристическим уравнением (30.10). Заметим, что двум комплексным постоянным соответствуют четыре действительные постоянные. Однако после отделения действительной части в (30.13) фактически остаются две произвольные постоянные, как и должно быть в общем решении дифференциального уравнения второго порядка. Например, записывая решение (30.13) в случае в виде

и учитывая, что постоянные и всегда можно представить в форме

после отделения вещественной части найдем

где — действительные произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Решение (30.16) легко также представить в виде

где постоянные а и а связаны с постоянными соотношениями

Решение (30.17) или (30.16) описывает затухающее гармоническое колебание системы. Величина мнимой части называется собственной частотой колебаний со, а величина действительной части X называется коэффициентом затухания

В случае общее решение (30.13) с учетом (30.12) принимает вид

где — действительные постоянные. В этом случае имеем, апериодическое движение, характеризующееся двумя коэффициентами затухания.

Из решений (30.17) и (30.19) видно, что в линейной теории собственные частоты и коэффициенты затухания не зависят от начальных условий. Отметим еще две характерные черты линейной теории малых колебаний: в решении (30.17) отсутствуют «обертоны», т. е. частоты, кратные собственной частоте; кроме того, в силу линейности уравнения (30.6), его общее решение является суммой частных решений, т. е. имеет место, как говорят, принцип суперпозиции.

Независимость собственной частоты и коэффициента затухания от начальных условий приводит к интересному свойству линейных одномерных колебаний — к свойству изохронности. Оно заключается в том, что при равной нулю начальной скорости время, за которое система переходит из начального положения в положение равновесия, не зависит от величины начального

отклонения Действительно, подставляя в получим

откуда

Полагая здесь найдем

где Следовательно, интервал времени, за который система переходит в положение равновесия равен

Этот интервал не зависит от величины отклонения

В отсутствие затухания энергия системы пропорциональна произведению квадратов амплитуды и частоты колебания. В этом нетрудно убедиться, если учесть, что при решение (30.17) описывает незатухающее гармоническое колебание

где Подставляя эту функцию в выражения для Т и получим

Пример 30.1. Движение точки по эллипсу в среде с «линейным» сопротивлением вблизи положения устойчивого равновесия.

Точка массы движется гладкому эллипсу в сседе с сопротивлением. Полуоси эллипса равны соответственно а и причем первая полуось направлена по вертикали (рис. 30.2). Найти собственную частоту и коэффициент затухания линейных колебаний точки.

Рис. 30.2

Согласно условию точка подчинена двум стационарным связям

Выберем в качестве независимой переменной параметр с которым декартовы координаты точки связаны соотношениями

тогда для кинетической и потенциальной энергий точки получим выражения

где — напряженность поля тяжести. Предполагая, что сопротивление среды пропорционально первой степени скорости точки, выразим диссипативную функцию через

Учитывая, что, согласно (30.3) и (30.4), положения равновесия определяются уравнением

находим две точки равновесия: . В первом положении потенциальная энергия минимальна, так как а во втором положении она обладает максимумом, так как Следовательно, первое положение равновесия устойчиво, а второе неустойчиво.

Разлагая в положении устойчивого равновесия кинетическую и потенциальную энергии, а также диссипативную функцию в ряд по степеням с точностью до величины второго порядка малости включительно, получим

Используя эти функции, найдем линеаризованное уравнение Лагранжа

представляющее собой уравнение затухающих гармонических колебаний (или апериодического движения). Собственная частота и коэффициент затухания колебаний точки соответственно равны

В случае апериодического движения коэффициенты затухания равны

Пример 30.2. Колебания точки по наклонному эллипсу.

Точка массы движется по гладкому эллипсу с полуосями, равными . Плоскость эллипса вертикальна, а полуось а отклонена от вертикали на угол Найти собственную частоту линейных колебаний точки (сопротивлением среды пренебречь).

Рис. 30.3

Выберем систему координат так, как это показано на рис. 30.3. Тогда уравнения связей совпядут с аналогичными уравнениями предыдущего примера, а за независимую переменную можно будет взять параметр . В таком случае кинетическая и потенциальная энеогии точки будут соответственно равны

где — напряженность поля тяжести. Для исследования на экстремум находим ее первую и вторую производные. Приравнивая первую производную нулю, получаем уравнение

определяющее положения равновесия . Выбирая положение устойчивого равновесия и учитывая, что вблизи этого положения

(здесь ), с точностью до величин второго порядка малости получим

Отсюда находим уравнение линейных колебаний

а квадрат собственной частоты

Пример 30.3. Колебания точки, находящейся на горизонтальном стержне, под действием пружины.

Рис. 30.4

Точка массы движущаяся по гладкому горизонтальному стержню, соединена пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на расстоянии от стержня. Найти частоту линейных колебаний точки (жесткость и длина пружины в ненапряженном состоянии соответственно равны х и а, см. (2.8); пружина навита на гладкий стержень, шарнирно закрепленный в точке О).

Выберем систему координат так, как это показано на рис. 30.4, тогда

Чтобы определить положение устойчивого равновесия, рассмотрим первую и вторую производные от

Приравнивая нулю получим три положения равновесия:

Первое положение будет устойчивым, если

т. е. будет устойчивым, если (пружина в положении равновесия растянута). Два других положения равновесия существуют, если причем эти положения устойчивы, поскольку

Разлагая в положении устойчивого равновесия получим

а в двух других положениях

где

Используя эти выражения для найдем квадраты частот линейных колебаний точки в окрестностях указанных выше положений:

Как видно, при разных соотношениях а и I возможны различные положения устойчивого равновесия и соответственно различные частоты колебаний.