Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 25. Уравнения Лагранжа с реакциями связей; законы изменения импульса, кинетического момента и энергии для систем со связямиВыше отмечалось, что основная задача механики голономных систем становится определенной для класса идеальных связей. Действительно, пусть на систему из Рассмотренное сейчас непосредственное исключение зависимых вариаций координат можно в общем случае провести методом неопределенных множителей Лагранжа. Изложим существо этого метода. В силу идеальности и голономности связей из условий (24.7) и (24.6) имеем
Умножая каждое из
Итак, коэффициенты при всех
Соотношения (25.3) являются необходимым условием обращения в нуль виртуальной работы реакций связей, т. е. необходимым условием идеальности голономных связей. Можно непосредственно убедиться и в достаточности этого условия. Проиллюстрируем исключение зависимых вариаций координат на примере точки, движущейся по гладкой окружности, наклоненной под углом а к горизонту. Эта кривая представляет собой пересечение сферы и наклонной плоскости. Следовательно, на точку наложены две голономные связи (см. (24.4))
(начало координат помещено в центр сферы, ось
Виртуальное перемещение точки подчинено системе двух уравнений (см.
поэтому одна из вариаций координат, например
Используя полученные выражения
и исключая из условия идеальности зависимые вариации, найдем
Отсюда видно, что между проекциями реакции связей и радиуса-вектора точки имеет место соотношение
Это же соотношение можно получить методом неопределенных множителей. Действительно, умножая уравнения для вариаций координат на
Затем подберем множители
Указанный подбор множителей можно осуществить единственным способом, так как два последних соотношения являются системой, которую можно разрешить относительно и
(этот детерминант равен детерминанту, использованному выше). После указанного подбора и
В результате придем к соотношению (см. (25.3))
которое в декартовых координатах имеет вид
Исключая отсюда Итак, реакции идеальных голономных связей являются линейными формами относительно градиентов функций
Здесь силы Подчеркнем, что реакции связей определяются в результате решения уравнений (25.4) и, следовательно, зависят от заданных сил, поэтому заданные силы часто называют активными силами, а реакции связей — пассивными. Такая зависимость одних сил от других появляется в результате упрощения представлений о реальном взаимодействии тел: само наложение связей на систему представляет собой по существу такое упрощение (например, в задаче о сферическом маятнике мы пренебрегаем упругими свойствами нити подвеса и тем самым налагаем связь). При применении уравнений Лагранжа возникает также вопрос о выполнении условия идеальности связей. Выше мы видели, что это требование связано с определенными физическими допущениями, которые не всегда выполняются, например наличие сил трения на голономных связях делает их неидеальными. Однако всегда можно выделить нормальные составляющие реакций, которые будут удовлетворять условию идеальности (24.7); тогда остальные составляющие реакций должны быть заданы как функции положений, скоростей точек и времени. Законы изменения импульса, кинетического момента и энергии системы при наличии связей могут быть получены из уравнений Лагранжа (25.4) так же, как аналогичные законы для свободных систем были получены из уравнений Ньютона (3.5) с помощью закона (3.6). В самом деле, учитывая, что по отношению к исследуемой системе связи могут быть как внутренними, так и внешними, найдем
где Мощность реакций можно представить и в другом виде, используя идеальность и голономность связей. Действительно имея в виду (25.3) и (24.5), получим
Это выражение позволяет записать уравнение (25.7) в виде
Законы сохранения импульса и момента при наличии связей должны быть сформулированы в соответствии с (9.16) и (10.6), только к требованиям на заданные внешние силы добавятся аналогичные требования к реакциям внешних связей. Что касается закона сохранения энергии при наличии связей, то он имеет место при условиях (11.19) и стационарности идеальных голономных связей, когда
Во многих случаях применение законов сохранения упрощает решение задач о движении несвободных систем. В свою очередь законы сохранения могут быть связаны с симметрией заданных силовых полей и связей. Поэтому выбор координат целесообразно осуществлять с учетом этой симметрии. Рассмотрим некоторые примеры на составление и решение уравнений Лагранжа с реакциями связей. Пример 25.1. Точка на колеблющейся горизонтальной плоскости. Точка массы Выберем систему координат так, как это показано на рис. 23.2, а, т. е. направим ось
Здесь учтено, что плоскость является гладкой, поскольку составляющие реакции Из первых двух уравнений движения находим
а из третьего уравнения движения и уравнения связи получим, что
Проекции импульса точки на оси
Обратим внимание на то, что
где связано с тем, что на указанных интервалах времени Пример 25.2. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности. Точка массы
Рис. 25.1 Здесь учтено, что реакция Используя второе из уравнений движения, найдем первый интеграл
который по существу представляет собой интеграл площадей. Отсюда
Интегрируя это уравнение, найдем
а интегрируя третье уравнение движения, получим
Наконец, подставляя функции
Полная энергия точки Е не сохраняется вследствие нестационарности связи. Пример 25.3. Точка на пересечении сферы и движущейся плоскости. Точка массы
Рис. 25.2 Учитывая симметрию связей, поместим начало координат в центр сферы, а ось
Замечая, что момент импульса точки относительно оси
Из уравнений связей и второго уравнения движения найдем функции
(здесь учтено, что в начальный момент времени Интегрируя
Множители и
Отсюда с помощью соотношений
находим реакции связей
|
1 |
Оглавление
|