§ 25. Уравнения Лагранжа с реакциями связей; законы изменения импульса, кинетического момента и энергии для систем со связями

Выше отмечалось, что основная задача механики голономных систем становится определенной для класса идеальных связей. Действительно, пусть на систему из точек наложено голономных идеальных связей. Число проекций виртуальных перемещений точек на координатные оси или, иначе говоря, число вариаций координат точек равно Так как вариации координат подчинены уравнениям (24.6), то вариаций являются зависимыми, а вариаций независимыми. Зависимые вариации могут быть единственным образом выражены через независимые, поскольку детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе (24.6), по предположению, отличен от нуля (в противном случае среди связей будут такие, которые являются следствием остальных). Учтем далее, что кроме требования голономности связей выполняется требование их идеальности (см. (24.7)). В этом условии зависимых вариаций с помощью (24.6) можно выразить через независимых вариаций. После такой подстановки (для того, чтобы удовлетворить требованию идеальности) следует приравнять нулю коэффициенты при независимых вариациях. Тем самым можно получить соотношений между реакциями связей и радиусами-векторами точек. Таким образом, основная задача динамики несвободной системы с голономными идеальными связями является определенной, поскольку число уравнений и число неизвестных функций в этом случае совпадают.

Рассмотренное сейчас непосредственное исключение зависимых вариаций координат можно в общем случае провести методом неопределенных множителей Лагранжа. Изложим существо этого метода. В силу идеальности и голономности связей из условий (24.7) и (24.6) имеем

Умножая каждое из последних соотношений на соответствующий неопределенный скалярный множитель и складывая все полученные результаты с условием идеальности, придем к соотношению

котором вариаций координат являются зависимыми, а независимыми. Подберем множителей так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях в (25.2) обратились в нуль. Этот подбор можно провести единственным образом, так как детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе (24.6) отличен от нуля (по предположению о связях). С другой стороны, коэффициенты при независимых вариациях в (25.2) должны равняться нулю в силу условия идеальности.

Итак, коэффициенты при всех , должны быть приравнены нулю. В результате приходим к заключению, что между реакциями идеальных голономных связей и функциями определяющими уравнения связей, имеют место соотношения

Соотношения (25.3) являются необходимым условием обращения в нуль виртуальной работы реакций связей, т. е. необходимым условием идеальности голономных связей. Можно непосредственно убедиться и в достаточности этого условия.

Проиллюстрируем исключение зависимых вариаций координат на примере точки, движущейся по гладкой окружности, наклоненной под углом а к горизонту. Эта кривая представляет собой пересечение сферы и наклонной плоскости. Следовательно, на точку наложены две голономные связи (см. (24.4))

(начало координат помещено в центр сферы, ось направлена по вертикали вверх, а плоскость проходит через центр сферы и ось и наклонена к оси под углом а). Так как кривая гладкая, то условие идеальности (24.7) выполняется:

Виртуальное перемещение точки подчинено системе двух уравнений (см.

поэтому одна из вариаций координат, например является независимой. Выразим зависимые вариации через независимую что можно осуществить, поскольку соответствующий детерминант отличен от нуля:

Используя полученные выражения

и исключая из условия идеальности зависимые вариации, найдем

Отсюда видно, что между проекциями реакции связей и радиуса-вектора точки имеет место соотношение

Это же соотношение можно получить методом неопределенных множителей. Действительно, умножая уравнения для вариаций координат на соответственно и складывая результаты умножения с условием идеальности связей, находим (см. (25.2))

Затем подберем множители так, чтобы коэффициенты этого уравнения при зависимых вариациях и обратились в нуль; тогда

Указанный подбор множителей можно осуществить единственным способом, так как два последних соотношения являются системой, которую можно разрешить относительно и поскольку соответствующий детерминант отличен от нуля:

(этот детерминант равен детерминанту, использованному выше).

После указанного подбора и следует приравнять нулю коэффициент при независимой вариации т. е. положить

В результате придем к соотношению (см. (25.3))

которое в декартовых координатах имеет вид

Исключая отсюда найдем ранее полученное соотношение между проекциями векторов

Итак, реакции идеальных голономных связей являются линейными формами относительно градиентов функций определяющих уравнения связей (24.4). Подставляя (25.3) в (23.6), получим уравнения движения механической системы с голономными идеальными связями, т. е. уравнения Лагранжа с реакциями связей или уравнения Лагранжа первого рода,

Здесь силы являются заданными функциями Неизвестными в этих уравнениях являются все радиусы-векторы точек и множители Лагранжа Число уравнений и число неизвестных функций совпадают и равны

Подчеркнем, что реакции связей определяются в результате решения уравнений (25.4) и, следовательно, зависят от заданных сил, поэтому заданные силы часто называют активными силами, а реакции связей — пассивными. Такая зависимость одних сил от других появляется в результате упрощения представлений о реальном взаимодействии тел: само наложение связей на систему представляет собой по существу такое упрощение (например, в задаче о сферическом маятнике мы пренебрегаем упругими свойствами нити подвеса и тем самым налагаем связь).

При применении уравнений Лагранжа возникает также вопрос о выполнении условия идеальности связей. Выше мы видели, что это требование связано с определенными физическими допущениями, которые не всегда выполняются, например наличие сил трения на голономных связях делает их неидеальными. Однако всегда можно выделить нормальные составляющие реакций, которые будут удовлетворять условию идеальности (24.7); тогда остальные составляющие реакций должны быть заданы как функции положений, скоростей точек и времени.

Законы изменения импульса, кинетического момента и энергии системы при наличии связей могут быть получены из уравнений Лагранжа (25.4) так же, как аналогичные законы для

свободных систем были получены из уравнений Ньютона (3.5) с помощью закона (3.6). В самом деле, учитывая, что по отношению к исследуемой системе связи могут быть как внутренними, так и внешними, найдем

где — сумма реакций внутренних и внешних связей на -тую точку; сумма реакций внешних связей; — сумма моментов реакций внешних связей. По сравнению с законами (9.15), (10.5) и (11.18) здесь появились дополнительные члены: сумма внешних реакций и их моменты, а также мощность как внутренних, так и внешних реакций.

Мощность реакций можно представить и в другом виде, используя идеальность и голономность связей. Действительно имея в виду (25.3) и (24.5), получим

Это выражение позволяет записать уравнение (25.7) в виде

Законы сохранения импульса и момента при наличии связей должны быть сформулированы в соответствии с (9.16) и (10.6), только к требованиям на заданные внешние силы добавятся аналогичные требования к реакциям внешних связей. Что касается закона сохранения энергии при наличии связей, то он имеет место при условиях (11.19) и стационарности идеальных голономных связей, когда

Во многих случаях применение законов сохранения упрощает решение задач о движении несвободных систем. В свою очередь законы сохранения могут быть связаны с симметрией заданных силовых полей и связей. Поэтому выбор координат целесообразно осуществлять с учетом этой симметрии.

Рассмотрим некоторые примеры на составление и решение уравнений Лагранжа с реакциями связей.

Пример 25.1. Точка на колеблющейся горизонтальной плоскости.

Точка массы движется по колеблющейся горизонтальной гладкой плоскости. Найти положение точки и реакцию связи как функции времени, если плоскость колеблется в направлении, перпендикулярном плоскости, с амплитудой а и частотой , а напряженность поля тяжести равна

Выберем систему координат так, как это показано на рис. 23.2, а, т. е. направим ось коллинеарно вектору тогда систему уравнений (25.4) можно записать в виде

Здесь учтено, что плоскость является гладкой, поскольку составляющие реакции приравнены нулю.

Из первых двух уравнений движения находим

а из третьего уравнения движения и уравнения связи получим, что

Проекции импульса точки на оси сохраняются, так как проекции заданной силы и реакции связи на эти оси равны нулю; кроме того, сохраняется проекция момента импульса точки на ось поскольку проекции момента заданной силы и момента реакции на эту ось равны нулю. Что касается энергии, то она изменяется со временем согласно уравнению.

Обратим внимание на то, что если частота колебаний плоскости достаточно мала Если же то - будет отрицательной на интервалах времени

где — целые неотрицательные числа. Это

связано с тем, что на указанных интервалах времени компонента ускорения точки отрицательна и достигает большой величины.

Пример 25.2. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности.

Точка массы движется в поле тяжести по расширяющейся гладкой цилиндрической поверхности с вертикальной осью. Найти закон движения: точки, если напряженность поля тяжести равна а радиус цилиндра увеличивается с постоянной скоростью ро-Учитывая симметрию связи, местим ось с осью цилиндра, а ось Ох (или Оу) направим произвольно (рис. 25.1). Из тех же соображений симметрии будем использовать цилиндрические координаты. Тогда, разлагая обе части уравнения (25.4) по ортам пр, получим

Рис. 25.1

Здесь учтено, что реакция перпендикулярна к цилиндрической поверхности и, следовательно, только отлична от нуля.

Используя второе из уравнений движения, найдем первый интеграл

который по существу представляет собой интеграл площадей. Отсюда

Интегрируя это уравнение, найдем

а интегрируя третье уравнение движения, получим

Наконец, подставляя функции в первое из уравнений движения, найдем реакцию связи

Полная энергия точки Е не сохраняется вследствие нестационарности связи.

Пример 25.3. Точка на пересечении сферы и движущейся плоскости.

Точка массы движется по пересечению неподвижной гладкой сферы радиуса а и гладкой горизонтальной плоскости, движущейся в вертикальном направлении по закону Найти закон движения точки и реакции связей для

Рис. 25.2

Учитывая симметрию связей, поместим начало координат в центр сферы, а ось направим коллинеарно вектору (рис. 25.2). Тогда систему (25.4) с уравнениями связей можно записать в виде

Замечая, что момент импульса точки относительно оси постоянен и что от цилиндрической координаты уравнения связей не зависят, спроектируем обе части уравнения Лагранжа на цилиндрические орты. В результате получим следующую систему уравнений:

Из уравнений связей и второго уравнения движения найдем функции :

(здесь учтено, что в начальный момент времени

Интегрируя получим угол как функцию времени:

Множители и определим из первого и третьего уравнений движения:

Отсюда с помощью соотношений

находим реакции связей