Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Решение уравнений движения и начальные условияДвижение механической системы положения в любой момент времени, то, используя (3.5), можно определить силы как функции времени. Однако несравненно более трудной задачей является отыскание радиусов-векторов точек как функций времени, если заданы силы как функции положений точек, их скоростей и времени. В математическом отношении эта задача является задачей о нахождении общего решения системы
Постоянные интегрирования связаны с начальными условиями. Действительно, пусть нам известно общее решение (4.1) и заданы начальные положения и скорости точек системы, т. е. заданы
Полагая в системах (4.1) и
Допуская, что система (4.3) разрешима относительно постоянных интегрирования, найдем
Наконец, подставляя (4.4) в (4.1), получим общее решение системы (3.5) в виде
Таким образом, если заданы массы точек, силы, действующие на точки системы, и начальные условия, то поведение системы определяется однозначно. В этом проявляется причинная обусловленность механического движения. Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений движения относительно инерциальной системы отсчета. При этом обратим внимание на большое значение выбора системы координат, который должен отражать особенности заданных сил и начальных условий. Такой выбор обеспечивает сравнительную простоту решения задачи. Пример 4.1. Заряженная частица в переменном электрическом поле. Заряд
Из условия вытекает, что на заряд действует сила (см.
а уравнением движения является уравнение
Рис. 4.1 Сила в любой момент времени коллинеарна постоянному вектору
а проекции радиуса-вектора и скорости на ось Проектируя левую и правую части векторного уравнения движения на оси выбранной системы, получим три дифференциальных уравнения
(подчеркнем, что проекция силы на ось
Подставляя в эти функции
Итак, заряд движется в плоскости, образуемой векторами В общем случае, когда на материальную точку действует сила, зависящая только от времени, все три уравнения движения имеют вид
Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия, найдем общее решение в квадратурах
Для других проекций скорости и радиуса-вектора результаты аналогичны. Пример 4.2. Задача о пространственном осцилляторе. На точку массы Уравнением движения в рассматриваемой системе отсчета является уравнение
Таким образом, в любой момент времени ускорение (и приращение скорости) коллинеарно вектору Проектируя левую и правую части уравнения движения на оси
где
Дифференцируя его по времени, получим
Полагая в последних четырех функциях
Общее решение можно записать также в виде
где
Запишем
где разность фаз
Складывая результаты возведения в квадрат, получим уравнение траектории
Итак, под действием силы — В общем случае, когда сила зависит только от положения точки, а каждая декартова проекция силы зависит только от соответствующей проекции радиуса-вектора, уравнения движения имеют вид
Общее решение этих уравнений может быть получено в квадратурах. Например, умножая обе части первого уравнения на
получим
Интегрируя это уравнение, найдем
(здесь выбирается тот знак, который имеет х при
Пример 4.3. Движение в однородном поле тяжести при наличии силы сопротивления. Пусть достаточно малое невращающееся тело массы
Рис. 4.2 Выберем систему отсчета, жестко связанную с Землей, и будем считать эту систему инерциальной, что с определенной степенью точности допустимо (см. пример 20.1). Сила, действующая на тело, слагается из постоянной силы притяжения времени лежит в плоскости, определяемой векторами Уравнение движения точки имеет вид
где
Интегрируя эти уравнения и используя начальные условия, получим решение для проекций скорости
(в качестве начальных условий здесь взяты не
Рассмотрим следующие частные случаи. Пусть Если же начальная скорость направлена вниз, а притяжения. В последующие моменты времени ускорение, оставаясь положительным, стремится к нулю; соответственно скорость, стремится к предельной скорости падения. Пусть теперь
Из функций
Уравнение траектории
Для наглядности рассмотрим предельные случаи, когда можно считать, что.
Эти величины дают приближенные значения дальности полета и проекций скорости в момент падения тела на поверхность Земли. Если время полета достаточно мало, то выполняется условие время полета
Рис. 4.3 Полагая
Полагая
Наконец, полагая
Приближенное уравнение траектории найдем с помощью разложения функции
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае траектория весьма близка к параболе. Устремляя В общем случае, когда сила является функцией только скорости точки, причем каждая декартова проекция силы зависит лишь от соответствующей проекции скорости, уравнения движения имеют вид
Общее решение этих уравнений может быть получено в квадратурах. Например, возьмем первое уравнение движения. Так как
Если отсюда можно выразить х как функцию от
Отметим еще один прием интегрирования указанного типа уравнений. Умножая обе части уравнения движения на
Аналогично интегрируются и остальные уравнения движения. Пример 4.4. Движение заряженной частицы в постоянных однородных электрическом и магнитном полях. Теория движения заряда в электромагнитных полях имеет большое значение в современной физике: она играет важную роль в исследованиях плазмы, в ускорительной технике, в астрофизике и т. д. Рассмотрим сначала поведение заряда в постоянном однородном электрическом поле напряженности
(здесь черты рассматриваемого движения будут лучше видны, если спроектировать левую и правую части векторного решения на оси декартовой системы координат, выбранной так, чтобы ось
Исключая из этих функций время, найдем уравнение траектории
Измеряя элементы этой траектории, можно получить значение величин
Рис. 4.4 Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле напряженности
Для решения этого уравнения выберем декартову систему координат с осью
а уравнениями движения являются уравнения
где Интегрируя эту систему один раз и учитывая начальные условия, найдем
Подставляя функцию
Это уравнение гармонических колебаний с постоянной правой частью имеет общее решение вида
Отсюда дифференцированием найдем выражение для проекции скорости на ось
Используя функции
Затем, подставляя решение
откуда следует, что
Наконец, исключая время из функций
где Следовательно, траекторией точки является винтовая линия с постоянным шагом Из решения видно, что величина проекции скорости на плоскость
а выразив их через х и у, найдем
Из приведенных соотношений, а также из того, что проекция ускорения на ось
а вектор ускорения направлен все время перпендикулярно к оси воображаемой цилиндрической поверхности радиуса а, на которую навивается траектория заряда. Отметим важное свойство фокусировки рассматриваемого магнитного поля. Оно проявляется в том, что частицы с одинаковым удельным зарядом и одинаковым начальным положением, но с различными начальными скоростями, перпендикулярными
Рис. 4.5 Теперь рассмотрим движение заряда во взаимно перпендикилярных электрическом и магнитном полях с напряженностями <§ и Уравнение движения заряда
в выбранных декартовых координатах принимает вид
где
где
Для проекций скорости и ускорения соответственно имеем
Уравнение траектории (циклоиды) запишем в виде
где
Отсюда видно, что движение заряда происходит в полосе, лежащей в плоскости происходит движение заряда, равна 2а. Она зависит от удельного заряда, напряженностей полей, начальной скорости и не зависит от начального положения ввиду однородности полей.
Рис. 4.6 Рассмотренное движение заряда в направлении вектора
Кстати отметим, что абсолютная величина ускорения отлична от нуля и равна
а вектор ускорения направлен все время к центру «образующей» окружности. Изучаемые поля обладают важным свойством фокусировки. Дело в том, что ни частота
Следовательно, частицы с одинаковым удельным зарядом и одинаковым начальным положением, но с различными начальными скоростями, перпендикулярными к Рассмотрим детальнее явление дрейфа заряда. С этой целью перенесем начало координат в начальное положение заряда, а начальную скорость направим перпендикулярно плоскости полей, т. е. положим, что
где
Возьмем для определенности отрицательный заряд 3—4. В самом деле, легко подсчитать, что средние значения проекции скорости на участке 1—2—3 соответственно равны
а на участках
Аналогично возникает дрейф частицы и при других значениях начальной скорости (см. рис. 4.7, на котором изображены все возможные случаи траекторий отрицательного заряда, если
Рис. 4.7 Исследуем движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях с произвольной ориентацией векторов
где
В этом случае движение заряда может быть наглядно представлено как его равномерное вращение с угловой скоростью
|
1 |
Оглавление
|