§ 4. Решение уравнений движения и начальные условия

Движение механической системы материальных точек подчинено уравнениям (3.5). Если известны массы всех точек и их

положения в любой момент времени, то, используя (3.5), можно определить силы как функции времени. Однако несравненно более трудной задачей является отыскание радиусов-векторов точек как функций времени, если заданы силы как функции положений точек, их скоростей и времени. В математическом отношении эта задача является задачей о нахождении общего решения системы дифференциальных обыкновенных уравнений 2-го порядка. Это решение будет зависеть от произвольных постоянных и может быть записано в виде

Постоянные интегрирования связаны с начальными условиями.

Действительно, пусть нам известно общее решение (4.1) и заданы начальные положения и скорости точек системы, т. е. заданы Дифференцируя (4.1) по времени, получим скорости точек как функции времени и произвольных постоянных

Полагая в системах (4.1) и будем иметь

Допуская, что система (4.3) разрешима относительно постоянных интегрирования, найдем

Наконец, подставляя (4.4) в (4.1), получим общее решение системы (3.5) в виде

Таким образом, если заданы массы точек, силы, действующие на точки системы, и начальные условия, то поведение системы определяется однозначно. В этом проявляется причинная обусловленность механического движения.

Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений движения относительно инерциальной системы отсчета. При этом обратим внимание на большое значение выбора системы координат, который должен отражать особенности заданных сил и начальных условий. Такой выбор обеспечивает сравнительную простоту решения задачи.

Пример 4.1. Заряженная частица в переменном электрическом поле.

Заряд массы движется между обкладками плоского неподвижного конденсатора, где напряженность электрического поля равна

— постоянные величины). В момент времени заряд находился в положении и имел скорость относительно системы отсчета, связанной с пластинами конденсатора. Найти положение и скорость заряда в любой момент времени

Из условия вытекает, что на заряд действует сила (см.

а уравнением движения является уравнение

Рис. 4.1

Сила в любой момент времени коллинеарна постоянному вектору Поэтому ускорение и приращение скорости также коллинеарны Следовательно, движение заряда происходит в плоскости, задаваемой векторами . В соответствии с этим выберем систему декартовых координат (начало отсчета и орты должны быть жестко связаны с конденсатором). Одну из осей (например, ось направим вдоль вектора а плоскость совместим с плоскостью движения (рис. 4.1). В выбранной системе координат проекции силы имеют вид

а проекции радиуса-вектора и скорости на ось равны нулю.

Проектируя левую и правую части векторного уравнения движения на оси выбранной системы, получим три дифференциальных уравнения

(подчеркнем, что проекция силы на ось изменяется по гармоническому закону и в соответствии с этим изменяется абсолютная величина и знак проекции ускорения на ось . В результате интегрирования уравнений найдем

Подставляя в эти функции и используя начальные условия, получим решение для в виде

Итак, заряд движется в плоскости, образуемой векторами (т. е. в плоскости . Движение вдоль оси происходит с постоянной скоростью, так как сила действует лишь в направлении оси Движение заряда вдоль оси слагается из движения по инерции с начальной скоростью и колебания с частотой со изменения заданной силы. Усредненная по времени за период проекция скорости на ось равна проекции начальной скорости на эту ось, т. е. Отметим также, что изменяющиеся по гармоническому закону составляющие проекций скорости и радиуса-вектора заряда на ось отстают по фазе от изменения проекции ускорения соответственно на .

В общем случае, когда на материальную точку действует сила, зависящая только от времени, все три уравнения движения имеют вид

Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия, найдем общее решение в квадратурах

Для других проекций скорости и радиуса-вектора результаты аналогичны.

Пример 4.2. Задача о пространственном осцилляторе.

На точку массы действует сила, направленная к неподвижной точке О и пропорциональная расстоянию между этими точками (коэффициент пропорциональности х). Найти уравнение траектории материальной точки, а также ее радиус-вектор и скорость как функции времени, если в момент времени она находилась в положении относительно системы отсчета с началом в точке О и имела скорость

Уравнением движения в рассматриваемой системе отсчета является уравнение

Таким образом, в любой момент времени ускорение (и приращение скорости) коллинеарно вектору а движение точки происходит в плоскости, определяемой векторами Действительно, если то приращение скорости коллинеарно вектору (см. рис. 1.7), и поэтому в момент времени, бесконечно близкий к начальному моменту, точка будет находиться в указанной плоскости. Аналогично рассматривая последующие приращения радиуса-вектора и скорости точки, можно прийти к выводу о ее движении в плоскости, определяемой начальными условиями. В связи с этим плоскость декартовой системы координат целесообразно совместить с плоскостью движения.

Проектируя левую и правую части уравнения движения на оси придем к системе уравнений

где Общее решение этой системы уравнений имеет вид

Дифференцируя его по времени, получим

Полагая в последних четырех функциях и используя начальные условия, найдем

Общее решение можно записать также в виде

где произвольные постоянные. Из полученных решений следует, что в направлении осей точка совершает гармонические колебания с частотой , амплитудами и фазами соответственно. Амплитуды и фазы выражаются через начальные положение и скорость точки; например,

Запишем в следующей форме:

где разность фаз и возведем в квадрат правые и левые части функций представленных в виде, удобном для исключения времени:

Складывая результаты возведения в квадрат, получим уравнение траектории

Итак, под действием силы — материальная точка движется по эллипсу с центром в неподвижной точке О, к которой в любой момент времени направлена сила. Плоскость эллипса определяется начальными условиями, этими же условиями определяются величины полуосей эллипса и его ориентация в плоскости движения (т. е. разность фаз ).

В общем случае, когда сила зависит только от положения точки, а каждая декартова проекция силы зависит только от соответствующей проекции радиуса-вектора, уравнения движения имеют вид

Общее решение этих уравнений может быть получено в квадратурах. Например, умножая обе части первого уравнения на и учитывая, что

получим

Интегрируя это уравнение, найдем

(здесь выбирается тот знак, который имеет х при а разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя еще раз, получим

Пример 4.3. Движение в однородном поле тяжести при наличии силы сопротивления.

Пусть достаточно малое невращающееся тело массы движется в однородном поле тяготения напряженности вблизи поверхности Земли. Кроме того, среда, покоящаяся относительно Земли, действует на тело с силой, пропорциональной его скорости относительно Земли (коэффициент пропорциональности Найти положение и скорость тела как функции времени.

Рис. 4.2

Выберем систему отсчета, жестко связанную с Землей, и будем считать эту систему инерциальной, что с определенной степенью точности допустимо (см. пример 20.1).

Сила, действующая на тело, слагается из постоянной силы притяжения и силы сопротивления среды — где скорость тела (см. (2.12)). Следовательно, ускорение в любой момент

времени лежит в плоскости, определяемой векторами в этой же плоскости будет двигаться тело (рис. 4.2). Учитывая данное обстоятельство, одну из координатных плоскостей (например, ) совместим с плоскостью движения, а ось направим вверх по вертикали.

Уравнение движения точки имеет вид

где — радиус-вектор, определяющий положение тела. Проектируя левую и правую части уравнения движения на координатные оси указанной выше системы отсчета, найдем, что

Интегрируя эти уравнения и используя начальные условия, получим решение для проекций скорости

(в качестве начальных условий здесь взяты не а модуль скорости и угол между начальной скоростью и осью Интегрируя второй раз, получим общее решение задачи в виде

Рассмотрим следующие частные случаи. Пусть т. е. начальная скорость направлена вверх. Тогда начальное ускорение т. е. будет направлено вниз. С возрастанием времени (как видно из решения) ускорение, оставаясь отрицательным, стремится к нулю, так как сила сопротивления в конце концов компенсирует силу притяжения. Установившаяся скорость падения оказывается равной Если начальная скорость направлена вниз но то опять

Если же начальная скорость направлена вниз, а то начальное ускорение направлено вверх. Сила сопротивления в этом случае направлена вверх и по величине больше, чем сила

притяжения. В последующие моменты времени ускорение, оставаясь положительным, стремится к нулю; соответственно скорость, стремится к предельной скорости падения.

Пусть теперь заключено в пределах: либо либо Тогда в начале движения (при очень близком к а для достаточно больших Следовательно, в течение некоторого времени тело будет подниматься, а затем начнет падать. Время подъема определим, полагая

Из функций легко отыскать координаты точки в момент, когда она достигает максимальной высоты. Действитель но, полагая в этих функция найдем

Уравнение траектории получим, исключая время из функции! с помощью функции

Для наглядности рассмотрим предельные случаи, когда можно считать, что. или Если тело в начальный момент находится достаточно, высоко над поверхностью Земли, то время полета (до падения на поверхность. Земли) может быть достаточно велико (рис. 4.3, а); тогда в конце полета будет выполняться условие Устремляя получим предельные значения

Эти величины дают приближенные значения дальности полета и проекций скорости в момент падения тела на поверхность Земли.

Если время полета достаточно мало, то выполняется условие Предполагая, что сила сопротивления среды мала по сравнению с силой притяжения тела Землей, и разлагая интересующие нас функции в ряды по малым величинам, получим приближенные решения. Пусть, например, в начальный момент времени тело находится на поверхности Земли и требуется вычислить.

время полета дальность и квадрат скорости тела в момент его падения на поверхность Земли (рис. 4.3, б).

Рис. 4.3

Полагая в функции и разлагая ее по степеням а также имея в виду, что получим приближенное значение для времени полета

Полагая в функции и считая величины, пропорциональные к, малыми, найдем приближенное значение для дальности полета

Наконец, полагая в функциях получим приближенное значение квадрата скорости тела в момент его падения на поверхность Земли

Приближенное уравнение траектории найдем с помощью разложения функции в ряд по величинам, содержащим к:

Отсюда видно, что в рассматриваемом случае траектория весьма близка к параболе. Устремляя либо в уравнениях движения, либо в решениях, получим описание движения точки в однородном поле тяготения.

В общем случае, когда сила является функцией только скорости точки, причем каждая декартова проекция силы зависит лишь от соответствующей проекции скорости, уравнения движения имеют вид

Общее решение этих уравнений может быть получено в квадратурах. Например, возьмем первое уравнение движения. Так как то сразу видно, что переменные их разделяются и соответствующий интеграл равен

Если отсюда можно выразить х как функцию от то можно было бы найти в квадратуре т. е.

Отметим еще один прием интегрирования указанного типа уравнений. Умножая обе части уравнения движения на и имея в виду, что получим зависимость

Аналогично интегрируются и остальные уравнения движения. Пример 4.4. Движение заряженной частицы в постоянных однородных электрическом и магнитном полях.

Теория движения заряда в электромагнитных полях имеет большое значение в современной физике: она играет важную роль в исследованиях плазмы, в ускорительной технике, в астрофизике и т. д.

Рассмотрим сначала поведение заряда в постоянном однородном электрическом поле напряженности Уравнение движения и его решение в векторной форме имеют вид

(здесь — начальные значения радиуса-вектора и скорости заряда). Отсюда следует, что заряд движется ускоренно в направлении вектора и по инерции в направлении, перпендикулярном к а траекторией точки является парабола. Эти основные

черты рассматриваемого движения будут лучше видны, если спроектировать левую и правую части векторного решения на оси декартовой системы координат, выбранной так, чтобы ось была параллельна вектору а ось Оу была расположена в плоскости движения, определяемой векторами Тогда

Исключая из этих функций время, найдем уравнение траектории

Измеряя элементы этой траектории, можно получить значение величин

Рис. 4.4

Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле напряженности подчиняется векторному уравнению (см. (2.10) и (3.4)):

Для решения этого уравнения выберем декартову систему координат с осью параллельной (рис. 4.4). В такой системе сила Лоренца имеет вид

а уравнениями движения являются уравнения

где называемая циклотронная частота.

Интегрируя эту систему один раз и учитывая начальные условия, найдем

Подставляя функцию в первое из уравнений движения, получим

Это уравнение гармонических колебаний с постоянной правой частью имеет общее решение вида

Отсюда дифференцированием найдем выражение для проекции скорости на ось

Используя функции определим постоянные :

Затем, подставляя решение в полученную выше функцию найдем

откуда следует, что

Наконец, исключая время из функций придем к выводу, что проекция материальной точки на плоскость, перпендикулярную движется по окружности

где Радиус а этой окружности определяется удельным зарядом напряженностью магнитного поля и проекцией начальной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору напряженности (величина радиуса а не зависит от начального положения заряда). Центр указанной окружности определяется взятыми в начальный момент времени проекциями радиуса-вектора и скорости заряда на плоскость т. е. величинами а также циклотронной частотой . В направлении оси точка движется по инерции со скоростью .

Следовательно, траекторией точки является винтовая линия с постоянным шагом

Из решения видно, что величина проекции скорости на плоскость постоянна; остается постоянным и модуль скорости точки. Дифференцируя по времени, получим проекции ускорения как функции времени

а выразив их через х и у, найдем

Из приведенных соотношений, а также из того, что проекция ускорения на ось равна нулю, следует, что абсолютная величина ускорения заряда является постоянной:

а вектор ускорения направлен все время перпендикулярно к оси воображаемой цилиндрической поверхности радиуса а, на которую навивается траектория заряда.

Отметим важное свойство фокусировки рассматриваемого магнитного поля. Оно проявляется в том, что частицы с одинаковым удельным зарядом и одинаковым начальным положением, но с различными начальными скоростями, перпендикулярными приходят в одно и то же положение через период времени

Рис. 4.5

Теперь рассмотрим движение заряда во взаимно перпендикилярных электрическом и магнитном полях с напряженностями <§ и стр. 245—248]. Если начальная скорость заряда перпендикулярна то его движение будет плоским, поскольку приращение скорости в начальный и последующий моменты времени лежит в плоскости, определяемой векторами (см. (2.10)). В связи с этим ось направим вдоль вектора а ось вдоль (см. рис. 4.5, где ).

Уравнение движения заряда

в выбранных декартовых координатах принимает вид

где Интегрируя эту систему по аналогии с предыдущим случаем, находим

где

Для проекций скорости и ускорения соответственно имеем

Уравнение траектории (циклоиды) запишем в виде

где

Отсюда видно, что движение заряда происходит в полосе, лежащей в плоскости и может быть наглядно представлено как равномерное вращение заряда с постоянной угловой скоростью по окружности радиуса а, центр которой движется параллельно оси с постоянной скоростью (рис. 4.6). Существенно, что зависит от отношения и не зависит от начальных условий, а скорость центра указанной окружности зависит лишь от отношения напряженностей полей , следовательно, одинакова для частиц с различными удельными зарядами и различными начальными условиями. Ширина полосы, в которой

происходит движение заряда, равна 2а. Она зависит от удельного заряда, напряженностей полей, начальной скорости и не зависит от начального положения ввиду однородности полей.

Рис. 4.6

Рассмотренное движение заряда в направлении вектора с постоянной в среднем скоростью называют дрейфом заряда. Средние значения проекций скорости и ускорения за период соответственно равны

Кстати отметим, что абсолютная величина ускорения отлична от нуля и равна

а вектор ускорения направлен все время к центру «образующей» окружности.

Изучаемые поля обладают важным свойством фокусировки. Дело в том, что ни частота ни скорость дрейфа не зависят от начальных условий. Поэтому расстояние между двумя последовательными вершинами циклоиды, равное произведению величины скорости дрейфа на период также не зависит от начальных условий:

Следовательно, частицы с одинаковым удельным зарядом и одинаковым начальным положением, но с различными начальными

скоростями, перпендикулярными к будут приходить в одно и то же положение через периоды времени Т.

Рассмотрим детальнее явление дрейфа заряда. С этой целью перенесем начало координат в начальное положение заряда, а начальную скорость направим перпендикулярно плоскости полей, т. е. положим, что Такой выбор начальных условий по существу не вносит ограничений, поскольку, изменяя начало отсчета времени всегда можно добиться того, чтобы Подставляя выбранные начальные условия в общее решение, получим

где

Возьмем для определенности отрицательный заряд и положительно направленную начальную скорость Учитывая, что при этом вычислим при значениях аргумента , (на рис. 4.6 эти точки обозначены 0, 1, 2, 3, 4 соответственно, а в каждой из этих точек изображены скорость сила её, сила и сумма этих сил . В результате мы увидим, что на участке траектории электрическое поле разгоняет заряд от скорости, равной до скорости максимальной величины Одновременно магнитное поле, искривляя траекторию, поворачивает скорость настолько, что в положении 2 она становится антипараллельной начальной скорости; при этом сила оказывается направленной по вектору а по величине превосходит силу (так как скорость в положении 2 достаточно велика). В связи с этим на участке траектории 2—3—4 появляется составляющая скорости, направленная против силы её; происходит торможение заряда электрическим полем, а магнитное поле продолжает искривлять траекторию; скорость заряда в точке 4 достигает минимальной величины и поворачивается до направления начальной скорости. Из этой картины движения следует, что на участке траектории 1—2—3 величина средней скорости движения заряда в направлении, перпендикулярном плоскости полей, больше, чем на участках

3—4. В самом деле, легко подсчитать, что средние значения проекции скорости на участке 1—2—3 соответственно равны

а на участках

Аналогично возникает дрейф частицы и при других значениях начальной скорости (см. рис. 4.7, на котором изображены все возможные случаи траекторий отрицательного заряда, если

Рис. 4.7

Исследуем движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях с произвольной ориентацией векторов Направляя ось вдоль а ось в одной из плоскостей, определяемых векторами убедимся, что движение проекции материальной точки на плоскость описывается полученными ранее уравнениями с той разницей, что роль величины I играет — проекция на ось а движение проекции точки на ось будет равноускоренным и определится проекцией напряженности электрического поля Таким образом, общее решение имеет вид

где

В этом случае движение заряда может быть наглядно представлено как его равномерное вращение с угловой скоростью по окружности радиуса а, плоскость которой все время остается перпендикулярной напряженности а центр движется с постоянной скоростью в направлении вектора и равноускоренно вдоль Следовательно, траекторией заряда является некоторая винтовая кривая, вьющаяся около параболы с осью параллельной напряженности магнитного поля.