Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 26. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и общее уравнение механики; циклические координаты и симметрия силового поля и связейКак уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь «подробная» информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они представляют собой уравнения движения в произвольных криволинейных координатах. Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая координата какой-либо простейшей системы, например математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины Движение такого маятника описывается уравнением Лагранжа с реакциями связей (см. (25.4))
(начало координат помещено в точку подвеса, плоскость Чтобы исключить из этих уравнений реакции связей, умножим уравнение движения маятника скалярно на виртуальное перемещение
Отсюда, используя декартовы координаты и учитывая уравнения связей, получим систему
которая явно не содержит реакций связей, но учитывает их влияние на движение материальной точки, поскольку вариации Используя голономность связи, перейдем в найденной системе уравнений к независимой координате, в качестве которой удобно взять угол
найдем
Наконец, используя эти выражения, придем к уравнению, содержащему только независимую вариацию
где вариации нулю, получим одно дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника:
Это уравнение не содержит реакций связей в качестве неизвестных, однако полностью учитывает их воздействие на точку, поскольку сама независимая координата выбрана с учетом связей. В самом деле, уравнение связи, выраженное через угол
Теперь выведем уравнения Лагранжа второго рода для механической системы, состоящей из
Двойная сумма в этом уравнении представляет собой виртуальную работу всех реакций связей и по условию идеальности связей равна нулю (см. (24.7) и (24.6)):
Поэтому (26.1) можно записать в виде уравнения
которое называется общим уравнением механики или уравнением д’Аламбера — Лагранжа. Заметим, что уравнения Лагранжа с реакциями связей могут быть получены из общего уравнения механики. Действительно, умножим левую часть каждого из уравнений (24.6) на соответствующий неопределенный множитель
Далее, применяя к этому уравнению последующую процедуру метода неопределенных множителей, изложенного на стр. 213 придем к уравнениям Лагранжа с реакциями связей. Таким образом, система, состоящая из уравнений (26.3) и уравнений связей (24.4), эквивалентна системе (25.4). Более того, можно утверждать, что общее уравнение механики и уравнения движения с реакциями любых идеальных связей эквивалентны. Прежде чем продолжить вывод уравнений Лагранжа второго рода, остановимся на понятии независимых обобщенных координат. Такими координатами по определению являются любые Из определения независимых координат следует, что Во-первых, радиусы-векторы точек системы должны быть, однозначными функциями
причем из
(здесь проекции радиусов-векторов точек обозначены символом Во-вторых, координаты
Обратим внимание на то, что в случае стационарных связей уравнения связей явно от времени не зависят; поэтому и функции (26.4) можно подобрать явно не зависящими от времени. В дальнейшем это условие для стационарных связей будем считать выполненным. Ввиду важности понятий о независимых обобщенных координатах и числе степеней свободы рассмотрим несколько примеров. Пусть точка движется по эллипсу с полуосями а и Ь. В системе координат с началом в центре эллипса и осями
Первое из этих уравнений обращается в тождество, если положить, что
Таким образом, в качестве независимой координаты можно выбрать параметр а, а число Если точка движется по сфере радиуса
которое обращается в тождество подстановкой
где Наконец, в случае свободной точки координаты, например цилиндрические; эти координаты связаны с декартовыми координатами точки соотношениями вида (26.4)
Используя формулы преобразования (26.4), представим общее уравнение механики в форме уравнения относительно независимых координат и их производных по времени. Для этого прежде всего найдем виртуальные перемещения
Подставляя (26.7) в общее уравнение механики и изменяя порядок суммирования, получим
Здесь все суммы по индексу
Затем найдем скорости точек как функции обобщенных координат (см. 26.4)):
Отсюда видно, что скорости материальных точек являются линейными функциями величин
Используя (26.11) и изменяя порядок дифференцирования по
Пользуясь этим соотношением, все зависящие от ускорений «суммы по точкам системы» можно представить в виде
Далее зададим кинетическую энергию системы как функцию обобщенных скоростей и координат (см. (26.10)):
(здесь и в дальнейшем под
Сопоставляя (26.13) и (26.15), получим
«Суммы по точкам системы» (см. (26.8)), зависящие от заданных (активных) сил, обозначим символами
Величины Используя введенные обозначения, виртуальную работу всех заданных сил
Следовательно, величина Используя (26.8), (26.16) и определение обобщенной силы, придем к общему уравнению механики в обобщенных координатах:
где все вариации
Эти уравнения, как и уравнения Лагранжа с реакциями связей (25.4), справедливы для систем с голономными идеальными связями. Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влияние связей на движение механической системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные независимые координаты как функции времени. Число неизвестных и число уравнений равно числу степеней свободы. Если заданные силы потенциальны, а потенциальная энергия системы равна
и определением (26.17), получим
Таким образом, уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил приобретают вид
Подчеркнем, что рациональный выбор независимых координат может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа и тем самым облегчить решение задачи. Лагранж по этому поводу писал: «Так как эти уравнения могут иметь различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является не безразличным, в каком виде они представлены с самого начала; пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой форме по отношению к примененным при этом переменным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование» [6, т. I, стр. 403]. Действительно, пусть обобщенная координата
Тогда уравнение Лагранжа, соответствующее координате
Если заданные силы потенциальны, то условия (26.23) приобретают вид
Координаты, от которых кинетическая и потенциальная энергии системы явно не зависят, называются циклическими координатами. Цикличность координат во многих случаях связана с симметрией заданного силового поля и связей, поэтому рациональный выбор обобщенных координат должен отражать эту симметрию. Выбирая независимые координаты так, чтобы число циклических координат было максимальным, и интегрируя уравнения Лагранжа, можно найти общее решение уравнений (26.20) (или (26.22)) в виде
(здесь И, наконец, используя найденные функции и уравнения Лагранжа (25.4), получим реакции связей как функции времени:
где
В заключение этого параграфа рассмотрим принцип виртуальных перемещений, являющийся основой статики — большого раздела механики, в котором изучается равновесие механических систем (этот принцип играет важную роль во многих инженерных расчетах). Пусть в начальный момент времени система находится в положении
Это необходимое и достаточное условие равновесия системы называется принципом виртуальных перемещений (необходимость и достаточность (26.28) следует из эквивалентности уравнений Лагранжа (25.4) и системы уравнений (26.3) и (24.4)). Записывая принцип виртуальных перемещений в независимых координатах (см. (26.18)), получим
откуда ввиду независимости всех вариаций
Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа в независимых координатах. Пример 26.1. Циклоидальный маятник. Точка массы
Рис. 26.1 Выберем декартовы оси так, чтобы одна из осей была коллинеарна
Используя эти функции, легко найти Т и
Отсюда видно, что уравнение Лагранжа
соответствующее координате
получим уравнение Лагранжа, соответствующее этой переменной.
т. е.
где
Здесь
В частности, если
откуда следует, что при любом начальном отклонении Пример 26.2. Точка на колеблющейся горизонтальной плоскости. Рассмотрим решение примера 25.1 с помощью уравнений Лагранжа в независимых координатах. Поскольку на одну точку налагается одна связь, то число степеней свободы точки будет равно двум. В качестве независимых координат можно выбрать декартовы координаты х и у (см. рис. 23.2, а), а используя уравнение связи, найти кинетическую энергию Т как функцию обобщенных скоростей х и у
и потенциальную энергию
Эти выражения для Т и
В настоящем примере обе координаты решения задачи не обязательно выписывать уравнения Лагранжа; можно сразу получить интегралы вида (26.24)
с помощью которых найти окончательное решение (см. пример 25.1). Заметим, что сохранение проекций скорости х и у здесь связано с цикличностью координат х и у. Пример 26.3. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности. Рассмотрим решение примера 25.2, используя независимые координаты. Согласно условию связь, налагаемая на точку, обладает цилиндрической симметрией, а ось цилиндра направлена вдоль вектора
Используя выражение для скорости в цилиндрических координатах (см. (1.17)) и уравнение связи
найдем кинетическую и потенциальную энергии как функции обобщенных скоростей и координат:
Отсюда видно, что координата
который дает возможность найти Независимая координата
Пример 26.4. Уравнение движения свободной точки в цилиндрических и сферических координатах. Поскольку свободная точка обладает тремя степенями свободы, то в качестве независимых координат можно взять любые три независимые координаты точки, в частности цилиндрические координаты
Следовательно, кинетическая энергия точки имеет вид
а частные производные, необходимые для получения обобщенных сил, соответственно равны
Используя эти выражения, найдем (см. (26.17))
где Подставляя (1) и (2) в (26.20), найдем уравнения движения точки в цилиндрических координатах:
По определению сферических координат приращение радиуса-вектора свободной точки равно
Следовательно, кинетическая энергия в сферических кординатах имеет вид
нетрудно также получить
Используя эти частные производные, найдем обобщенные силы
где
Отсюда легко найти проекции ускорения точки на орты сферических координат:
|
1 |
Оглавление
|