§ 26. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и общее уравнение механики; циклические координаты и симметрия силового поля и связей

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь «подробная» информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они представляют собой уравнения движения в произвольных криволинейных координатах.

Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая

координата какой-либо простейшей системы, например математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины и совершающее движение в вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебрегается).

Движение такого маятника описывается уравнением Лагранжа с реакциями связей (см. (25.4))

(начало координат помещено в точку подвеса, плоскость совмещена с плоскостью движения, а ось направлена по вертикали вниз).

Чтобы исключить из этих уравнений реакции связей, умножим уравнение движения маятника скалярно на виртуальное перемещение тогда, учитывая идеальность связей (см. (24.7)), найдем

Отсюда, используя декартовы координаты и учитывая уравнения связей, получим систему

которая явно не содержит реакций связей, но учитывает их влияние на движение материальной точки, поскольку вариации соответствующим образом зависят друг от друга.

Используя голономность связи, перейдем в найденной системе уравнений к независимой координате, в качестве которой удобно взять угол отклонения маятника от вертикали. Выражая декартовы координаты маятника через

найдем

Наконец, используя эти выражения, придем к уравнению, содержащему только независимую вариацию

где Приравнивая коэффициент при независимой

вариации нулю, получим одно дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника:

Это уравнение не содержит реакций связей в качестве неизвестных, однако полностью учитывает их воздействие на точку, поскольку сама независимая координата выбрана с учетом связей. В самом деле, уравнение связи, выраженное через угол , удовлетворяется тождественно:

Теперь выведем уравнения Лагранжа второго рода для механической системы, состоящей из точек, на которые налагается идеальных голономных связей. Движение такой системы лодчинено уравнениям (25.4). Чтобы исключить из этих уравнений реакции связей, умножим каждое из них скалярно на соответствующее виртуальное перемещение и сложим результаты умножения; тогда

Двойная сумма в этом уравнении представляет собой виртуальную работу всех реакций связей и по условию идеальности связей равна нулю (см. (24.7) и (24.6)):

Поэтому (26.1) можно записать в виде уравнения

которое называется общим уравнением механики или уравнением д’Аламбера — Лагранжа.

Заметим, что уравнения Лагранжа с реакциями связей могут быть получены из общего уравнения механики. Действительно, умножим левую часть каждого из уравнений (24.6) на соответствующий неопределенный множитель все результаты умножения сложим с левой частью (26.3). Тогда

Далее, применяя к этому уравнению последующую процедуру метода неопределенных множителей, изложенного на стр. 213 придем к уравнениям Лагранжа с реакциями связей. Таким образом, система, состоящая из уравнений (26.3) и уравнений связей (24.4), эквивалентна системе (25.4). Более того, можно утверждать, что общее уравнение механики и уравнения движения с реакциями любых идеальных связей эквивалентны.

Прежде чем продолжить вывод уравнений Лагранжа второго рода, остановимся на понятии независимых обобщенных координат. Такими координатами по определению являются любые величины, однозначно определяющие положение системы и — числа точек системы и голономных связей соответственно). Число независимых обобщенных координат, равное в случае систем с голономными связями называется числом степеней свободы. Независимые обобщенные координаты будем обозначать а всю эту совокупность для краткости будем в дальнейшем обозначать, символом

Из определения независимых координат следует, что должны удовлетворять двум требованиям.

Во-первых, радиусы-векторы точек системы должны быть, однозначными функциями

причем из функций — проекций радиусов векторов — функций должны быть независимыми, что обеспечивается требованием

(здесь проекции радиусов-векторов точек обозначены символом с общей для всех точек нумерацией, например, проекции вектора обозначаются а проекции вектора обозначаются и т. д.) [40, стр. 545].

Во-вторых, координаты должны быть выбраны в соответствии с уравнениями связей, т. е. функции (26.4) должны обращать в тождество уравнения связей (24.4):

Обратим внимание на то, что в случае стационарных связей уравнения связей явно от времени не зависят; поэтому и функции (26.4) можно подобрать явно не зависящими от времени. В дальнейшем это условие для стационарных связей будем считать выполненным.

Ввиду важности понятий о независимых обобщенных координатах и числе степеней свободы рассмотрим несколько примеров.

Пусть точка движется по эллипсу с полуосями а и Ь. В системе координат с началом в центре эллипса и осями направленными по осям эллипса, уравнениями связей являются

Первое из этих уравнений обращается в тождество, если положить, что

Таким образом, в качестве независимой координаты можно выбрать параметр а, а число степеней свободы в этом случае равно единице.

Если точка движется по сфере радиуса с центром в начале координат, то уравнением связи является уравнение

которое обращается в тождество подстановкой

где — углы сферических координат (см. рис. 23.1). Следовательно, эти углы могут служить независимыми координатами, а число степеней свободы

Наконец, в случае свободной точки а в качестве независимых координат можно взять различные криволинейные

координаты, например цилиндрические; эти координаты связаны с декартовыми координатами точки соотношениями вида (26.4)

Используя формулы преобразования (26.4), представим общее уравнение механики в форме уравнения относительно независимых координат и их производных по времени. Для этого прежде всего найдем виртуальные перемещения всех точек как функции

Подставляя (26.7) в общее уравнение механики и изменяя порядок суммирования, получим

Здесь все суммы по индексу имеют размерность энергии, деленной на размерность соответствующей координаты При этом те суммы по в которые входят ускорения точек, определяются кинетической энергией как функцией обобщенных координат и их производных по времени. Действительно, преобразуем -тый член одной из таких сумм:

Затем найдем скорости точек как функции обобщенных координат (см. 26.4)):

Отсюда видно, что скорости материальных точек являются линейными функциями величин называемых обобщенными скоростями. Из (26.10) также видно, что в общем случае имеет место равенство частной производной от скорости точки по обобщенной скорости и частной производной радиуса-вектора той же точки по соответствующей обобщенной координате, т. е.

Используя (26.11) и изменяя порядок дифференцирования по и вместо (26.9) получим

Пользуясь этим соотношением, все зависящие от ускорений «суммы по точкам системы» можно представить в виде

Далее зададим кинетическую энергию системы как функцию обобщенных скоростей и координат (см. (26.10)):

(здесь и в дальнейшем под понимается совокупность обобщенных скоростей, так же как под понимается совокупность всех обобщенных координат). Дифференцируя эту функцию по обобщенным скоростям и координатам, найдем

Сопоставляя (26.13) и (26.15), получим

«Суммы по точкам системы» (см. (26.8)), зависящие от заданных (активных) сил, обозначим символами

Величины являются заданными функциями обобщенных координат, скоростей и времени. Действительно, все определены как функции а все векторы согласно (26.4) и (26.10) являются функциями

Используя введенные обозначения, виртуальную работу всех заданных сил можно представить в виде

Следовательно, величина играет по отношению к вариации независимой координаты ту же роль, которую сила играет по отношению к виртуальному перемещению точки. Поэтому величину называют обобщенной силой, соответствующей координате Размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей координаты

Используя (26.8), (26.16) и определение обобщенной силы, придем к общему уравнению механики в обобщенных координатах:

где все вариации независимы друг от друга. Поэтому из общего уравнения механики вытекают дифференциальные уравнения движения, а именно уравнения Лагранжа в независимых координатах

Эти уравнения, как и уравнения Лагранжа с реакциями связей (25.4), справедливы для систем с голономными идеальными связями.

Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влияние связей на движение механической системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные независимые координаты как функции времени. Число неизвестных и число уравнений равно числу степеней свободы.

Если заданные силы потенциальны, а потенциальная энергия системы равна то, воспользовавшись формулами

и определением (26.17), получим

Таким образом, уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил приобретают вид

Подчеркнем, что рациональный выбор независимых координат может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа и тем самым облегчить решение задачи. Лагранж по этому поводу писал: «Так как эти уравнения могут иметь различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является не безразличным, в каком виде они представлены с самого начала; пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой форме по отношению к примененным при этом переменным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование» [6, т. I, стр. 403]. Действительно, пусть обобщенная координата выбрана так, что кинетическая энергия Т явно не зависит от нее, а соответствующая этой координате обобщенная сила равна нулю, т. е.

Тогда уравнение Лагранжа, соответствующее координате сразу приведет к первому интегралу

Если заданные силы потенциальны, то условия (26.23) приобретают вид

Координаты, от которых кинетическая и потенциальная энергии системы явно не зависят, называются циклическими координатами. Цикличность координат во многих случаях связана с симметрией заданного силового поля и связей, поэтому рациональный выбор обобщенных координат должен отражать эту симметрию.

Выбирая независимые координаты так, чтобы число циклических координат было максимальным, и интегрируя уравнения Лагранжа, можно найти общее решение уравнений (26.20) (или (26.22)) в виде

(здесь - постоянные интегрирования). Это решение позволяет определить закон движения системы и реакции связей как функции времени. Действительно, используя (26.4), найдем Затем, дифференцируя по времени, получим векторы скоростей и ускорений всех точек:

И, наконец, используя найденные функции и уравнения Лагранжа (25.4), получим реакции связей как функции времени:

где

В заключение этого параграфа рассмотрим принцип виртуальных перемещений, являющийся основой статики — большого раздела механики, в котором изучается равновесие механических систем (этот принцип играет важную роль во многих инженерных расчетах). Пусть в начальный момент времени система находится в положении а скорости всех ее точек равны нулю; если система и в любой другой момент времени остается в положении то это положение называется положением равновесия системы. Из общего уравнения механики следует, что в положении равновесия виртуальная работа заданных сил должна равняться кулю, т. е.

Это необходимое и достаточное условие равновесия системы называется принципом виртуальных перемещений (необходимость и достаточность (26.28) следует из эквивалентности уравнений Лагранжа (25.4) и системы уравнений (26.3) и (24.4)). Записывая принцип виртуальных перемещений в независимых координатах (см. (26.18)), получим

откуда ввиду независимости всех вариаций следует, что необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в рассматриваемом положении системы. Таким образом, положение равновесия системы определяется уравнениями:

Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа в независимых координатах.

Пример 26.1. Циклоидальный маятник.

Точка массы движется в однородном поле тяжести по гладкой циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости (см. рис. 26.1). Найти закон движения точки, если напряженность поля тяжести а радиус окружности, производящей циклоиду, равен

Рис. 26.1

Выберем декартовы оси так, чтобы одна из осей была коллинеарна а одна из координатных плоскостей совпадала с плоскостью циклоиды. За независимую координату возьмем угол — угол поворота производящей окружности, отсчитываемый от оси (производящая окружность катится без скольжения по штрихованной прямой, параллельной оси Тогда уравнение связи запишется в виде

Используя эти функции, легко найти Т и как функции

Отсюда видно, что уравнение Лагранжа

соответствующее координате будет достаточно сложным. Однако из тех же выражений можно усмотреть, что Т и принимают весьма простой вид, если в качестве переменной взять величину, пропорциональную Действительно, производная от по пропорциональна . В связи с этим вместо выберем обобщенную координату является длиной дуги циклоиды, отсчитываемой от начала координат до материальной точки). Выражая Т и через переменную

получим уравнение Лагранжа, соответствующее этой переменной.

т. е.

где Отсюда находим закон движения точки по циклоиде

Здесь — амплитуда и фаза гармонического колебания соответственно; их можно выразить через — величины дуги и скорости точки в начальный момент времени:

В частности, если то решение принимает вид

откуда следует, что при любом начальном отклонении точка придет в наинизшее положение за один и тот же промежуток времени (это свойство движения называется изохронностью).

Пример 26.2. Точка на колеблющейся горизонтальной плоскости.

Рассмотрим решение примера 25.1 с помощью уравнений Лагранжа в независимых координатах.

Поскольку на одну точку налагается одна связь, то число степеней свободы точки будет равно двум. В качестве независимых координат можно выбрать декартовы координаты х и у (см. рис. 23.2, а), а используя уравнение связи, найти кинетическую энергию Т как функцию обобщенных скоростей х и у

и потенциальную энергию

Эти выражения для Т и дают возможность составить уравнения Лагранжа (26.22) для рассматриваемой задачи:

В настоящем примере обе координаты циклические, так как ни Т, ни явно от них не зависят (см. Поэтому для

решения задачи не обязательно выписывать уравнения Лагранжа; можно сразу получить интегралы вида (26.24)

с помощью которых найти окончательное решение (см. пример 25.1). Заметим, что сохранение проекций скорости х и у здесь связано с цикличностью координат х и у.

Пример 26.3. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности.

Рассмотрим решение примера 25.2, используя независимые координаты.

Согласно условию связь, налагаемая на точку, обладает цилиндрической симметрией, а ось цилиндра направлена вдоль вектора (рис. 25.1). Поэтому выберем в качестве независимых переменных цилиндрические координаты (число степеней свободы точки равно двум) и запишем уравнения (26.22) в этих переменных в общей форме:

Используя выражение для скорости в цилиндрических координатах (см. (1.17)) и уравнение связи

найдем кинетическую и потенциальную энергии как функции обобщенных скоростей и координат:

Отсюда видно, что координата является циклической. Это приводит к интегралу

который дает возможность найти . Нетрудно убедиться, что частная производная равна — проекции момента импульса на ось , а ее сохранение связано с цикличностью координаты

Независимая координата не является циклической, так как Поэтому закон изменения этой координаты получим из соответствующего уравнения Лагранжа

Пример 26.4. Уравнение движения свободной точки в цилиндрических и сферических координатах.

Поскольку свободная точка обладает тремя степенями свободы, то в качестве независимых координат можно взять любые три независимые координаты точки, в частности цилиндрические координаты Приращение радиуса-вектора в этих координатах равно

Следовательно, кинетическая энергия точки имеет вид

а частные производные, необходимые для получения обобщенных сил, соответственно равны

Используя эти выражения, найдем (см. (26.17))

где — проекции силы на цилиндрические орты. Таким образом, обобщенные силы являются проекциями силы на координатные оси а обобщеннаясила равна — проекции момента силы на ось

Подставляя (1) и (2) в (26.20), найдем уравнения движения точки в цилиндрических координатах:

По определению сферических координат приращение радиуса-вектора свободной точки равно

Следовательно, кинетическая энергия в сферических кординатах имеет вид

нетрудно также получить

Используя эти частные производные, найдем обобщенные силы

где — проекции заданной силы на сферические орты. Подставляя (4) и (5) в уравнения (26.20), где в качестве независимых координат взяты получим уравнения движения точки в сферических координатах:

Отсюда легко найти проекции ускорения точки на орты сферических координат: