§ 55. Уравнение изменения кинетической энергии. Законы термодинамики

Кинетическая энергия частицы массы и полная производная по времени от кинетической энергии соответственно равны:

Имея в виду эти выражения, умножим правую и левую части уравнений движения (54.12) с индексом на проекцию у скорости, а затем сложим результаты умножения для . Тогда получим уравнение изменения кинетической энергии

соответствующее уравнению (21.12) для системы точек.

Левая часть (55.2) равна полной производной кинетической энергии по времени, отнесенной к единице объема, а последняя сумма справа является мощностью объемных сил, затрачиваемой при перемещении частицы (эта величина также отнесена к единице объема). Что касается двойной суммы по и то она содержит члены двух различных типов. Чтобы выяснить их смысл, представим эту сумму в виде

Затем воспользуемся соотношением

Следовательно,

поскольку согласно (53.17) и (53.18)

причем так как тензор — симметричен, — антисимметричен.

Из (55.3) ясно, что выражение равно разности, отнесенной к единице объема мощности

поверхностных сил на перемещениях частицы и отнесенной к единице объема мощности

напряжений, связанной с деформацией частицы.

Получим другую форму уравнения (55.2), справедливую для случая потенциальных объемных сил, когда

(здесь — потенциальная энергия во внешнем поле, приходящаяся на единицу массы). Для этого используем очевидные выражения

и вместо (55.2) найдем

Первое и второе начала те рмодинамики. Из уравнения (55.2) видно, что мощность объемных сил затрачивается на изменение скорости центра масс частицы, т. е. на изменение кинетической энергии частицы как целого. Теперь рассмотрим внутреннюю энергию частицы, т. е. усредненную по интервалу времени сумму кинетической энергии молекул частицы относительно ее центра масс и энергии взаимодействия между молекулами частицы. Изменение внутренней энергии, как показывает опыт, происходит за счет работы напряжений, а также за счет теплообмена между частицами. Наличие тепловых явлений приводит к необходимости использовать в механике сплошных сред законы термодинамики.

Напомним, что в термодинамике изучаются равновесные состояния макроскопических систем, т. е. состояния, когда все параметры, описывающие систему, не зависят от времени, а любые стационарные потоки, обусловленные каким-либо внешним по отношению к системе источником, отсутствуют.

Важнейшей величиной, характеризующей состояние термодинамического равновесия системы и имеющей одно и то же значение у любой макроскопической части всей системы, является температура Т (в частности, для одноатомного газа, атомы которого движутся по законам классической механики, температура

пропорциональна средней кинетической энергии газа).

Равновесные состояния сред, называемых простыми, определяются двумя независимыми параметрами, например, плотностью и температурой; при этом внутренняя энергия и другие величины являются функциями этих параметров, т. е. являются, как говорят, функциями состояния. Однако в механике сплошных сред наряду с равновесными состояниями изучаются и неравновесные состояния, для которых, вообще говоря, нельзя ввести понятия температуры в указанном выше смысле. Тем не менее применение законов термодинамики в механике сплошных сред будет оправдано, если ограничиться сравнительно медленными процессами, для которых в каждый момент времени любую частицу среды, являющуюся достаточно малой, но макроскопической системой, можно считать находящейся в «своем» равновесном состоянии, а состояния соседних частиц можно считать достаточно близкими друг к другу. Такие состояния называются локально равновесными.

Для среды, находящейся в локально равновесном состоянии, функции состояния частицы являются теми же самыми, что и функции состояния рассматриваемой среды в термодинамическом равновесии, с той разницей, что независимые параметры, т. е. аргументы этих функций, в случае термодинамического равновесия неизменны, а в случае локального равновесия зависят от положения частицы и времени. Например, приходящаяся на единицу массы внутренняя энергия для простой среды, находящейся в равновесном состоянии, определяется из опыта, как функция , где и Т — постоянны (при наличии внешнего поля . Для той же среды, находящейся в локально равновесном состоянии, внутренняя энергия будет иметь вид

Итак, применим к данной частице массы и объема первое начало термодинамики, т. е. закон изменения энергии с учетом тепловых явлений. Согласно этому закону изменение внутренней энергии частицы слагается из работы напряжений связанной с деформацией частицы, и количества теплоты получаемой при этом частицей от соседних частиц, т. е.

(работа напряжений и количество теплоты не являются полными дифференциалами, поэтому для количества теплоты введено обозначение

Теплообмен между частицами определяется плотностью потока тепла т. е. плотностью среднего потока кинетической

энергии молекул относительно системы центра масс частицы (положительным направлением этого потока считается направление внешней нормали Согласно определению вектора количество теплоты, получаемое частицей от соседних частиц за единицу времени, равно

Теперь преобразуем (55.10), относя все члены этого уравнения к элементу времени и используя (54.1), (53.16), (55.11), а также используя следующее выражение для потока тепла через поверхность частицы:

Тогда вместо (55.9) получим уравнение изменения внутренней энергии

где — мощность напряжений, связанная с деформацией частицы, — количество теплоты, получаемое частицей за единицу времени на единицу объема.

Основываясь на уравнениях изменения кинетической и внутренней энергий, нетрудно получить уравнение изменения полной энергии частицы, равной

Действительно, складывая почленно (55.2) с (55.13) и используя (55.3), (55.12), найдем, что

т. е. полная производная по времени от полной энергии частицы равна сумме мощностей объемных и поверхностных сил, действующих на частицу, а также потока тепла через поверхность частицы.

Напомним далее содержание второго начала термодинамики. Согласно этому закону любая макроскопическая система в равновесном состоянии характеризуется функцией состояния — энтропией при этом изменение энтропии, в результате передачи системе тепла при температуре Т, равно

а процесс передачи тепла должен происходить весьма медленно по сравнению с процессом установления равновесия в системе. Такие достаточно медленные процессы, называемые квазистатическими, обладают свойством обратимости. Действительно, в этом случае любое промежуточное состояние между начальным и конечным состояниями системы является равновесным, поэтому система в обратном процессе проходит те же состояния, что и в прямом процессе, и возвращается в начальное состояние без каких-либо изменений в окружающих систему телах.

Второе начало термодинамики содержит еще одно утверждение: если в результате передачи тепла с конечной скоростью при температуре Т система перешла из одного равновесного состояния в другое близкое к нему равновесное состояние, то

где — разность значений энтропии в конечном и начальном состояниях. Процессы, происходящие с конечной скоростью, называются неравновесными (или нестатическими). Из опыта известно, что практически все неравновесные процессы необратимы. Напомним, что необратимыми называются такие процессы, при которых невозможен возврат системы в первоначальное состояние без какого-либо изменения в окружающих телах.

Из (55.17) следует, что в результате неравновесного процесса энтропия изолированной системы возрастает. Следовательно, изменение энтропии является мерой необратимости процесса в изолированных системах. Такое истолкование физического смысла энтропии подтверждается в статистической физике, где показывается, что энтропия связана с вероятностью состояния системы, а возрастание энтропии для изолированной системы соответственно связано с переходом системы из менее вероятного в более вероятное состояние.

Очевидно, что соотношения (55.16) и (55.17) можно объединить в одну формулу, вводя обозначение для разности является частью механической энергии,

необратимо превращающейся в тепло. Тогда второй закон термодинамики можно записать в виде

здесь для обратимых процессов и — для необратимых.

Теперь применим второй закон термодинамики к частице сплошной среды. Относя все члены в (55.18) к элементу времени вводя энтропию приходящуюся на единицу массы, и учитывая сохранение массы, из (55.18) найдем

Отсюда, используя (55.11) и (55.12) получим уравнение изменения энтропии:

где - диссипативная функция, равная отнесенной к единице объема и единице времени части механической работы, которая необратимо переходит в тепло.

В заключение этой главы приведем все основные уравнения механики сплошных сред, а именно, уравнение непрерывности, уравнения изменения импульса, внутренней энергии и энтропии:

Это — система шести дифференциальных уравнений в частных производных с семнадцатью неизвестными функциями, зависящими от координат и времени: пятью скалярными величинами шестью компонентами векторов и шестью компонентами тензора Таким образом, становится очевидным, что для использования системы основных уравнений необходимы также допущения о характере среды или движений среды, при которых система уравнений стала бы замкнутой.