Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 55. Уравнение изменения кинетической энергии. Законы термодинамикиКинетическая энергия частицы массы
Имея в виду эти выражения, умножим правую и левую части уравнений движения (54.12) с индексом
соответствующее уравнению (21.12) для системы точек. Левая часть (55.2) равна полной производной кинетической энергии по времени, отнесенной к единице объема, а последняя сумма справа является мощностью объемных сил, затрачиваемой при перемещении частицы (эта величина также отнесена к единице объема). Что касается двойной суммы по
Затем воспользуемся соотношением
Следовательно,
поскольку согласно (53.17) и (53.18)
причем Из (55.3) ясно, что выражение
поверхностных сил на перемещениях частицы и отнесенной к единице объема мощности
напряжений, связанной с деформацией частицы. Получим другую форму уравнения (55.2), справедливую для случая потенциальных объемных сил, когда
(здесь
и вместо (55.2) найдем
Первое и второе начала те рмодинамики. Из уравнения (55.2) видно, что мощность объемных сил затрачивается на изменение скорости центра масс частицы, т. е. на изменение кинетической энергии частицы как целого. Теперь рассмотрим внутреннюю энергию частицы, т. е. усредненную по интервалу времени Напомним, что в термодинамике изучаются равновесные состояния макроскопических систем, т. е. состояния, когда все параметры, описывающие систему, не зависят от времени, а любые стационарные потоки, обусловленные каким-либо внешним по отношению к системе источником, отсутствуют. Важнейшей величиной, характеризующей состояние термодинамического равновесия системы и имеющей одно и то же значение у любой макроскопической части всей системы, является температура Т (в частности, для одноатомного газа, атомы которого движутся по законам классической механики, температура пропорциональна средней кинетической энергии газа). Равновесные состояния сред, называемых простыми, определяются двумя независимыми параметрами, например, плотностью и температурой; при этом внутренняя энергия и другие величины являются функциями этих параметров, т. е. являются, как говорят, функциями состояния. Однако в механике сплошных сред наряду с равновесными состояниями изучаются и неравновесные состояния, для которых, вообще говоря, нельзя ввести понятия температуры в указанном выше смысле. Тем не менее применение законов термодинамики в механике сплошных сред будет оправдано, если ограничиться сравнительно медленными процессами, для которых в каждый момент времени любую частицу среды, являющуюся достаточно малой, но макроскопической системой, можно считать находящейся в «своем» равновесном состоянии, а состояния соседних частиц можно считать достаточно близкими друг к другу. Такие состояния называются локально равновесными. Для среды, находящейся в локально равновесном состоянии, функции состояния частицы являются теми же самыми, что и функции состояния рассматриваемой среды в термодинамическом равновесии, с той разницей, что независимые параметры, т. е. аргументы этих функций, в случае термодинамического равновесия неизменны, а в случае локального равновесия зависят от положения частицы и времени. Например, приходящаяся на единицу массы внутренняя энергия
Итак, применим к данной частице массы
(работа напряжений и количество теплоты не являются полными дифференциалами, поэтому для количества теплоты введено обозначение Теплообмен между частицами определяется плотностью потока тепла энергии молекул относительно системы центра масс частицы (положительным направлением этого потока считается направление внешней нормали
Теперь преобразуем (55.10), относя все члены этого уравнения к элементу времени
Тогда вместо (55.9) получим уравнение изменения внутренней энергии
где Основываясь на уравнениях изменения кинетической и внутренней энергий, нетрудно получить уравнение изменения полной энергии частицы, равной
Действительно, складывая почленно (55.2) с (55.13) и используя (55.3), (55.12), найдем, что
т. е. полная производная по времени от полной энергии частицы равна сумме мощностей объемных и поверхностных сил, действующих на частицу, а также потока тепла через поверхность частицы. Напомним далее содержание второго начала термодинамики. Согласно этому закону любая макроскопическая система в равновесном состоянии характеризуется функцией состояния — энтропией
а процесс передачи тепла должен происходить весьма медленно по сравнению с процессом установления равновесия в системе. Такие достаточно медленные процессы, называемые квазистатическими, обладают свойством обратимости. Действительно, в этом случае любое промежуточное состояние между начальным и конечным состояниями системы является равновесным, поэтому система в обратном процессе проходит те же состояния, что и в прямом процессе, и возвращается в начальное состояние без каких-либо изменений в окружающих систему телах. Второе начало термодинамики содержит еще одно утверждение: если в результате передачи тепла
где Из (55.17) следует, что в результате неравновесного процесса энтропия изолированной системы Очевидно, что соотношения (55.16) и (55.17) можно объединить в одну формулу, вводя обозначение необратимо превращающейся в тепло. Тогда второй закон термодинамики можно записать в виде
здесь Теперь применим второй закон термодинамики к частице сплошной среды. Относя все члены в (55.18) к элементу времени
Отсюда, используя (55.11) и (55.12) получим уравнение изменения энтропии:
где В заключение этой главы приведем все основные уравнения механики сплошных сред, а именно, уравнение непрерывности, уравнения изменения импульса, внутренней энергии и энтропии:
Это — система шести дифференциальных уравнений в частных производных с семнадцатью неизвестными функциями, зависящими от координат и времени: пятью скалярными величинами
|
1 |
Оглавление
|