§ 29. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых координатах

Уравнения Лагранжа (26.20) в независимых координатах были получены из общего уравнения механики (26.3) с помощью преобразования (26.4), представляющего собой преобразование радиусов-векторов Г; всех точек к обобщенным независимым координатам Однако выбор этих координат неоднозначен: в самом деле, координаты всегда можно задать с помощью произвольных однозначных функций других переменных и времени

Подставляя (29.1) в (26.4), найдем однозначные выражения радиусов-векторов точек через величины

Эти функции, как и функции (26.4), обращают в тождество уравнения связей (см. (26.6)), и, следовательно, величины также являются обобщенными координатами механической системы. Преобразование (29.1), т. е. преобразование от одной системы обобщенных координат к другой системе, называется точечным преобразованием.

Если исходить из общего уравнения механики (26.3), а в качестве независимых переменных взять координаты то, используя

(29.2) и проводя вычисления, аналогичные (26.7) — (26.18), получим уравнения Лагранжа в новых переменных

где кинетическая энергия Т и обобщенные силы являются функциями Сопоставляя уравнения (26.20) и (29.3), приходим к выводу, что общая форма уравнений Лагранжа в независимых координатах не зависит от выбора этих координат; другими словами, уравнения Лагранжа в независимых координатах ковариантны относительно точечных преобразований. Это свойство уравнений Лагранжа является отражением того, что при любом выборе независимых переменных между обобщенными координатами, скоростями и ускорениями существует взаимосвязь.

Точечные преобразования независимых координат включают в себя ряд важных случаев; например, для свободных систем точечные преобразования могут представлять собой преобразования между различными криволинейными координатами в данной системе отсчета, а также преобразования между координатами в различных системах отсчета, в том числе и в неинерциальных. Убедимся в этом, показав, что уравнения движения свободной точки относительно неинерциальной системы отсчета можно записать в форме уравнений Лагранжа.

Действительно, поступательная и центробежная части переносной силы инерции могут быть выражены через потенциальную энергию точки в поле этих сил (см. (22.20)); сила инерции, определяемая угловым ускорением и, является непотенциальной силой, зависящей от положения точки и времени, а кориолисова сила гироскопична. Таким образом, сумму всех сил инерции можно записать в форме

аналогичной силе Лоренца

Сопоставляя эти выражения, видим, что скалярным потенциалом сил инерции является функция а вектор-потенциал этих сил, равный можно найти из уравнений

Итак, силы инерции являются обобщенно-потенциальными силами с потенциалом

где

(в случае системы точек потенциал будет равен сумме членов вида (29.4), каждый из которых относится к -точке). Из вышесказанного вытекает, что уравнения движения относительно неинерциальной системы отсчета (см. могут быть представлены в виде следующих уравнений Лагранжа:

здесь — кинетическая энергия относительно неинерциальной системы, - обобщенный потенциал сил инерции, обобщенные силы, соответствующие векторным силам с которыми различные тела действуют на точки механической системы.

Пример 29.1. Преобразование лангранжиана свободной точки. Свободная точка массы движется в центрально-симметричном поле с центром силы в начале координат О. Найти функцию Лагранжа этой точки относительно системы отсчета начало которой О и ось совпадают соответственно с началом О и осью инерциальной системы отсчета предполагая, что система S вращается относительно S с постоянной угловой скоростью 0).

Если в качестве независимых координат выбрать декартовы координаты точки относительно системы то функция Лагранжа имеет вид

Координаты связаны с координатами точки относительно S формулами:

Поэтому в новых переменных функция Лагранжа равна

где

Подставляя функцию получим уравнения движения точки относительно системы S

Поскольку явно от времени не зависит, то обобщенная энергия точки сохраняется:

Нетрудно видеть, что в данном случае функция Н является полной энергией точки относительно неинерциальной системы отсчета (см. (22.27)).

Пример 29.2. Движение точки по вращающейся окружности.

Точка массы движется по гладкой окружности радиуса а, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через некоторую точку окружности (плоскость окружности перпендикулярна оси вращения). Найти уравнение движения точки.

Выберем системы координат S и S так, как это показано на рис. 29,1, а в качестве независимой переменной возьмем угол между и осью Выражая через проекции радиуса-вектора точки на оси системы

Рис. 29.1

получим кинетическую энергию точки в виде

Для данной задачи эта функция является функцией Лагранжа; она приводит к уравнению движения

Отсюда следует, что относительно неинерциальной системы S точка движется так же, как математический маятник в однородном поле тяжести движется относительно инерциальной системы .

Записывая кинетическую энергию в виде (27.1), где

нетрудно получить интеграл обобщенной энергии

Здесь — кинетическая энергия точки относительно — потенциальная энергия точки в поле переносной силы инерции Что касается центробежной силы инерции, равной то она не совершает работы на перемещениях точки относительно S и поэтому не дает вклада в Таким образом, функция Н является полной энергией Е точки относительно S (см. (22.27) и (22.20)).