Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 29. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых координатахУравнения Лагранжа (26.20) в независимых координатах были получены из общего уравнения механики (26.3) с помощью преобразования (26.4), представляющего собой преобразование
Подставляя (29.1) в (26.4), найдем однозначные выражения радиусов-векторов точек через величины
Эти функции, как и функции (26.4), обращают в тождество уравнения связей (см. (26.6)), и, следовательно, величины Если исходить из общего уравнения механики (26.3), а в качестве независимых переменных взять координаты (29.2) и проводя вычисления, аналогичные (26.7) — (26.18), получим уравнения Лагранжа в новых переменных
где кинетическая энергия Т и обобщенные силы Точечные преобразования независимых координат включают в себя ряд важных случаев; например, для свободных систем точечные преобразования могут представлять собой преобразования между различными криволинейными координатами в данной системе отсчета, а также преобразования между координатами в различных системах отсчета, в том числе и в неинерциальных. Убедимся в этом, показав, что уравнения движения свободной точки относительно неинерциальной системы отсчета можно записать в форме уравнений Лагранжа. Действительно, поступательная и центробежная части переносной силы инерции могут быть выражены через потенциальную энергию
аналогичной силе Лоренца
Сопоставляя эти выражения, видим, что скалярным потенциалом сил инерции является функция
Итак, силы инерции являются обобщенно-потенциальными силами с потенциалом
где
(в случае системы
здесь Пример 29.1. Преобразование лангранжиана свободной точки. Свободная точка массы Если в качестве независимых координат выбрать декартовы координаты точки относительно системы
Координаты
Поэтому в новых переменных функция Лагранжа равна
где
Подставляя функцию
Поскольку
Нетрудно видеть, что в данном случае функция Н является полной энергией точки относительно неинерциальной системы отсчета (см. (22.27)). Пример 29.2. Движение точки по вращающейся окружности. Точка массы Выберем системы координат S и S так, как это показано на рис. 29,1, а в качестве независимой переменной возьмем угол
Рис. 29.1 получим кинетическую энергию точки в виде
Для данной задачи эта функция является функцией Лагранжа; она приводит к уравнению движения
Отсюда следует, что относительно неинерциальной системы S точка движется так же, как математический маятник в однородном поле тяжести движется относительно инерциальной системы Записывая кинетическую энергию в виде (27.1), где
нетрудно получить интеграл обобщенной энергии
Здесь
|
1 |
Оглавление
|