Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 51. Уравнения движения и интегральные вариационные принципыКак мы видели, движение механических систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений: уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби. Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния системы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как говорят, интегральных принципов, характеризующих движение механической системы на таких конечных интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана; инвариантность этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом по существу производилось сопоставление значений функции действия на различных действительных траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу. Рассмотрим, например, в пространстве конфигураций близкие друг к другу действительную и виртуальную траектории системы, предполагая, что в начальный и конечный моменты времени обе траектории пересекаются. Действительная траектория определяется функциями
Действительное и виртуальное положения системы совпадут друг с другом в начальный и конечный моменты времени, если потребовать, чтобы
В каждой точке действительной траектории удовлетворяется общее уравнение механики, являющееся необходимым и достаточным условием движения системы в соответствии с уравнениями движения, а виртуальное «движение» отличается от действительного тем, что для него не удовлетворяется общее уравнение механики. Преобразуем общее уравнение механики (26.3) к виду, более удобному для дальнейшего исследования. Используя очевидные соотношения
и коммутативность дифференцирования по времени и варьирования по параметру
Учитывая, что системы, представим общее уравнение механики в форме:
где Интегрируя обе части (51.4) по времени и учитывая (51.2), получим интегральное условие
которое вместе с уравнениями связей (см., например, (41.4))
описывает движение механической системы. Действительно, если имеют место уравнения движения (41.1) совместно с (41.3), то удовлетворяется система (41.4), а следовательно, удовлетворяется и (51.5) совместно с (51.6). Исходя из этих последних уравнений и выполняя все вычисления в обратном порядке, нетрудно убедиться в справедливости уравнений (41.1) совместно с (41.3). Таким образом, можно утверждать, что условие (51.5) (вместе с уравнениями связей (51.6)) представляет собой интегральный вариационный принцип для систем с любыми заданными силами и идеальными (голономными и линейными неголономными) связями. Используя обобщенные координаты (обращающие уравнения голономных связей в тождества), этот принцип можно записать в виде
Полагая здесь все
где Этому принципу можно придать еще более компактную форму, если допустить, что заданными силами являются обобщеннопотенциальные силы. Действительно, используя выражение для виртуальной работы таких сил (см. (26.18) и (27.16))
и соотношения
найдем
а подставляя (51.10) в интеграл (51.8), получим:
Отсюда, учитывая определения функции Лагранжа
Согласно этому принципу функция действия на действительной траектории имеет экстремальное значение по сравнению с ее значениями на виртуальных траекториях, точки которых в начальный и конечный моменты времени совпадают соответственно с начальным и конечным положениями системы. Из принципа (51.11) следует, что действие и лагранжиан данной механической системы определяются неоднозначно: к действию можно прибавить любую постоянную, а к лагранжиану — полную производную по времени от любой функции координат и времени. Действительно, вычисляя действие с помощью функции Лагранжа
получим
Таким образом, условие Можно убедиться в том, что для сравнительно малых интервалов времени
где
Используя оценку вариаций координат [32, гл. 12]
Так как
(см. (27.2) и (27.24)), то подынтегральное выражение в (51.14) будет положительно определенной формой вариаций скоростей, что и доказывает положительность Рассмотрим другую форму принципа наименьшего действия для обобщенно-консервативных систем с идеальными голономными связями. С этой целью рассмотрим совокупность траекторий, проходящих через фиксированную «точку»
Рис. 51.1 Для таких траекторий полные вариации начального и конечного положения равны
и, следовательно, между вариациями координат в начальный и конечный моменты времени и вариациями начального и конечного моментов времени будут иметь место соотношения (см. (48.3) и
Пользуясь (51.16), для полной вариации действия (см. (48.5)) получим выражение
Далее, учитывая консервативность системы
из (51.18) найдем
Затем примем во внимание, что, согласно (42.1),
а, согласно (46.2), для обобщенно-консервативных систем имеет место равенство
Таким образом, полная вариация «укороченного» действия
равна
при
Требование (51.21) представляет собой принцип наименьшего действия Мопертюи. Для систем с обычными потенциальными силами и стационарными связями этот принцип примет вид
при
а функция Гамильтона совпадает с полной энергией Е. Если в (51.22) с помощью интеграла энергии
исключить элемент времени
где
Поскольку в (51.24) время исключено, принцип в форме Якоби дает возможность определять траекторию системы. Покажем это на примере свободной материальной точки. В этом случае (51.24) можно записать в виде
где
Это интегральное условие ввиду произвольности вариации 6г приводит к дифференциальному уравнению траектории В уравнении (51.25) с помощью интеграла энергии
можно перейти к дифференцированию по времени и тем самым получить уравнение Ньютона
Итак, основываясь на дифференциальных уравнениях движения, можно получить соответствующие интегральные вариационные принципы, а полагая в основу эти принципы, можно прийти к эквивалентным им уравнениям движения; те и другие основаны на фундаментальных физических допущениях, изложенных в первой главе. Приложение 51.1. Теорема Нетер. Большое значение этой теоремы в развитии современной теоретической физики обусловлено тем, что в ней устанавливается весьма общая связь между преобразованиями, оставляющими действие инвариантным, и законами сохранении. Теорема Нетер в наиболее простом случае сводится к утверждению о том, что любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы Пусть задано непрерывное обратимое преобразование
которое зависит от некоторого параметра
Следовательно, вариации координат
(здесь
Эта вариация должна равняться нулю, поскольку действие S по условию инвариантно относительно (1). Поэтому
откуда ввиду произвольности
Теорема доказана. В частности, получим законы сохранении для замкнутой свободной системы, лагранжиан которой относительно инерциальной системы отсчета имеет вид
Этот лагранжиан (а следовательно, и функция действия) инвариантен относительно произвольного бесконечно малого параллельного переноса
и соответствующий этому преобразованию интеграл движения
Используя произвольность вектора Нетрудно убедиться в инвариантности лагранжиана (7) относительно бесконечно малого произвольного поворота
и соответствующий интеграл движения
Аналогично найдем остальные интегралы и тем самым убедимся в сохранении кинетического момента системы (см. (10.8)). Наконец, функция (7), как не зависящая явно от времени, инвариантна относительно бесконечно малого «смещения» системы во времени, т. е. инвариантна относительно преобразования
(в этом проявляется однородность времени). Поскольку в данном случае вариация времени отлична от нуля и равна
откуда вытекает сохранение полной энергни системы:
|
1 |
Оглавление
|