§ 51. Уравнения движения и интегральные вариационные принципы

Как мы видели, движение механических систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений: уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби.

Уравнения движения определяют действительное изменение механического состояния системы за бесконечно малый элемент времени и тем самым (если заданы начальные условия) определяют изменение состояния системы на конечном интервале времени. В связи с этим становится возможным отыскание, как говорят, интегральных принципов, характеризующих движение механической системы на таких конечных интервалах. Примером интегрального принципа может служить утверждение об инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана; инвариантность этого интеграла была установлена с помощью полной вариации функции действия. При этом по существу производилось сопоставление значений функции действия на различных действительных

траекториях механической системы. Однако возможно соответствующее сопоставление значения какой-либо функции на действительной траектории с ее значениями на виртуальных траекториях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к некоторому интегральному принципу.

Рассмотрим, например, в пространстве конфигураций близкие друг к другу действительную и виртуальную траектории системы, предполагая, что в начальный и конечный моменты времени обе траектории пересекаются. Действительная траектория определяется функциями удовлетворяющими уравнениям движения и уравнениям связей, в то время как виртуальные траектории определяются функциями , подчиненными только уравнениям связей. Полагая, что зададим виртуальные перемещения точек системы в виде

Действительное и виртуальное положения системы совпадут друг с другом в начальный и конечный моменты времени, если потребовать, чтобы

В каждой точке действительной траектории удовлетворяется общее уравнение механики, являющееся необходимым и достаточным условием движения системы в соответствии с уравнениями движения, а виртуальное «движение» отличается от действительного тем, что для него не удовлетворяется общее уравнение механики.

Преобразуем общее уравнение механики (26.3) к виду, более удобному для дальнейшего исследования. Используя очевидные соотношения

и коммутативность дифференцирования по времени и варьирования по параметру (см. (45.11)), получим

Учитывая, что равна вариации кинетической энергии

системы, представим общее уравнение механики в форме:

где — виртуальная работа заданных сил.

Интегрируя обе части (51.4) по времени и учитывая (51.2), получим интегральное условие

которое вместе с уравнениями связей (см., например, (41.4))

описывает движение механической системы. Действительно, если имеют место уравнения движения (41.1) совместно с (41.3), то удовлетворяется система (41.4), а следовательно, удовлетворяется и (51.5) совместно с (51.6). Исходя из этих последних уравнений и выполняя все вычисления в обратном порядке, нетрудно убедиться в справедливости уравнений (41.1) совместно с (41.3). Таким образом, можно утверждать, что условие (51.5) (вместе с уравнениями связей (51.6)) представляет собой интегральный вариационный принцип для систем с любыми заданными силами и идеальными (голономными и линейными неголономными) связями.

Используя обобщенные координаты (обращающие уравнения голономных связей в тождества), этот принцип можно записать в виде

Полагая здесь все равными нулю, найдем интегральный вариационный принцип для механических систем с идеальными голономными связями:

где — число степеней свободы.

Этому принципу можно придать еще более компактную форму, если допустить, что заданными силами являются обобщеннопотенциальные силы. Действительно, используя выражение для виртуальной работы таких сил (см. (26.18) и (27.16))

и соотношения

найдем

а подставляя (51.10) в интеграл (51.8), получим:

Отсюда, учитывая определения функции Лагранжа и действия S и то, что найдем интегральный вариационный принцип для систем с обобщенно-потенциальными силами и идеальными голономными связями (принцип Гамильтона — Остроградского):

Согласно этому принципу функция действия на действительной траектории имеет экстремальное значение по сравнению с ее значениями на виртуальных траекториях, точки которых в начальный и конечный моменты времени совпадают соответственно с начальным и конечным положениями системы.

Из принципа (51.11) следует, что действие и лагранжиан данной механической системы определяются неоднозначно: к

действию можно прибавить любую постоянную, а к лагранжиану — полную производную по времени от любой функции координат и времени. Действительно, вычисляя действие с помощью функции Лагранжа

получим

Таким образом, условие эквивалентно условию , следовательно, уравнения движения в обоих случаях совпадают.

Можно убедиться в том, что для сравнительно малых интервалов времени вторая вариация , следовательно, на действительных траекториях имеет место минимум действия. В самом деле, вторая вариация функции действия равна

где

Используя оценку вариаций координат [32, гл. 12]

и пренебрегая в (51.12) всеми членами, линейными и квадратичными относительно малого интервала получим

Так как

(см. (27.2) и (27.24)), то подынтегральное выражение в (51.14) будет положительно определенной формой вариаций скоростей, что и доказывает положительность на сравнительно малых интервалах времени. Таким образом, из принципа Гамильтона — Остроградского следует, что разность между усредненными по времени кинетической энергией и обобщенным потенциалом на действительных траекториях достигает минимума

Рассмотрим другую форму принципа наименьшего действия для обобщенно-консервативных систем с идеальными голономными связями. С этой целью рассмотрим совокупность траекторий, проходящих через фиксированную «точку» в различные на чальные моменты времени и через фиксированную «точку» в различные конечные моменты времени (сравнение этого способа варьирования с варьированием, применяемым в принципе Гамильтона—Остроградского см. на рис. 51.1).

Рис. 51.1

Для таких траекторий полные вариации начального и конечного положения равны

и, следовательно, между вариациями координат в начальный и конечный моменты времени и вариациями начального и конечного моментов времени будут иметь место соотношения (см. (48.3) и

Пользуясь (51.16), для полной вариации действия (см. (48.5)) получим выражение

Далее, учитывая консервативность системы а также то, что

из (51.18) найдем

Затем примем во внимание, что, согласно (42.1),

а, согласно (46.2), для обобщенно-консервативных систем имеет место равенство

Таким образом, полная вариация «укороченного» действия

равна

при

Требование (51.21) представляет собой принцип наименьшего действия Мопертюи.

Для систем с обычными потенциальными силами и стационарными связями этот принцип примет вид

при . Действительно, в этом случае обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии зависящей только от координат (см. (27.21)), а кинетическая энергия равна однородной квадратичной форме (см. (27.1) - (27.3)); следовательно, «укороченное» действие становится равным

а функция Гамильтона совпадает с полной энергией Е.

Если в (51.22) с помощью интеграла энергии

исключить элемент времени то можно получить принцип наименьшего действия в форме Якоби

где

Поскольку в (51.24) время исключено, принцип в форме Якоби дает возможность определять траекторию системы. Покажем это на примере свободной материальной точки. В этом случае (51.24) можно записать в виде

где , следовательно, (r — радиус-вектор точки). Отсюда, заменяя на и учитывая, что в начальном и конечном положениях точки обращается в нуль, после интегрирования по частям получим

Это интегральное условие ввиду произвольности вариации 6г приводит к дифференциальному уравнению траектории

В уравнении (51.25) с помощью интеграла энергии

можно перейти к дифференцированию по времени и тем самым получить уравнение Ньютона

Итак, основываясь на дифференциальных уравнениях движения, можно получить соответствующие интегральные вариационные

принципы, а полагая в основу эти принципы, можно прийти к эквивалентным им уравнениям движения; те и другие основаны на фундаментальных физических допущениях, изложенных в первой главе.

Приложение 51.1. Теорема Нетер.

Большое значение этой теоремы в развитии современной теоретической физики обусловлено тем, что в ней устанавливается весьма общая связь между преобразованиями, оставляющими действие инвариантным, и законами сохранении.

Теорема Нетер в наиболее простом случае сводится к утверждению о том, что любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы

Пусть задано непрерывное обратимое преобразование

которое зависит от некоторого параметра причем если то преобразование переходит в тождественное, т. е.

Следовательно, вариации координат соответствующие преобразованию (1), равны

(здесь — бесконечно малая величина). Используя (3) и выражение (45.14) найдем вариацию действия на действительной траектории

Эта вариация должна равняться нулю, поскольку действие S по условию инвариантно относительно (1). Поэтому

откуда ввиду произвольности вытекает, что преобразованию (1) соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа:

Теорема доказана.

В частности, получим законы сохранении для замкнутой свободной системы, лагранжиан которой относительно инерциальной системы отсчета имеет вид

Этот лагранжиан (а следовательно, и функция действия) инвариантен относительно произвольного бесконечно малого параллельного переноса механической системы (в этом проявляется однородность пространства, см. стр. 114). Направляя в вдоль оси получим рассматриваемое преобразование координат точек системы в виде:

и соответствующий этому преобразованию интеграл движения

Используя произвольность вектора аналогично убедимся в сохранении проекций импульса системы на оси Таким образом, импульс замкнутой системы сохраняется (см.

Нетрудно убедиться в инвариантности лагранжиана (7) относительно бесконечно малого произвольного поворота механической системы (в этом проявляется изотропия пространства см. стр. 114). Направляя вдоль оси (т. е. рассматривая поворот вокруг получим преобразование координат точек системы в виде (см. (17.6))

и соответствующий интеграл движения

Аналогично найдем остальные интегралы и тем самым убедимся в сохранении кинетического момента системы (см. (10.8)).

Наконец, функция (7), как не зависящая явно от времени, инвариантна относительно бесконечно малого «смещения» системы во времени, т. е. инвариантна относительно преобразования

(в этом проявляется однородность времени). Поскольку в данном случае вариация времени отлична от нуля и равна постольку нужно воспользоваться полной вариацией действия (48.5). Тогда, учитывая, что а также то, что для рассматриваемой системы функция Гамильтона и полная энергия совпадают, найдем

откуда вытекает сохранение полной энергни системы: