Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава XII. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ§ 63. Тензор напряжений и уравнения движенияРассмотренная в § 56 модель идеальной жидкости предполагает полное пренебрежение касательными напряжениями. Однако в действительности такие напряжения имеют место при движении жидкостей и газов. Изучим свойства среды, в которой напряжения зависят от скоростей деформаций, при этом наряду с нормальными напряжениями, вообще говоря, отличаются от нуля и касательные напряжения. Такую среду называют вязкой жидкостью. О наличии касательных напряжений свидетельствуют простейшие эксперименты. Например, возьмем две плоские твердые пластинки, между которыми находится жидкость, и закрепив одну из них, будем двигать вторую пластину параллельно первой с малой постоянной скоростью. Опыт покажет: чтобы поддержать скорость постоянной, к ней нужно приложить силу, пропорциональную площади пластины и отношению ее скорости к расстоянию между обеими пластинами; из опыта также следует, что коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости, будет зависеть от свойств среды (теория этого опыта подробно изложена в примере 64.1). Чтобы учесть касательные напряжения, представим тензор напряжений в виде
где второй член определяет силу, пропорциональную производным скорости по координатам, т. е. силу, зависящую от скорости движения частиц среды относительно друг друга. Это допущение, сделанное еще Ньютоном, основано на экспериментах, подобных рассмотренному. Итак, «вязкий» тензор напряжений должен быть однородной линейной формой относительно производных формой, симметричной относительно перестановки индексов в силу требования (54.18). Чтобы найти выражение ты, заметим, что из компонент тензора можно образовать два симметричных тензора, связанных со скоростями деформаций различного характера, а именно, со скоростями деформаций чистого сдвига и равномерного сжатия. Такими тензорами являются
и
где В самом деле, если
где скалярные величины Среда, для которой «вязкий» тензор напряжений Используя (55.12), (63.1) и (63.4), нетрудно получить уравнения изменения импульса вязкой жидкости
Эти уравнения описывают необратимые процессы, причем необратимость связана с тензором
Для преобразования (63.6) используем выражение
(см. (53.17)). Тогда, имея в виду, что
и учитывая, что
найдем выражение для диссипативной функции вязкой жидкости
Теперь, используя (55.5), (63.1) и (63.6) получим мощность всех напряжений, связанную с деформацией
Подставляя (63.11) в (55.22), придем к уравнению изменения энергии вязкой жидкости
Наконец, используя (63.10), из (55.23) найдем уравнение изменения энтропии вязкой жидкости
где
из которого ввиду положительной определенности форм
Уравнения (63.5), (63.12) и (63.13) совместно с уравнением непрерывности являются системой уравнений движения вязкой жидкости. Она становится замкнутой, если ее дополнить уравнениями состояния
а также эмпирическим законом Фурье, согласно которому плотность потока тепла пропорциональна, градиенту температуры:
где х — коэффициент теплопроводности, который является заданной функцией плотности и температуры
|
1 |
Оглавление
|