Глава XII. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ

§ 63. Тензор напряжений и уравнения движения

Рассмотренная в § 56 модель идеальной жидкости предполагает полное пренебрежение касательными напряжениями. Однако в действительности такие напряжения имеют место при движении жидкостей и газов. Изучим свойства среды, в которой напряжения зависят от скоростей деформаций, при этом наряду с нормальными напряжениями, вообще говоря, отличаются от нуля и касательные напряжения. Такую среду называют вязкой жидкостью.

О наличии касательных напряжений свидетельствуют простейшие эксперименты. Например, возьмем две плоские твердые пластинки, между которыми находится жидкость, и закрепив одну из них, будем двигать вторую пластину параллельно первой с малой постоянной скоростью. Опыт покажет: чтобы поддержать скорость постоянной, к ней нужно приложить силу, пропорциональную площади пластины и отношению ее скорости к расстоянию между обеими пластинами; из опыта также следует, что коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости, будет зависеть от свойств среды (теория этого опыта подробно изложена в примере 64.1).

Чтобы учесть касательные напряжения, представим тензор напряжений в виде

где второй член определяет силу, пропорциональную производным скорости по координатам, т. е. силу, зависящую от скорости движения частиц среды относительно друг друга. Это допущение, сделанное еще Ньютоном, основано на экспериментах, подобных рассмотренному.

Итак, «вязкий» тензор напряжений должен быть однородной линейной формой относительно производных , причем

формой, симметричной относительно перестановки индексов в силу требования (54.18).

Чтобы найти выражение ты, заметим, что из компонент тензора можно образовать два симметричных тензора, связанных со скоростями деформаций различного характера, а именно, со скоростями деформаций чистого сдвига и равномерного сжатия. Такими тензорами являются

и

где — тензор скорости деформации (53.18). Действительно, симметричный тензор связан только со сдвиговыми деформациями, поскольку при равномерном сжатии (в этом случае все члены Компоненты симметричного тензора пропорциональны дивергенции скорости, т. е. связаны только со скоростью изменения объема частиц среды (см. (53.29)).

В самом деле, если при а при т. е. если имеют место только сдвиговые деформации, то Таким образом, используя тензоры с которыми связаны две возможные деформации различного характера, а также учитывая требование линеиности относительно производных , найдем

где скалярные величины соответственно называются первым и вторым коэффициентами вязкости (эти коэффициенты, вообще говоря, зависят от плотности и температуры среды).

Среда, для которой «вязкий» тензор напряжений имеет вид (63.4), называется линейной вязкой жидкостью (обычно ее кратко называют вязкой жидкостью). Такая среда является изотропной, поскольку ее свойства определяются скалярными величинами .

Используя (55.12), (63.1) и (63.4), нетрудно получить уравнения изменения импульса вязкой жидкости

Эти уравнения описывают необратимые процессы, причем необратимость связана с тензором поскольку при инверсии времени изменяют знак только те члены (63.5), которые связаны с а остальные члены не меняют знака. Поэтому диссипация энергии (переход части механической энергии в тепловую) будет определяться мощностью «вязких» напряжений, выделяемой при деформациях частицы, т. е. диссипативной функцией вида

Для преобразования (63.6) используем выражение через симметричные тензоры и а также очевидное выражение для тензора

(см. (53.17)). Тогда, имея в виду, что

и учитывая, что а

найдем выражение для диссипативной функции вязкой жидкости

Теперь, используя (55.5), (63.1) и (63.6) получим мощность всех напряжений, связанную с деформацией

Подставляя (63.11) в (55.22), придем к уравнению изменения энергии вязкой жидкости

Наконец, используя (63.10), из (55.23) найдем уравнение изменения энтропии вязкой жидкости

где определено в (63.6) или (63.10). Таким образом, из неравенства в (63.13) и (63.10) вытекает неравенство

из которого ввиду положительной определенности форм следует, что коэффициенты вязкости всегда положительны

Уравнения (63.5), (63.12) и (63.13) совместно с уравнением непрерывности являются системой уравнений движения вязкой жидкости. Она становится замкнутой, если ее дополнить уравнениями состояния

а также эмпирическим законом Фурье, согласно которому плотность потока тепла пропорциональна, градиенту температуры:

где х — коэффициент теплопроводности, который является заданной функцией плотности и температуры поскольку поток всегда направлен от частицы с большой температурой к частице с меньшей температурой). Отметим, что уравнения (63.15) в данном случае используются для описания необратимых процессов. Однако такое использование оправдано, если градиенты скорости, температуры и других величин малы и представляется возможным пренебречь степенями этих градиентов (начиная со второй и выше), а также пренебречь производными высших порядков по координатам.