§ 21. Законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс

Система или поступательно движущаяся система центра масс (см. определение на стр. 117) характеризуется тем, что ее начало О находится в центре масс механической системы, а ее угловая скорость относительно инерциальной системы S равна нулю, т. е.

где — радиус-вектор центра масс механической системы. Если ускорение центра масс отлично от нуля, то поступательно движущаяся система центра масс (см. условие (20.2)) является неинерциальной системой, однако по сравнению с другими неинерциальными системами она обладает рядом особых свойств. Например, соотношения между положениями, скоростями и ускорениями точек, взятыми относительно S и согласно (1.6), (19.10), (19.18) и (21.1) имеют вид

(здесь — число точек механической системы). Отсюда видно, что все величины являются суммами двух членов: один из них характеризует движение центра масс относительно инерциальной системы а другой — движение точек относительно системы S.

Из первого условия (21.1) вытекает, что радиус-вектор, скорость и ускорение центра масс относительно системы равны нулю:

Следовательно, в системе центра масс существуют зависимости между радиусами-векторами, скоростями и ускорениями всех точек соответственно. Действительно, пользуясь определениями (9.1), (9.2), (9.3) в системе и учитывая (21.3), найдем, что

Второе из этих соотношений означает, что Р — импульс механической системы относительно — равен нулю. Итак, импульсы механической системы относительно S и соответственно равны (см. (9.5))

Используя определения кинетического момента и момента внешних сил (см. (10.2), (10.5)), а также используя соотношения (21.2), получим

где кинетический момент системы относительно

— сумма моментов внешних сил относительно

Отсюда, учитывая (21,4), найдем

где — сумма всех внешних сил, действующих на точки системы. Из (21.6) видно, что кинетический момент механической системы относительно инерциальной системы отсчета S равен сумме взятого относительно S момента импульса центра масс, в котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно поступательно движущейся системы центра масс Соотношение (21.7) показывает, что векторы отличаются на момент суммы внешних сил, действующих на точки и мысленно приложенных к центру масс.

Соотношения для кинетических энергий и мощностей получим аналогично, воспользовавшись определениями этих величин (см. (11.2)) и формулами (21.2):

где - кинетическая энергия в системе — мощность всех сил относительно

(в соотношении (21.9) учтено, что внутренние силы подчинены закону действия и противодействия). Следовательно, кинетическая энергия механической системы относительно инерциальной системы отсчета равна сумме кинетической энергии центра масс, в котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс. В свою очередь мощность всех сил относительно системы S равна сумме мощности всех внешних сил, мысленно приложенных к центру масс, и мощности всех сил относительно системы

Теперь найдем законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно системы Подставляя выражения (21.6) и (21.7) в уравнение (10.5), получим

Здесь член равен нулю, поскольку он пропорционален векторному произведению скорости центра масс самой на себя, а

что вытекает из уравнения (9.15). Следовательно, закон изменения кинетического момента относительно поступательно движущейся системы центра масс имеет вид

Подставляя (21.8) и (21.9) в (11.2), получим

Первые члены обеих частей этого уравнения равны друг другу, что следует из уравнения движения центра масс (9.14). Действительно, скалярно умножая (9.14) на найдем

(см. вывод (6.1) на стр. 67). Учитывая (21.12), придем к закону изменения кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс:

где - мощности внутренних и внешних сил относительно

Итак, законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы, центра масс по форме совпадают с соответствующими законами относительно инерциальной системы отсчета (ср. (21.11) с (10.5) и (21.13) с (11.2)). Это свойство системы связано с тем, что сумма моментов и сумма мощностей сил инерции в рассматриваемой системе равны нулю. Действительно, в системе могут отличаться от нуля только переносные силы инерции (см. (21.1))

а сумма моментов и сумма мощностей этих сил с учетом (21.3) равны нулю:

Пример 21.1. Система N точек в однородном поле тяжести. Найти закон движения системы материальных точек, которые движутся в однородном постоянном поле тяжести напряженности внутренними силами системы являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками произведению масс соответствующих точек (коэффициент пропорциональности

Уравнениями движения системы относительно инерциальной системы S являются уравнения

где

Прежде всего найдем закон движения центра масс относительно для чего используем уравнение (см. (9.14))

где . Отсюда

Итак, относительно S центр масс движется по параболе с постоянным ускорением , следовательно, система будет неинерциальной. В этой системе единственными отличными от нуля силами инерции будут переносные силы

, а уравнения движения имеют вид

Подставляя сюда выражения сил (см. (1) и и имея в виду, что найдем

Правые части этих уравнений зависят только от радиуса-вектора соответствующей точки. Действительно,

где последняя сумма равна нулю в силу (21.4). Таким образом, уравнения движения сводятся к системе уравнений

Отсюда видно, что каждая материальная точка движется так, как будто на нее действует сила притяжения со стороны точки, находящейся в центре масс и обладающей массой, равной массе

всей системы. Эти силы центральны, и моменты импульса каждой точки относительно сохраняются:

а движение точек происходит по плоским траекториям.

Общее решение каждого из урарнений (4) в декартовых координатах имеет вид

где амплитуды и фазы определяются начальными условиями.

Из приведенных результатов следует, что центр масс механической системы движется по параболе относительно инерциальной системы отсчета; относительно системы точки движутся по эллипсам с общим центром в центре масс и одинаковым периодом, равным орбиты точек лежат в плоскостях, проходящих через центр масс; ориентация этих плоскостей постоянна, но может быть различной для разных точек (только в случае точки относительно движутся в одной и той же плоскости, см. рис. 21.1).

Рис. 21.1

Что касается законов изменения момента, то из уравнений (10.5) и (21.11) вытекает:

Следовательно, момент М относительно инерциальной системы S не сохраняется, в то время как момент М относительно сохраняется. Энергия системы относительно , как видно из (11.19) и (11.20), сохраняется:

где

Используя (21.8), этот интеграл можно представить в виде

Ввиду потенциальности суммы сил из уравнения (21.12) следует сохранение «энергии центра масс», т. е.

Таким образом, из последних двух интегралов вытекает, что энергия Е относительно системы сохраняется:

(этот интеграл можно получить также из (21.13)).