Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 21. Законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра массСистема
где
(здесь Из первого условия (21.1) вытекает, что радиус-вектор, скорость и ускорение центра масс относительно системы
Следовательно, в системе центра масс существуют зависимости между радиусами-векторами, скоростями и ускорениями всех точек соответственно. Действительно, пользуясь определениями (9.1), (9.2), (9.3) в системе
Второе из этих соотношений означает, что Р — импульс механической системы относительно
Используя определения кинетического момента и момента внешних сил (см. (10.2), (10.5)), а также используя соотношения (21.2), получим
где
Отсюда, учитывая (21,4), найдем
где Соотношения для кинетических энергий и мощностей получим аналогично, воспользовавшись определениями этих величин (см. (11.2)) и формулами (21.2):
где (в соотношении (21.9) учтено, что внутренние силы подчинены закону действия и противодействия). Следовательно, кинетическая энергия механической системы относительно инерциальной системы отсчета равна сумме кинетической энергии центра масс, в котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс. В свою очередь мощность всех сил относительно системы S равна сумме мощности всех внешних сил, мысленно приложенных к центру масс, и мощности всех сил относительно системы Теперь найдем законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно системы
Здесь член
что вытекает из уравнения (9.15). Следовательно, закон изменения кинетического момента относительно поступательно движущейся системы центра масс имеет вид
Подставляя (21.8) и (21.9) в (11.2), получим
Первые члены обеих частей этого уравнения равны друг другу, что следует из уравнения движения центра масс (9.14). Действительно, скалярно умножая (9.14) на
(см. вывод (6.1) на стр. 67). Учитывая (21.12), придем к закону изменения кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы центра масс:
где Итак, законы изменения кинетического момента и кинетической энергии относительно поступательно движущейся системы, центра масс по форме совпадают с соответствующими законами относительно инерциальной системы отсчета (ср. (21.11) с (10.5) и (21.13) с (11.2)). Это свойство системы
а сумма моментов и сумма мощностей этих сил с учетом (21.3) равны нулю:
Пример 21.1. Система N точек в однородном поле тяжести. Найти закон движения системы Уравнениями движения системы относительно инерциальной системы S являются уравнения
где
Прежде всего найдем закон движения центра масс относительно
где
Итак, относительно S центр масс движется по параболе с постоянным ускорением
Подставляя сюда выражения сил (см. (1) и
Правые части этих уравнений зависят только от радиуса-вектора соответствующей точки. Действительно,
где последняя сумма равна нулю в силу (21.4). Таким образом, уравнения движения сводятся к системе уравнений
Отсюда видно, что каждая материальная точка движется так, как будто на нее действует сила притяжения со стороны точки, находящейся в центре масс и обладающей массой, равной массе всей системы. Эти силы центральны, и моменты импульса каждой точки относительно
а движение точек происходит по плоским траекториям. Общее решение
где амплитуды и фазы определяются начальными условиями. Из приведенных результатов следует, что центр масс механической системы движется по параболе относительно инерциальной системы отсчета; относительно системы
Рис. 21.1 Что касается законов изменения момента, то из уравнений (10.5) и (21.11) вытекает:
Следовательно, момент М относительно инерциальной системы S не сохраняется, в то время как момент М относительно
где
Используя (21.8), этот интеграл можно представить в виде
Ввиду потенциальности суммы сил
Таким образом, из последних двух интегралов вытекает, что энергия Е относительно системы
(этот интеграл можно получить также из (21.13)).
|
1 |
Оглавление
|