§ 34. Вынужденные колебания

Рассмотрим механическую систему, подчиненную требованиям, сформулированным в начале § 32, предполагая, что на систему также действуют нестационарные силы, т. е. силы, явно зависящие от времени. Ниже мы убедимся, что такая система наряду с собственными колебаниями будет совершать еще и вынужденные колебания. Чтобы получить в этом случае уравнения движения, необходимо линеаризовать уравнения Лагранжа около положения устойчивого равновесия, как это было сделано в § 32 и 33. Ввиду наличия нестационарных сил вместо уравнений (32.4) или (33.8) здесь будут иметь место уравнения

где — заданные функции времени.

Как известно, решение системы (34.1) слагается из общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. Решение однорбдной системы было

рассмотрено в предыдущих параграфах. Поэтому рассмотрим только частное решение системы (34.1), которое и будет описывать вынужденные колебания. Сначала исследуем систему с одной степенью свободы, на которую действует вынуждающая сила, гармонически зависящая от времени. В этом случае уравнение движения имеет вид

где — соответственно амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы. Представляя уравнение (34.2) в комплексной форме

его частное решение будем искать в виде

Подставляя (34.4) в (34.3) и сокращая на общий множитель, найдем комплексную амплитуду

где Далее, записывая (34.5) в виде

получим амплитуду и разность фаз как функции частоты вынуждающей силы:

где Функции называются амплитудной и фазовой характеристиками соответственно.

Итак, (34.4) и (34.7) определяют частное решение уравнения (34.2)

Это решение описывает вынужденное колебание системы. Из (34.8) и (34.7) видно, что амплитуда вынужденного колебания зависит от амплитуды возмущающей силы и частот

Если а затухание достаточно мало то имеет место резонанс, т. е.резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний (рис. 34.1).

Рис. 34.1

Нетрудно также видеть, что вынужденное колебание по фазе всегда отстает от возмущающей силы, т. е. всегда отрицательна. Приведем выражения для ряда случаев:

Резонансные свойства амплитудных характеристик лежат в основе устройства «усилителей» и «фильтров».

Отметим предельный случай, когда диссипацией энергии можно пренебречь, т. е. можно устремить к нулю. Тогда из (34.7) и (34.8) получим разрывное решение:

(амплитудная и фазовая характеристики, соответствующие (34.10), изображены на рис. 34.1 штриховыми линиями).

Полная энергия Е рассматриваемых одномерных колебаний, т. е. функция

после того как собственные колебания вследствие затухания станут исчезающе малыми, будет с большой степенью точности равна

Изменение энергии Е со временем характеризуется производной

Это выражение с помощью уравнения (34.2) можно записать в виде

Если то мощность, вносимая в систему нестационарной силой, компенсирует диссипацию энергии; в результате энергия

остается постоянной. Действительно, учитывая, что функция удовлетворяет уравнению

из (34.12) при получим

При произвольном соотношении энергия, усредненная по периоду колебания сохраняется (здесь опять-таки предполагается, что собственными колебаниями системы можно пренебречь).

В самом деле, имея в виду, что

из (34.11) найдем

(черта над функциями означает усреднение по периоду

Если нестационарная сила является произвольной функцией времени, разложимой в ряд Фурье,

то интересующее нас решение можно представить в виде

Если же — произвольная функция, представимая интегралом Фурье, то общим решением уравнения

например, в случае является решение

(здесь пределы интеграла выбраны так, чтобы удовлетворить начальным условиям).

Частное решение системы уравнений (34.1) находится аналогично одномерному случаю. Например, если нестационарные силы являются гармоническими функциями времени

то, заменяя эти функции соответствующими комплексными выражениями и представляя решение полученной системы в виде

после соответствующих подстановок получим

где Эта система линейных неоднородных уравнений имеет решение

где — характеристический детерминант системы (33.10), взятый при значении — детерминант, полученный из характеристического заменой элементов столбца на столбец, составленный из . Так как характеристическое уравнение имеет корней то можно представить в виде произведения

где а — некоторая постоянная. Если все корни характеристического уравнения комплексны, то детерминант целесообразно свести к произведению сомножителей вида

Учитывая, что

где характеристический детерминант, (34.24) можно представить в виде

Умножая числитель и знаменатель правых частей (34.23) на придем к выводу, что амплитуды обратно пропорциональны произведению характерных резонансных сомножителей, поскольку

Таким образом, если затухание достаточно мало, то каждая амплитуда будет иметь резонансных пиков на частотах . Эти максимумы обращаются в бесконечность, если диссипация энергии отсутствует, т. е. все . В этом случае

Пример 34.1. Движение системы при наличии силы, действующей на конечном интервале времени.

На систему с одной степенью свободы, собственной частотой и коэффициентом а, играющим роль «массы», в течение промежутка времени действует постоянная сила Найти отклонение системы от начального положения (предполагается, что это положение является положением устойчивого равновесия), если в начальный момент времени система покоилась.

Уравнением движения системы (см. (34.18)) является уравнение

где

Его решение можно получить, воспользовавшись (34.19). Однако более наглядным является непосредственное решение уравнений движения на двух интервалах времени с последующим «сшиванием» этих решений. Учитывая, что

и

находим решение первого уравнения

(здесь использованы начальные условия а также общее решение второго уравнения где постоянные должны быть выбраны из условия непрерывности координаты и скорости при

Рис. 34.2

Пользуясь этими условиями, получаем

Соответственно находим решение, справедливое для

Отсюда видно, что если время действия силы равно (или кратно) собственному периоду системы то после действия силы система останется в положении устойчивого равновесия (рис. 34.2).

Пример 34.2. Вынужденные колебания под действием силы, экспоненциально спадающей со временем.

Пусть система с одной степенью свободы, собственной частотой со, коэффициентом затухания и коэффициентом а, играющим роль массы, в начальный момент времени покоилась в положении устойчивого равновесия. Найти отклонение системы от положения равновесия под действием силы

Используя (34.18) и (34.19), напишем уравнение движения системы

и его решение в виде интеграла

Отсюда окончательно найдем

Пример 34.3. Гашение колебаний.

Исследуем колебания системы двух маятников, отличающихся от тех, которые были рассмотрены в примере 33.1, только массами точек (см. рис. 33.1), предполагая, что на первую точку массы кроме пружины, действует сила, направленная по горизонтали и изменяющаяся по гармоническому закону с частотой и амплитудой Как выбрать массу второго маятника и жесткость х пружины, соединяющей оба маятника, чтобы амплитуда колебаний первого маятника была исчезающе малой?

Учитывая некоторые результаты примера 33.1, запишем кинетическую и потенциальную энергии системы в виде

(здесь — углы отклонения маятников от положения устойчивого равновесия). Обобщенные силы, соответствующие нестационарной силе, равны (см. (26.17))

Используя полученные функции, найдем уравнения движения системы (см. (34.1))

где

Уравнения для амплитуд и характеристическое уравнение этой линейной системы имеют вид

где Отсюда получим собственные значения X и квадраты собственных частот системы

а также соотношения амплитуд

Это дает возможность найти общее решение для собственных колебаний маятников (см. (32.9))

где

Амплитуды частного решения уравнений движения (см. (34.20) и (34.21)) определяются из уравнений

где . Отсюда

где

Общее решение исходных уравнений слагается из общего решения, описывающего собственные колебания системы, и частного решения, описывающего вынужденные колебания:

Если, например, оба маятника в начальный момент времени покоятся в положении равновесия, т. е.

тогда

где

Это решение дает возможность ответить на вопрос, поставленный в условии примера. Действительно если то можно так подобрать массу второго маятника и жесткость пружины х, чтобы . В этом случае решение принимает вид

Если при этом то амплитуда колебаний первого маятника станет исчезающе малой по сравнению с амплитудой второго маятника. Таким образом, чтобы второй маятник играл роль «гасителя колебаний», должны выполняться требования:

Гашение колебаний первого маятника связано с тем, что воздействия вынуждающей силы и второго маятника на первый маятник уравновешивают друг друга с точностью до величины порядка