Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 34. Вынужденные колебанияРассмотрим механическую систему, подчиненную требованиям, сформулированным в начале § 32, предполагая, что на систему также действуют нестационарные силы, т. е. силы, явно зависящие от времени. Ниже мы убедимся, что такая система наряду с собственными колебаниями будет совершать еще и вынужденные колебания. Чтобы получить в этом случае уравнения движения, необходимо линеаризовать уравнения Лагранжа около положения устойчивого равновесия, как это было сделано в § 32 и 33. Ввиду наличия нестационарных сил вместо уравнений (32.4) или (33.8) здесь будут иметь место уравнения
где Как известно, решение системы (34.1) слагается из общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. Решение однорбдной системы было рассмотрено в предыдущих параграфах. Поэтому рассмотрим только частное решение системы (34.1), которое и будет описывать вынужденные колебания. Сначала исследуем систему с одной степенью свободы, на которую действует вынуждающая сила, гармонически зависящая от времени. В этом случае уравнение движения имеет вид
где
его частное решение будем искать в виде
Подставляя (34.4) в (34.3) и сокращая на общий множитель, найдем комплексную амплитуду
где
получим амплитуду
где Итак, (34.4) и (34.7) определяют частное решение уравнения (34.2)
Это решение описывает вынужденное колебание системы. Из (34.8) и (34.7) видно, что амплитуда вынужденного колебания зависит от амплитуды возмущающей силы Если
Рис. 34.1 Нетрудно также видеть, что вынужденное колебание по фазе всегда отстает от возмущающей силы, т. е.
Резонансные свойства амплитудных характеристик лежат в основе устройства «усилителей» и «фильтров». Отметим предельный случай, когда диссипацией энергии можно пренебречь, т. е.
(амплитудная и фазовая характеристики, соответствующие (34.10), изображены на рис. 34.1 штриховыми линиями). Полная энергия Е рассматриваемых одномерных колебаний, т. е. функция
после того как собственные колебания вследствие затухания станут исчезающе малыми, будет с большой степенью точности равна
Изменение энергии Е со временем характеризуется производной
Это выражение с помощью уравнения (34.2) можно записать в виде
Если остается постоянной. Действительно, учитывая, что функция
из (34.12) при При произвольном соотношении В самом деле, имея в виду, что
из (34.11) найдем
(черта над функциями означает усреднение по периоду Если нестационарная сила
то интересующее нас решение можно представить в виде
Если же
например, в случае
Частное решение системы уравнений (34.1) находится аналогично одномерному случаю. Например, если нестационарные силы являются гармоническими функциями времени
то, заменяя эти функции соответствующими комплексными выражениями и представляя решение полученной системы в виде
после соответствующих подстановок получим
где
где
где а — некоторая постоянная. Если все корни характеристического уравнения комплексны, то детерминант
Учитывая, что
где
Умножая числитель и знаменатель правых частей (34.23) на
Таким образом, если затухание достаточно мало, то каждая амплитуда
Пример 34.1. Движение системы при наличии силы, действующей на конечном интервале времени. На систему с одной степенью свободы, собственной частотой Уравнением движения системы (см. (34.18)) является уравнение
где
Его решение можно получить, воспользовавшись (34.19). Однако более наглядным является непосредственное решение уравнений движения на двух интервалах времени с последующим «сшиванием» этих решений. Учитывая, что
и
находим решение первого уравнения
(здесь использованы начальные условия
Рис. 34.2 Пользуясь этими условиями, получаем
Соответственно находим решение, справедливое для
Отсюда видно, что если время действия силы Пример 34.2. Вынужденные колебания под действием силы, экспоненциально спадающей со временем. Пусть система с одной степенью свободы, собственной частотой со, коэффициентом затухания Используя (34.18) и (34.19), напишем уравнение движения системы
и его решение в виде интеграла
Отсюда окончательно найдем
Пример 34.3. Гашение колебаний. Исследуем колебания системы двух маятников, отличающихся от тех, которые были рассмотрены в примере 33.1, только массами точек (см. рис. 33.1), предполагая, что на первую точку массы Учитывая некоторые результаты примера 33.1, запишем кинетическую и потенциальную энергии системы в виде
(здесь
Используя полученные функции, найдем уравнения движения системы (см. (34.1))
где Уравнения для амплитуд и характеристическое уравнение этой линейной системы имеют вид
где
а также соотношения амплитуд
Это дает возможность найти общее решение для собственных колебаний маятников (см. (32.9))
где
Амплитуды частного решения уравнений движения (см. (34.20) и (34.21)) определяются из уравнений
где
где
Общее решение исходных уравнений слагается из общего решения, описывающего собственные колебания системы, и частного решения, описывающего вынужденные колебания:
Если, например, оба маятника в начальный момент времени покоятся в положении равновесия, т. е.
тогда
где
Это решение дает возможность ответить на вопрос, поставленный в условии примера. Действительно если
Если при этом то амплитуда колебаний первого маятника станет исчезающе малой по сравнению с амплитудой второго маятника. Таким образом, чтобы второй маятник играл роль «гасителя колебаний», должны выполняться требования:
Гашение колебаний первого маятника связано с тем, что воздействия вынуждающей силы и второго маятника на первый маятник уравновешивают друг друга с точностью до величины порядка
|
1 |
Оглавление
|