Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VIII. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛАРанее (например, в гл. I) отмечалась важная роль, которую играет понятие абсолютно твердого тела как тела отсчета. С понятием твердого тела связано также введение эталона длины. Наряду с этим большое значение имеет теория движения твердых тел под действием внешних сил. Эта теория находит самое широкое применение в практике, в частности на основе этой теории решаются задачи о движении гироскопов, о вращении спутников и т. д. § 37. Уравнения движения твердого телаЛюбое твердое тело можно представить как систему материальных точек, жестко соединенных между собой стержнями постоянной длины и исчезающей массы (см. § 24, стр. 210). Иначе говоря, твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, на которые наложены внутренние идеальные связи. Поэтому число степеней свободы твердого тела меньше, чем число степеней свободы соответствующей системы свободных точек. Для того чтобы полностью охарактеризовать движение твердого тела относительно некоторой системы отсчета S, достаточно знать закон движения системы S, жестко связанной с изучаемым твердым телом (см. рис. 16.1 и 16.2); например, закон движения свободного твердого тела (тела, на которое не налагаются внешние связи) определяется шестью скалярными функциями: тремя проекциями радиуса-вектора Заметим, что к свободному твердому телу как системе материальных точек применимы законы изменения импульса и кинетического момента (9.15) и (10.5), причем эти законы (в силу жесткой связи точек тела друг с другом) будут полностью описывать движение тела, т. е. будут являться уравнениями движения. В последнем можно убедиться, показав, что законы (9.15) и (10.5) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений второго порядка относительно шести переменных: трех проекций вектора
где
где Используя эти выражения, нетрудно убедиться, что импульс тела Р зависит от
содержат в качестве неизвестных только функции Если на твердое тело налагаются внешние связи, то уравнения движения тела примут вид (см. (25.5) и (25.6))
где При составлении уравнений движения (37.3) и (37.4) удобно использовать вытекающие из соотношений § 22 общие выражения векторов
где
является частью кинетического момента, обращающейся в нуль, если
Выражения векторов
где Заметим, что при выводе (37.5) выбор системы S произволен и сказывается на значении момента
Например, это имеет место, когда к телу приложена пара сил, т. е. две силы, равные по величине и противоположно направленные по различным линиям действия (рис. 37.1); тогда
Рис. 37.1
поскольку Подчеркнем, что выбор системы
а выражения импульса и кинетического момента примут простой вид
здесь М является кинетическим моментом вращения тела относительно поступательно движущейся системы
Если тело имеет одну неподвижную относительно S точку, то начала систем S и S целесообразно совместить с этой точкой. Тогда
а векторы
(в этом случае импульс и кинетический момент полностью обусловлены вращением тела относительно системы S). Если тело движется в однородном поле тяжести, то сумма внешних сил и их момент соответственно равны (см. определение (9.1))
Отсюда видно, что сумма моментов внешних сил, действующих на тело в однородном поле тяжести, равна моменту суммы внешних сил, «приложенных» к центру масс. Момент сил относительно центра масс вследствие (37.14) равен нулю, а уравнения движения свободного тела в рассматриваемом поле принимают вид
Таким образом, если свободное твердое тело движется в однородном поле тяжести, то его кинетический момент относительно системы В случае равновесия твердого тела
где Все приведенные выше уравнения движения твердого тела могут быть записаны и в форме уравнений Лагранжа. Чтобы составить уравнения Лагранжа второго рода, следует определить, кинетическую энергию тела, обобщенный потенциал и диссипативные силы
где
где Обобщенный потенциал
Соотношения (37.17), (37.19) совместно с (27.20) и (17.11) позволяют составить лагранжиан твердого тела. Если в качестве независимых координат свободного тела выбрать углы Эйлера и проекции вектора
где Пример 37.1. Заряженная двухатомная молекула в постоянном однородном электрическом поле.
Рис. 37.2 Две точки массы Сориентируем инерциальную систему 5 так, чтобы ее ось
получим уравнения
откуда найдем закон движения центра масс
Изменение ориентации молекулы определяется законом изменения кинетического момента вращения, равного
где
Принимая во внимание, что
в результате подстановки выражений <№ и
Реакцию
Используя соотношение между ускорениями точки 1 относительно 5 и
и, следовательно,
Разлагая ускорение
Наконец, подставим (3) в (2) и исключим
Таким образом, реакция стержня связана не только с различием в действии внешнего поля на заряды 1 и 2: при равных удельных зарядах ( Пример 37.2. Заряженная трехатомная линейная молекула в постоянном однородном электрическом поле.
Рис. 37.3 Три точки одинаковой массы Выбирая системы S и S аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере, для радиуса-вектора центра масс, радиусов-векторов точек и угловой скорости молекулы получим
где
Если за независимые координаты взять декартовы координаты
Потенциальная энергия молекулы в силу однородности поля равна
где
Наконец, учитывая (1) и (2), из уравнений Лагранжа получим
Отсюда видно, что центр масс молекулы движется равноускоренно в направлении вектора Реакцию стержня
Действительно, используя соотношение
и исключая
(как видно, реакция
Реакции (4) и (5) являются суммарными силами, действующими на точки со стороны всего стержня, причем составляющие реакций, перпендикулярные стержню, связаны с исчезающе малым изгибом бесконечно жесткого стержня. Нетрудно проверить, что сумма реакций и сумма их моментов равняются нулю, так как реакции стержня — это внутренние силы механической системы (см. (9.13 )и (10.4)). Сумма действительных и виртуальных работ реакций также равна нулю, поскольку стержень — абсолютно твердое тело (см. 11.13), (24.8) и
Рис. 37.4 Пример 37.3. Равновесие тонкого неоднородного стержня. Плотность неоднородного тонкого стержня веса Напишем уравнения (37.16) с учетом (37.14):
Учитывая, что реакция
Используя систему
где
Используя (2) и (3), окончательно получим
|
1 |
Оглавление
|