Глава VIII. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Ранее (например, в гл. I) отмечалась важная роль, которую играет понятие абсолютно твердого тела как тела отсчета. С понятием твердого тела связано также введение эталона длины. Наряду с этим большое значение имеет теория движения твердых тел под действием внешних сил. Эта теория находит самое широкое применение в практике, в частности на основе этой теории решаются задачи о движении гироскопов, о вращении спутников и т. д.

§ 37. Уравнения движения твердого тела

Любое твердое тело можно представить как систему материальных точек, жестко соединенных между собой стержнями постоянной длины и исчезающей массы (см. § 24, стр. 210). Иначе говоря, твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, на которые наложены внутренние идеальные связи. Поэтому число степеней свободы твердого тела меньше, чем число степеней свободы соответствующей системы свободных точек.

Для того чтобы полностью охарактеризовать движение твердого тела относительно некоторой системы отсчета S, достаточно знать закон движения системы S, жестко связанной с изучаемым твердым телом (см. рис. 16.1 и 16.2); например, закон движения свободного твердого тела (тела, на которое не налагаются внешние связи) определяется шестью скалярными функциями: тремя проекциями радиуса-вектора начала системы S и тремя углами Эйлера

Заметим, что к свободному твердому телу как системе материальных точек применимы законы изменения импульса и кинетического момента (9.15) и (10.5), причем эти законы (в силу жесткой связи точек тела друг с другом) будут полностью описывать движение тела, т. е. будут являться уравнениями движения.

В последнем можно убедиться, показав, что законы (9.15) и (10.5) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений второго порядка относительно шести переменных: трех проекций вектора и углов и В самом деле, радиусы-векторы всех точек твердого тела относительно системы жестко связанной с этим телом, являются постоянными относительно S векторами, а скорости точек тела относительно S равны нулю, т. е.

где — радиус-вектор и скорость -той точки тела относительно — декартовы орты этой системы, — постоянные проекции вектора на оси число точек твердого тела. Следовательно, радиусы-векторы и скорости точек твердого тела относительно системы S соответственно равны (см. (1.6),

где — соответственно скорость начала системы S и ее угловая скорость относительно

Используя эти выражения, нетрудно убедиться, что импульс тела Р зависит от углов Эйлера и их производных (см. (9.6), (17.11) и (17.12)), а кинетический момент М тела, сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил кроме указанных величин, могут содержать (см. (10.2), (9.14) и (10.5). Таким образом, законы изменения импульса и кинетического момента твердого тела

содержат в качестве неизвестных только функции , следовательно, являются уравнениями движения свободного твердого тела.

Если на твердое тело налагаются внешние связи, то уравнения движения тела примут вид (см. (25.5) и (25.6))

где — соответственно сумма реакций всех внешних по отношению к телу связей и сумма моментов реакций этих связей (для решения уравнений (37.4) следует добавить уравнения связей, наложенных на тело).

При составлении уравнений движения (37.3) и (37.4) удобно использовать вытекающие из соотношений § 22 общие выражения векторов

где — радиус-вектор центра масс тела относительно , а

является частью кинетического момента, обращающейся в нуль, если (в связи с этим вектор М можно назвать кинетическим моментом вращения твердого тела). Здесь следует иметь в виду, что, согласно (37.1), в системе жестко связанной с телом,

Выражения векторов в теории твердого тела имеют такой же вид, как и в общей теории (см. (9.14) и (22.4)):

где

Заметим, что при выводе (37.5) выбор системы S произволен и сказывается на значении момента внешних сил; лишь в частном случае, когда сумма внешних сил равна нулю, момент внешних сил не зависит от выбора начала О системы , т. е.

Например, это имеет место, когда к телу приложена пара сил, т. е. две силы, равные по величине и противоположно направленные по различным линиям действия (рис. 37.1); тогда

Рис. 37.1

поскольку

Подчеркнем, что выбор системы который отражает свойства тела и другие условия задачи, может существенно упростить ее решение. В частности, при решении задачи о движении свободного тела начало системы целесообразно поместить в центр масс тела, так как при этом

а выражения импульса и кинетического момента примут простой вид

здесь М является кинетическим моментом вращения тела относительно поступательно движущейся системы центра масс (см. (21.6)). В этом случае в качестве уравнений движения свободного тела вместо уравнений (37.3) можно использовать уравнение движения центра масс тела относительно системы S и закон изменения момента вращения тела относительно системы (см. (9.14) и (21.11)):

Если тело имеет одну неподвижную относительно S точку, то начала систем S и S целесообразно совместить с этой точкой. Тогда

а векторы согласно (37.5) и (37.7), будут соответственно равны

(в этом случае импульс и кинетический момент полностью обусловлены вращением тела относительно системы S).

Если тело движется в однородном поле тяжести, то сумма внешних сил и их момент соответственно равны (см. определение (9.1))

Отсюда видно, что сумма моментов внешних сил, действующих на тело в однородном поле тяжести, равна моменту суммы внешних

сил, «приложенных» к центру масс. Момент сил относительно центра масс вследствие (37.14) равен нулю, а уравнения движения свободного тела в рассматриваемом поле принимают вид

Таким образом, если свободное твердое тело движется в однородном поле тяжести, то его кинетический момент относительно системы сохраняется

В случае равновесия твердого тела Следовательно, силы, действующие на покоящееся тело, и их моменты должны подчиняться уравнениям (см. (37.4))

где — реакции связей на точку (уравнения (37.16) должны быть дополнены уравнениями связей или некоторыми условиями, определяющими, например, направления реакций).

Все приведенные выше уравнения движения твердого тела могут быть записаны и в форме уравнений Лагранжа. Чтобы составить уравнения Лагранжа второго рода, следует определить, кинетическую энергию тела, обобщенный потенциал и диссипативные силы как функции независимых переменных. Используя соотношения (22.5), (37.6) и учитывая, что найдем

где — часть кинетической энергии, обусловленная только поступательным движением тела, — часть кинетической энергии, обусловленная только вращением твердого тела, а — «смешанный» член, связанный как с поступательным, так и с вращательным движением тела. Если начало О совмещено с центром масс тела, то «смешанный» член в любом случае равен нулю, а (37.17) принимает вид (см. (21.8))

где равняется кинетической энергии вращения твердого тела относительно системы

Обобщенный потенциал твердого тела равен потенциалу этого тела во внешних полях, так как внутренняя энергия тела лостоянна ввиду неизменности расстояний между точками тела, т. е.

Соотношения (37.17), (37.19) совместно с (27.20) и (17.11) позволяют составить лагранжиан твердого тела. Если в качестве независимых координат свободного тела выбрать углы Эйлера и проекции вектора на оси системы S и выразить через эти переменные, то из (27.23) найдем

где являются проекциями вектора а ??=Т—ч1е. Если же на тело наложены голономные идеальные связи, то получим уравнения вида (37.20), но с меньшим числом степеней свободы.

Пример 37.1. Заряженная двухатомная молекула в постоянном однородном электрическом поле.

Рис. 37.2

Две точки массы с зарядами соединены стержнем исчезающей массы и длины Эта «гантель» движется в постоянном однородном электрическом поле напряженности Начальные условия выбраны так, что движение молекулы происходит в неподвижной плоскости, параллельной напряженности поля. Найти уравнения движения молекулы — «гантели» и реакции стержня на материальные точки как функции обобщенных координат и скорости.

Сориентируем инерциальную систему 5 так, чтобы ее ось была направлена вдоль напряженности а плоскость совпадала с плоскостью движения рис. 37.2). Начало системы жестко связанной с молекулой, поместим в центр масс молекулы, ось направим по оси молекулы, а плоскость совместим с плоскостью Проектируя на координатные оси левую и правую части уравнения движения центра масс молекулы (см.

получим уравнения

откуда найдем закон движения центра масс

Изменение ориентации молекулы определяется законом изменения кинетического момента вращения, равного

где — приведенная масса. Учитывая, что (здесь — угол между осями преобразуем последнее: выражение к виду

Принимая во внимание, что

в результате подстановки выражений <№ и в уравнение моментов (см. получим

Отсюда видно: если начальная кинетическая энергия вращения достаточно мала, а , то молекула будет совершать малые колебания около положения (вектор в положении равновесия молекулы направлен вдоль вектора если же то молекула будет колебаться около положения (вектор в положении равновесия направлен противоположно наконец, если то молекула будет равномерно вращаться с начальной угловой скоростью

Реакцию стержня на точку 1 определим из уравнения ее движения

Используя соотношение между ускорениями точки 1 относительно 5 и (см. (21.2)) и уравнение движения центра масс, получим, что

и, следовательно,

Разлагая ускорение равное , по ортам цилиндрических координат, найдем

Наконец, подставим (3) в (2) и исключим с помощью (1); тогда

Таким образом, реакция стержня связана не только с различием в действии внешнего поля на заряды 1 и 2: при равных удельных зарядах (), так же как и в отсутствие внешнего поля, реакция будет связана с вращением тела относительно инерциальной системы отсчета.

Пример 37.2. Заряженная трехатомная линейная молекула в постоянном однородном электрическом поле.

Рис. 37.3

Три точки одинаковой массы жестко скреплены с прямым стержнем исчезающей массы и длины первая и третья на концах стержня, а вторая — посередине (рис. 37.3). Все точки обладают одинаковым по величине электрическим зарядом: первая и третья — положительным, а вторая — отрицательным. Эта «молекула» движется в неподвижной плоскости, параллельной напряженности постоянного однородного электрического поля. Найти уравнение движения «молекулы» в независимых координатах и реакции стержня.

Выбирая системы S и S аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере, для радиуса-вектора центра масс, радиусов-векторов точек и угловой скорости молекулы получим

где угол между осью молекулы и осью Кинетическая энергия, ввиду того что начало О совмещено с центром масс молекулы, равна (см. (37.18))

Если за независимые координаты взять декартовы координаты центра масс и угол а также учесть, что все векторы перпендикулярны то

Потенциальная энергия молекулы в силу однородности поля равна

где . Используя соотношения (21.2) для каждой точки и имея в виду, что найдем энергию в независимых координатах

Наконец, учитывая (1) и (2), из уравнений Лагранжа получим

Отсюда видно, что центр масс молекулы движется равноускоренно в направлении вектора , а вся молекула равномерно вращается.

Реакцию стержня на точку 1 определим из уравнения движения этой точки

Действительно, используя соотношение

и исключая с помощью (3), после вычисления найдем

(как видно, реакция при наличии внешнего поля не параллельна стержню). Аналогично вычисляются реакции стержня на точки

Реакции (4) и (5) являются суммарными силами, действующими на точки со стороны всего стержня, причем составляющие реакций, перпендикулярные стержню, связаны с исчезающе малым изгибом бесконечно жесткого стержня. Нетрудно проверить, что сумма реакций и сумма их моментов равняются нулю, так как реакции стержня — это внутренние силы механической системы (см. (9.13 )и (10.4)). Сумма действительных и виртуальных работ реакций также равна нулю, поскольку стержень — абсолютно твердое тело (см. 11.13), (24.8) и

Рис. 37.4

Пример 37.3. Равновесие тонкого неоднородного стержня.

Плотность неоднородного тонкого стержня веса и длины линейно зависит от расстояния до одного из его концов. Более легким концом стержень опирается на гладкий выступ высоты , а более тяжелым — на гладкую горизонтальную опору, причем нижний конец стержня удерживается нитью (рис. 37.4). Определить реакции опор и нити.

Напишем уравнения (37.16) с учетом (37.14):

Учитывая, что реакция перпендикулярна стержню, перпендикулярна горизонтальной опоре, направлена по горизонтали, выберем систему координат так, чтобы большее число компонент сил равнялось нулю. Тогда уравнения (1) можно представить в виде

Используя систему (см. рис. 37.4), определим положение центра масс стержня. С этой целью заменим в (9.1) суммирование по точкам интегрированием по длине; тогда получим

где — плотность массы стержня (здесь постоянная а выражается через массу стержня и равна ). Отсюда найдем координату центра масс стержня относительно

Используя (2) и (3), окончательно получим